שינויים
/* נוהל ערעורים */ פסקה חדשה
תשובה: נכון. שני הסימונים מייצגים מטריצות <math>2\times 2</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:42, 16 באוגוסט 2012 (IDT)
== תרגיל 5 שאלה 7 ==
(למרות שלהוכיח את זה לוקח שתי שורות)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:10, 16 באוגוסט 2012 (IDT)
לעצלנים שבינינו זה יעזור ;)
== שאלה ==
ממש לא הבנתי מה זה ker ו im של T כמו למשל ששואלים בשאלה 2 4 ,אני הבנתי את ההגדרות אבל לא הבנתי בתכלס איך פותרים
,אפשר דוגמה טובה שתוכל להסביר לי??
-> תקח העתקה לינארית ותמצא לה גרעין ותמונה. הגרעין זה ker והתמונה זה Im
== שאלה כללית ==
איך מכפילים מטריצה מגודל 2X2 במטריצה מגודל 3X3?? אפשר דוגמא???
לא מכפילים
סבבה תודה
== תרגיל 5 שאלה 8 ==
לאילו בסיסים סטנדרטיים בדיוק הכוונה בשאלה 8?(מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב פולינומים?)
1,x,x^2
או שאפשר להעביר את הפולינומים למקדמים שלהם (אחרי שמציבים 0 ו 1) ואז אפשר להשתמש בבסיס הסטנדטי הרגיל של R3..
== תרגיל 5 שאלה 6 א' ==
האם ניתן להשתמש במשפט שהוכחנו בהרצאה שדרגת המטריצה המייצגת שווה למימד מרחב התמונות של ההעתקה הלינארית?
תשובה: כן. אפשר להשתמש בכל משפט שראיתם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:59, 17 באוגוסט 2012 (IDT)
== ציונים בלינארית ==
איפה יש ציונים???
-> היו ציונים... אבל בגלל שהם לא היו שלכם הייתם קטנוניים והתלוננתם עליהם.. אז חסמו אותי.. ועכשיו אין ציונים! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]
== תרגיל 5 שאלה 10 ,11 ==
1.מה זה חזקת העתקות לינאריות?
2.מה מסמן הI בשאלה 11?
1. הרכבה של הע"ל, במקום לרשום ToToToT(הרכבה) רושמים פשוט T^4
2.העתקת היחידה. I(x,y,z) = (x,y,z.
-> מה טוטוטו ?! מה אתה רכבת?! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]
== תרגיל 5 שאלה 10 ==
אפשר כיוון לפתרון של א'?
תשובה: שים לב שאם <math>v \in V</math> אז <math>T(v)=T^4(v)=T(T^3(v))</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:57, 18 באוגוסט 2012 (IDT)
== מבחנים משנים עברו ==
שימו לב ש
[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|כאן]]
יש מבחנים משנים עברו, כמו גם קישורים לאתרים של פרופ' רזניקוב וצבאן ששם יש עוד הרבה מבחנים, לחלקם יש גם פתרונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:11, 20 באוגוסט 2012 (IDT)
בנוסף,
[http://www.bis.org.il/search_res_bank.asp באתר של אגודת הסטודנטים]
אפשר למצוא עוד כמה מבחנים.
שימו לב שיש מבחנים באלגברה לינארית 1 שמספר הקורס שלהם לא מתחיל ב 88 וזה אומר שהם לא של המחלקה למתמטיקה.
אפשר לעשות אותם בתור תרגול אבל
1) הם ממש קלים.
2) לפעמים יש שם חומר שלא למדנו, אז להתעלם מדברים כמו לכסינות, ערכים עצמיים, פולינום אופייני וכו' (שאלה מושגים שתלמדו עליהם בלינארית 2) .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:17, 20 באוגוסט 2012 (IDT)
:גם מכפלה פנימית לא למדנו נכון?
תשובה: נכון. לא למדנו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 20 באוגוסט 2012 (IDT)
== רשימת משפטים ==
נשאר שבוע עד למבחן ועדיין לא פורסמה רשימת המשפטים. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 08:39, 22 באוגוסט 2012 (IDT)
שאלתי את מיטל, רשימה תפורסם לכל המאוחר ביום ראשון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:34, 23 באוגוסט 2012 (IDT)
== קישור ==
תוסיפו את הקישור [הזה][http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html] בדף --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 09:33, 24 באוגוסט 2012 (IDT)
== מתי המבחן? ==
?
