הרי אתה בעצמך אמרת ש <math>T(e_i)= e_{\sigma (i)}</math> ולכן זה ממש מידי:
<math>[T(e_1)\cdots T(e_n)]=(e_{\sigma(1)}\cdots e_{\sigma(n)})=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1} =1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
ברור שאתה יכול להמשיך עוד שלב ולומר שזה שווה ל-
<math>\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1,\sigma^{-1}(1)} =1 & \cdots & a_{n,\sigma^{-1}(n)}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
אבל לא ביקשו את זה מאיתנו, והסימן של סיגמא נובע לפני הסימן של סיגמא במינוס אחד.
לגבי שאלתך על הקשר בין המטריצות האלמנטריות לחילופים, אז שים לב שהמטריצה שקיבלנו <math>\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1} =1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math> היא מכפלת מטריצות שורה אלמנטריות של חילופי שורות, כאשר כל חילוף שורות מתאים לחילוף בפירוק של סיגמא לחילופים.
(עדי)