יום חמישי ב16:00 --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 13:28, 24 באוגוסט 2012 (IDT)
אני חושב שכן(ב30/08/2012) --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:58, 24 באוגוסט 2012 (IDT)
== מחשבון ועוד משהו ==
1) יהיה אפשר להשתמש במחשבון במבחן בליניארית(בבקשה רק תשובה ממישהו שבטוח 100%)? <BR>
2) רמת הקושי של המבחן קלה/קשה/שווה לרמת הקושי של המבחן הזה: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf ? <BR> --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:06, 24 באוגוסט 2012 (IDT)
מצטרף לשאלות [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:22, 24 באוגוסט 2012 (IDT)
יש פתרון למבחן בשאלה 2?
בשאלה 1 סעיף ב במבחן זה מבקשים לחשב מטריצות מייצגות של טי, טי בריבוע, טי בשלישית, טי ברביעית וכולי..
מה הכוונה וכולי ? כמה עוד מטריצות מייצגות של הע"ל צריך לחשב ?
(לא מרצה / מתרגל): בשאלה 1 תחשב את המטריצות המייצגות, תגיע אחרי כמה כאלו למטריצה שממנה כבר לא יהיה מה לחשב.
לגבי שאלה 2, אני אנסה להעלות לפה פתרון בקרוב --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:10, 25 באוגוסט 2012 (IDT)
פתרון שאלה 2
[[מדיה:001.jpg]] --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:31, 25 באוגוסט 2012 (IDT)
התשובה לשאלה 1 ב' צריכה להיות מטריצות מהצורה 4X4 (זה כולל שורות אפסים) ? כי כל פעם הראו לנו משהו אחר כך שאני לא בטוח איך התשובה אמורה להראות בסוף
ואם כן האם צריך להשאיר את המטריצה כמו שהיא או להוריד את שורות האפסים? -(אני זוכר שלא משנים/מורידים אותה אבל אני לא בטוח)
(לא מרצה / מתרגל) מה זאת אומרת למחוק שורות? כל שורה במטריצה חשובה! אין למחוק שורה מן המטריצה, אחרת היא משתנה. וכן, זה כולל שורות אפסים --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:51, 25 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובות: מה שגיא אמר נכון. התשובות ל 1ב צריכות להיות מטריצות <math>4\times4</math>. לא מוחקים שורות אפסים.
הפתרון שגיא העלה לשאלה 2 נכון. שימו לב שזה בדיוק המצב שיש סכום ישר <math>V\oplus W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 25 באוגוסט 2012 (IDT)
== שאלה לגבי שאלה 6 מבחן תשע"ב ד"ר בועז צבאן ==
במבחן של ד"ר בועז צבאן [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf הנ"ל], בשאלה 6, מה הכוונה ב<math>\bar{1}
</math> ? המספר שחיבורו ל1 נותן 0 בשדה ?
:למיטב הבנתי מדובר פשוט על 1. הסימון 1 עם קו מעליו, בא להציג את מחלקת השקילות של 1 באשר לשארית חלוקה בשלוש (כלומר במקום ה-1 הזה יכול לבוא 4, או 7, וכו, ולך זה לא ישנה כי כולם אותו דבר בשדה הנתון).
תשובה: זה פשוט <math>1</math> . יש כאלה שכותבים את האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> עם קו מעליהם כדי להדגיש שזה לא מספר רגיל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 25 באוגוסט 2012 (IDT)
== בשאלה 8 ==
למה צריך להסתבך באינדוקציה? אי אפשר לעשות פשוט n-1 פעולות עמודה (החלפת עמודות) ואז מקבלים את מטריצת היחידה?
תשובה: אתה מדבר על תרגיל 5 שאלה 8? אתה צודק. לא חייבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:46, 25 באוגוסט 2012 (IDT)
== זמני תרגול+הרצאה יום ראשון -26.7 ==
לא הבנתי את הזמנים שמלי שלחה ושינתה
מה שהבנתי זה:
לשתי הקבוצות יש הרצאה- ב- 10:00-12:00 בבוקר
ואז לקבוצה של איתמר יש תרגול ב - 12:00-14:00
האם זה הזמנים הנכונים??
== משפט 17 ו-2 ==
לא הבנתי מה המשפט אומר , מה זה (r(T ?
ובמשפט 2 ככה הגדרנו סכום ישר האם הכוונה פה שההגדרה של סכום ישר הוא שהחיתוך הוא אפס ואז להראות שזה או"א לכל וקטור יש הצגה יחידה
תשובה: לגבי משפט 17: <math>r(T)=rank(T)</math> ו <math>r([T]^E_F)=rank([T]^E_F)</math>.
לגבי משפט 2: כן, אם מגדירים סכום ישר לפי זה שחיתוך המרחבים הוא <math>\{0\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:08, 26 באוגוסט 2012 (IDT)
== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==
למי שביקש ממני היום הוכחה
נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).
ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.
כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.
ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.
שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.
יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.
נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.
כלומר
<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>
נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.
כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.
נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>
כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>
כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>
נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.
נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.
נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>
כלומר <math>DR=A</math>.
סוף שלב א'.
שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.
לפי כפל שורה שורה
<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>
כלומר
<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>
לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>
ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>
(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)
זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.
סוף שלב ב'
שלב ג': סיום.
נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>
בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן
<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:39, 26 באוגוסט 2012 (IDT)
== שלישי חינם ==
אם יבקשו במבחן להוכיח את שלישי חינם אני יצטרך להוכיח שמספר האיברים בקבוצה פורשת >= מספר האיברים בקבוצה בת"ל ?
תשובה: אני מתאר לעצמי שלא. אבל שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:46, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובת מיטל: הוכחנו בכיתה משפטים על פורשת מינימלית ובת"ל מקסימלית, והם בהחלט יכולים להסתמך על כך. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
מה זה שלישי חינם? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 19:31, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== בשביל להוכיח את משפט הדרגה של הע"ל ==
האם אפשר להוכיח את זה כך:
תהיה A מטריצה מעל F mxn.
נבנה הע"ל מ Fn ל F m ע"י:
T(V) = AV.
וברור כי:
rank(A) = C(A) = Im(T).
ker(T) = N(A).
ואז להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות ולקבל את הדרוש?
תשובה: ההוכחה הזאת נכונה מתמטית. אבל מה שאתה עושה פה זה להוכיח את משפט הדרגה של ההעתקות בעזרת משפט ההעתקה של מטריצות (שזה כמעט אותו משפט).
לכן לא נראה לי שזה טוב. אם אתם מתבקשים להוכיח את משפט הדרגה תשתמשו בהוכחה הסטנדרטית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:12, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
אבל אמרתם שמותר להשתמש בכל המשפטים, אלא אם כן דרשו להוכיח אותם. אז למה אי אפשר להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות?
תשובה: כי לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של העתקות זה כמו לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של מטריצות. ע"י ייצוג לפי בסיסים זה הופך לאותו משפט.
דרך אגב, אני מודע לכך ששאלות הוכחה במבחן הן תמיד השאלות שלא ברור לגביהן במה מותר להשתמש ובמה לא. לכן אני מבין את השאלות שאנשים שואלים כאן.
הדרך הכי בטוחה להתרחק מצרות היא לדבוק בהוכחות שראיתם בהרצאות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== נראה לי יש טעות בהקלדה של רשימת המשפטים ==
במשפט 16, אני דיי בטוח שזה צריך להיות איזומורפי ל F^dimWxdimV ולא ל F^dimVxdimW
<BR>
זה כמובן לא משנה כי
<math>
\mathbb{F}^{dimV \times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW \times dimV}
</math>
ע"י השיחלוף שהוא איזו'. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:03, 26 באוגוסט 2012 (IDT)
אבל האם אפשר ישירות להוכיח זאת? זאת אומרת בלי לעשות אחר כך עוד הע"ל?
תשובה: אתה צודק שהטענה ה"טבעית" יותר היא <math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>. אבל אם אם יבקשו במבחן להוכיח ש
<math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimV\times dimW}</math> אז תוכיח את הטענה הקודמת ותשתמש ב traspose בשביל להוכיח ש
<math>\mathbb{F}^{dimV\times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>.
אני חושב שזאת הדרך הכי פשוטה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:50, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== הוכחה של למת ההחלפה של שטייניץ ==
למי ששאל אותי היום על הוכחה של למת ההחלפה
יש כאן קישור [[מדיה:שטייניץ.pdf|הוכחה ללמת ההחלפה של שטייניץ]] (זה נמצא גם בעמוד הראשי של אלגברה לינארית 1).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 26 באוגוסט 2012 (IDT)
== A הפיכה משמאל => A הפיכה ==
אפשר להוכיח במבחן באמצעות הע"ל? כלומר:
<br>
<math>
T(X)=A\cdot X
</math> איזו' ולכן קיים <math>B</math> כך ש:
<math>
A\cdot B=I
</math> ??
<br>תודה [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:27, 26 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובה: אני לא רואה סיבה שלא, אבל ליתר בטחון שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:51, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובת מיטל: אפשר ורצוי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== משפט מספר 8 ==
כשרשמו לנו אותו לא נמצאת ההוכחה,
וניתן רק להוכיח אותו בעזרת איזומופריזם בהמשך, אני אשמח אם תסביר בקצרה אתה ההוכחה הזאת ( לא משנה לי אם בעזרת מטריצות מעבר או איזומורפיזם)
תשובה: נניח ש <math>A\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> הפיכה משמאל, כלומר קיימת <math>B\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>BA=I</math> (מי שרגיל שזאת ההגדרה של הפיכות מימין אז שיניח ש <math>A</math> הפיכה מימין).
נגדיר העתקה לינארית <math>T:\mathbb{F}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times n}</math> על ידי
<math>T(X)=AX</math>.
נשים לב ש <math>T</math> חח"ע כי אם <math>T(D_1)=T(D_2)</math> אז <math>AD_1=AD_2</math> אם נכפול משמאל ב <math>B</math> נקבל ש <math>D_1=D_2</math>.
היות ו <math>T</math> העתקה לינארית. העובדה ש <math>T</math> חח"ע גוררת שהיא גם על.
בפרט <math>I \in Im(T)</math> כלומר קיימת מטריצה <math>C \in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>T(C)=I</math> כלומר <math>AC=I</math>.
נשאר רק להראות ש <math>B=C</math> וזה קל היות ו <math>B= BI= B(AC)=(BA)C=IC=C</math>. מש"ל--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:59, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
:למה העובדה ש T חח"ע גורר שהיא על?
תשובה: טענה: אם <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית כך ש <math>dimV=dimW=n</math> אז <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על.
הוכחה: לפי משפט הדרגה <math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n</math>
עכשיו
<math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>Ker(T)=\{0\}</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimKer(T)=0</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimIm(T)=n</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>Im(T)=W</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== משפט 16 ==
אני לא מוצאת הוכחה לזה בסיכומי ההרצאות שלי... מישהו יכול להפנות אותי להוכחה או להגיד לי איפה זה בערך נמצא בסיכומים? תודה!--[[משתמש:Inbarsavoray|Inbarsavoray]] 13:52, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובה: תחפשי הוכחה לזה שבהינתן בסיסים <math>B,C</math>, פונקציית ייצוג לפי בסיסים היא איזומורפיזם
<math>[\quad]^B_C:Hom(V,W)\rightarrow \mathbb{F}^{dimW \times dim V}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:02, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== פתרון תרגיל 4 ==
אפשר בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 4? עוד לא העלו פיתרון.. תודה!
== ה"ל מעל Zp ==
מה זה אומרת ה"ל מעל Zp?
העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> הם מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== מטריצות בסיסיות ==
אנחנו צריכים לדעת לפתור שאלות כמו שאלה 12 פה:
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf
תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:08, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
מה זה מטריצה בסיסית?
(לא מרצה/מתרגל) מטריצה Eij היא מטריצה עם 1 במקום הij ו0 בשאר המקומות, נקראת בסיסית.
תשובה: התשובה שמעלי נכונה. <math>E_{i,j}</math> זה סימון סטנדרטי. כדאי לדעת גם ש הקבוצה <math>\{E_{i,j}\}</math> של כל המטריצות האלה מהווה בסיס למרחב המטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:14, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== מבחן 2005 מועד ב' שאלה 5' ==
בשאלה 5 פה:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1b65.pdf
השאלה היא כמה פתרונות שלמים יש למערכת מעל R בין 0ל6
או כמה פתרונות יש למערכת מעל Z7?
(לא מרצה / מתרגל) פתרונות המשוואה מעל <math>\mathbb{Z}_7</math>--[[משתמש:גיא|גיא]] 19:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:15, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== הפיכות מטריצה ==
אם אומרים ש A הפיכה משמאל, זה אומר שקיימת B כך ש AB=I או ש BA=I?
(לא מרצה / מתרגל) קיימת B כך ש-BA=I. אם אומרים שהיא הופכית משמאל אז למעשה אומרים שיש לה מטריצה הופכית מצד שמאל --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
(לא מרצה/מתרגל) בדיוק הפוך..
(לא מרצה / מתרגל) אני די בטוח שמה שאמרתי נכון, נחכה שאחד המתרגלים / מרצים יענה --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובה: יש כאלה שמגדירים ככה ויש כאלה שמגדירים הפוך. אין בזה מוסכמה גורפת. אני רגיל כמו שגיא הגדיר, אבל הבנתי שלפחות בהרצאה של מיטל הגדירו הפוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
(לא מרצה / מתרגל) - אני אצל מיטל וככה היא לימדה אותנו גם --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
(לא מרצה/מתרגל) אני אצל מיטל והיא למדה אותנו כמו שאני אמרתי...
== משפט 1 ==
מישהו יכול להעלות בבקשה פתרון למשפט 1 מהמשפטים להוכחה ?
תשובה:
הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
שלב א':
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>
<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>
<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>
שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.
אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)
מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.
שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.
אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.
קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.
<math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.
לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
שלב ה: סיום
נותר רק לכפול משמאל את
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.
ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.
ולקבל
<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== הע"ל מעל שדה ==
מה זה אומר הע"ל מעל שדה מסויים?
תשובה: אומרים ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> אם היא העתקה לינארית
<math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>.
(שימו לב ש <math>V,W</math> חייבים להיות מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math> אחרת ההגדרה של העתקה לינארית היא חסרת משמעות,
כלומר אין פשר לדרישה <math>T(\alpha v) = \alpha T(v) </math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:19, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== מרחב הפולינומים.. ==
יש לי כמה שאלות:
1. מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2?
2. איך לדוגמא מייצגים את 1+X^2 בתור כפל של סקלרים בבסיס הסטנדרטי?
תשובה:
1. <math>\left \{ 1,X,X^2 \right \}</math>
2. (1,0,2)
== שאלה 11 ב2005 מועד א' ==
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf
איך עושים את 11?
תשובה: תפתור בספר של צבאן את שאלה 4.6 (סעיפים א' ב') בפרק א ואז קל לפתור את שאלה 11.
אם אתה לא מצליח או שזה עדיין לא ברור אני אסביר יותר במפורט.
באמת אולי היינו צריכים להציג במפורש את משפט פרמה הקטן בקורס הזה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:38, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
:אתה יכול להסביר יותר במפורט?
תשובה: קודם אני אציג את הפתרון של תרגיל 4.6
סעיף א) בשדה ממאפיין <math>p</math> מתקיים <math>(a+b)^p=a^p+b^p</math>.
זה בגלל שלפי הבינום של ניוטון
<math>(a+b)^p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^kb^{p-k}</math> ו <math>p</math> מחלק את <math>\binom {p}{k}</math> כש <math>0<k<p/math>.
לכן כל מה שנשאר מהסכום אלה האיברים הראשון והאחרון <math>a^p+b^p</math>, כל השאר הם <math>0</math>. כי המאפיין הוא <math>p</math>.
סעיף ב) לכל <math>a \in \mathbb{Z}_p</math>, מתקיים ש <math>a^p=a</math>.
הוכחה: באינדוקציה על <math>a</math>. אם <math>a=0</math> הטענה נכונה בבירור.
נניח שהטענה נכונה עבור <math>a</math>, נוכיח אותה עבור <math>a+1</math>.
לפי סעיף א' <math>(a+1)^p=a^p+1^p=a^p+1</math>.
ולפי הנחת האינדוקציה <math>a^p+1=a+1</math>.
לכן בסך הכל <math>(a+1)^p=a+1</math>.
שזה מה שרצינו להוכיח.
עכשיו נעבור לשאלה במבחן.
אם <math>\mathbb{F}=\mathbb{Z}_p</math>.
אז <math>T(a)=a^p=a</math>. שזו העתקת הזהות ולכן היא באמת העתקה לינארית.
שזה אומר שסעיף 4 נכון. אבל זה עדיין לא מסיים את העבודה כי יכול להיות שגם סעיף 3 נכון, והוא יותר חזק מסעיף 4.
נניח ש <math>char(\mathbb{F}=p</math> ונוכיח ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.
שלב ראשון :<math>T(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=T(a)+T(b)</math>.
שלב שני: <math>T(\alpha a)=(\alpha a)^p=(\alpha)^p a^p = \alpha a^p = \alpha T(a)</math>.
(שים לב ש <math>\alpha\in \mathbb{Z}_p</math>)
לסיכום, התשובה הנכונה היא 3.
ואיך היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה בלי המשפט?
תשובה: אני לא רואה דרך סבירה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
דרך אגב, למיטב ידיעתי (אבל אני לא מבטיח) אין במבחן שלכם תשובות "נכונות" ותשובות "יותר נכונות". כלומר אם שאלה כמו שאלה 11 הייתה מופיעה במבחן שלכם. לסעיף 4 היינו מוסיפים: "אבל יש שדה <math>\mathbb{F}</math> כלשהוא עם מאפיין <math>p</math> כך ש <math>T</math> אינה העתקה לינארית"
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
== הבוחן שהיה ==
אתם יכולים להעלות פתרונות לבוחן אמצע..?
אני מקווה שאני אספיק--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
שמתי פתרון בדף הראשי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
תודה!
== איך פותרים את תרגיל 4 ==
פה
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a64.pdf
?
שיטה א': תמצא דוגמאות ששוללות את כל האופציות הלא נכונות.
שיטה ב': היה לכם בשיעורי הבית (בתרגיל 4) שאלה שתעזור להבין מה הפתרון הנכון. (תזכרו שמטריצות והעתקות מתנהגים אותו דבר).
אם זה עדיין לא ברור אני אסביר יותר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:42, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
אני לא מצליח..
שיטה א': נגדיר <math>T(x_1,x_2, \ldots ,x_{32})=(0,x_1,x_2, \ldots , x_{31})</math> (העתקת הזזה).
זאת דוגמא נגדית ל 2,3,4 . לכן 1 נכון.
שיטה ב': בתרגיל 4 שאלה 7 הוכחתם שבהכרח מתקיים ש <math>T^{32}=0</math>.
מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
כן ברור אבל איך אפשר להוכיח ש T^32 = 0?
תשובה: באותה טכניקה שהשתמשתם בתרגיל 4 שאלה 7.
הרי קיים <math>k</math> כך ש <math>T^k=0</math> אבל <math>T^{k-1}\neq 0</math>.
תוכיח שקיים <math>v</math> כך ש <math>v,T(v), \ldots ,T^{k-1}(v) </math> היא קבוצה בת"ל בגודל <math>k</math>.
לכן <math>k \leq n</math>. ולכן <math>T^n=T^{32}=0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
מי אמר אבל ש T לא שווה לאפס? ולכן <math>T^{k-1}\neq 0</math> לא נכון
תשובה: אז מה? אם <math>T=0</math> אז <math>k=1</math> ואז <math>T^{k-1}=T^{0}=I \neq 0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
== בסיס ומימד של חיתוך ת"מ ==
התבקשתי להעלות דוגמאות:[[מדיה:sub_dimx2.pdf|דוגמאות]]
--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 22:34, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== דרגת העתקה שווה לדרגת המטריצה המייצגת ==
תהי
<math>
T:V\rightarrow W
</math>
הע"ל. כיצד מוכיחים כי
<math>
rank(T) = rank([T]_{C}^{B})
</math>
<br>
חיפשתי ולא מצאתי את ההוכחה.
תודה! [[משתמש:ABAB|ABAB]] 12:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובה: אני מתאר לעצמי שההוכחה שראיתם בכיתה היא משהו בסגנון הזה:
<math>rank([T]^B_C)= dim C([T]^B_C)= dim \{[T]^B_Cv \mid v \in \mathbb{F}^n\}=dim\{[T]^B_C[u]_B \mid u \in V \} = dim\{[T(u)]_C \mid u \in V\}
</math>
(בגלל ש <math>[\quad]_C</math> היא איזומורפיזם)
<math>=dim\{T(u) \mid u \in V\} = dimIm(T) = rank(T)</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:31, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
*ההוכחה שראינו בהרצאה (של מיטל):
הניסוח: יהיו V,W מ"ו מעל שדה F.נגדיר E בסיס לV, וכן F בסיס לW, ותהי T מV לW הע"ל. אז מתקיים:<math>rank(T) = rank([T]_{F}^{E})</math>
הוכחה: נסמן {v1,...vk} בסיס עבור (ker(T, וכן {(T(u1),...T(ul}, בסיס עבור (im(T, ולכן המימד של התמונה הוא l. מתקיים: {,u1,...ul,v1,...,vk} בסיס עבור V, נסמנו B (הוכחנו זאת כאשר הוכחנו את משפט הדרגה).
אזי מתקיים:
<math>\left[ T \right] ^{ B }_{ F }\quad =\quad ([T(v_{ n })]_{ F }...[T(v_{ n })]_{ F }[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })\quad =\quad (0...0[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })</math>
(כאשר מדובר במטריצה שעמודותיה הן הוקטורים האלו, כשרשום אפס הכוונה לעמודת אפסים). אבל אמרנו כי {(T(u1),...T(ul} בסיס, וכן F בסיס ולכן l העמודות האחרונות הן בת"ל, ומתקיים <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=l</math> . נותר להוכיח כי <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=r(\left[ T \right] ^{ E }_{ F })</math>.
מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/e/e2/Gif.gif]
כאשר המעבר האחרון מתבצע בגלל המשפט שאומר: אם A הפיכה מתקיים (r(BA)=r(B, ובמקרה שלנו מטריצת המעבר היא הפיכה, ולכן הדרגות שוות.
ובסה"כ נקבל:[[http://www.math-wiki.com/images/9/9b/Gif_%281%29.gif]]
== משפט ההגדרה ==
מה הניסוח של משפט ההגדרה של ה"ל
ומה הניסוח של משפט הדרגה?
*משפט ההגדרה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, מתקיים dimv=n. אם ניקח {v1,...,vn} בסיס עבור V, וכן{w1,...,wn} '''קבוצה''' מוכלת בW, אזי קיימת T מV לW כך שהיא הע"ל, והיא יחידה, והיא מקיימת T(vi)=wi לכל i בין 1 ל-n.
משפט הדרגה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, ותהי T מV לW הע"ל. אזי מתקיים:
(dim(ker(t))+dim(im(t))=dim(v
ובמילים- מימד התמונה (דרגת ההעתקה) ועוד מימד הגרעין (האפסיות של T) שווה למימד של V.
== שאלה כללית ==
T : Z2[x] → Z2 מה מסמל הסוגרים המרובעים שמסביב לX?
:פולינומים מעל Z2 במשתנה x
== כפילות הדט ==
בשביל להוכיח את כפילות הדט צריך להסתמך על כך שפונקציה שמקבלת A ומחזירה את הדט של AB היא כמו דטרמיננטה וכן את המשפט שאומר שפונקציה כמו דטרמיננטה זה בעצם (f(I כפול הדט של A מה צריך להוכיח ועל מה אפשר להסתמך?
וגם במשפט לאפלס(פיתוח לפי שורה ) אפשר להסתמך על חישוב לפי מטריצת בלוקים?
תשובה: לגבי כפליות הדטרמיננטה.
אני מתאר לעצמי שאפשר להסתמך על כך שפונקציה "כמו דטרמיננטה" היא <math>f(I)|A|</math>.
אבל בטח שצריך להוכיח ש <math>f(B)=|AB|</math> (או להפך, אני לא זוכר כרגע), היא כמו דטרמיננטה. זאת כל ההוכחה.
כדי להיות בטוח אני אשלח למיטל מייל.
לגבי משפט לפלס. אתה יכול לפרט יותר את השאלה? באיזה הוכחה אתה רוצה להשתמש (יש כמה) ועל איזה משפט בדיוק אתה רוצה להסתמך בלי הוכחה?
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:37, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
== תרגיל ממבחן דמה ==
http://www.math-wiki.com/images/d/d5/11Linear1Dumbtest2.pdf
לא הצלחתי לפתור את תרגיל 6 ו-5 סעיף א, אשמח לעזרה!
תשובה:
לגבי 5 סעיף א'. אני חושב שהכוונה היא כזאת:
היות ולמערכת יש <math>2</math> פתרונות, היא חייבת להיות מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. ויש משתנה חופשי אחד, כלומר דרגת המטריצה היא 2.
יש 4 מקומות במטריצה שאנחנו לא יודעים (ובכל אחד מהם יכול להיות 0 או 1).
סה"כ יש 16 אפשרויות לבדוק. שזה מעצבן אבל סביר, צריך לעבור על האפשרויות אחת אחת ולבדוק באיזה מהן אחת השורות תלויה באחרות (ולכן דרגת המטריצה היא 2).
כרגע אני לא רואה דרך יותר טובה לפתור את זה. אם למישהו יש רעיון אחר שיכתוב.
לגבי שאלה 6:
אני מכיר דרך לפתור את זה, אני לא יודע אם זאת הדרך הכי טובה.
אפשר לקחת בסיס כלשהוא <math>B</math> ל <math>V</math> ולקבל ש
<math>[T]_B[S]_B=[S]_B[T]_B</math> כלומר המטריצה המייצגת של <math>T</math> מתחלפת עם כל מטריצה אחרת.
בפרט היא מתחלפת עם מטריצות בסיסיות <math>E_{i,j}</math>. אם עובדים עם זה קצת, אפשר להוכיח ש <math>A=[T]_B</math> אלכסונית.
הוכחה פחות או יותר: כי אם <math>j \neq k</math> אז <math>E_{i,j}AE_{k,l}=A_{j,k}E_{i,j}</math>
אבל בגלל החילוף <math>E_{i,j}AE_{k,l}=AE_{i,j}E_{k,l}=0</math>
(אפשר גם להוכיח ש <math>A</math> סקלרית אבל זה לא נדרש כאן)
ואז הבסיס <math>B</math> הוא קבוצת הוקטורים המבוקשת.
(לידע כללי: התנאי שיש בשאלה הזאת הוא חזק מאוד, וההעתקות היחידות שמקיימות אותו הן כאלה של כפל בקבוע <math>T(v)=\alpha v</math>.)
כמו קודם, אני לא בטוח שזאת הדרך הכי פשוטה, מוזמנים להעלות עוד רעיונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
תודה רבה, עזרת לי מאוד.
== משפט כפליות הדט' ==
*האם תוכלו להעלות את ההכוחה ש|f(A)=|AB היא כמו דט'? בהרצאה לא הוכחנו את זה אלא ציינו.
*האם אפשר להוכיח ככה:
נראה כי |f(A)=|AB היא כמו דט' על ידי כך שנראה כי היא (1)מתאפסת כאשר יש שתי שורות זהות, וכן (2) מחליפה סימן עם החלפת שורות.
(1) אם בA יש שתי שורות זהות, נקבל כי A|=0|, ולכן A לא הפיכה, וגם AB לא הפיכה (אם נניח בשלילה כי AB הפיכה בפרט הפיכה משמאל, לכן קיימת C עבורה AB)C=I), ולפי אסוצ' נקבל A(BC)=I כלומר A הפיכה משמאל, לכן הפיכה בסתירה), ואם AB לא הפיכה 0=|AB|, כדרוש.
(2)אם נחליף שתי שורות i,j בA ונסמן את המטריצה החדשה 'A, נקבל כי |A'|= -|A|. אפשר לרשום A'=pA, כאשר p היא מטריצה אלמנטרית של החלפת השורות i,j. .לכן מתקיים:
|(f(A')=|A'B|=|(pA)B|=|p(AB
קיבלנו מטריצה שבה שינו את השורות הi,j ולכן הדט' שלה היא |AB|-, כלומר מתקיים (f(A')= -|AB|= -f(A ,כדרוש.
תזכורת כי צריך גם להראות ליניאריות בכל שורה.
*אמרנו בהרצאה כי מספיק להראות את שתי התכונות הנ"ל כדי להוכיח כי פונ' כלשהי היא כמו דט'.
:זה משפט ש (pA)B=p(AB) ?
*תשובה: מדובר בשלוש מטריצות p,B,A ועבורן מתקיימת אסוצ' הכפל, הוכחנו בהרצאה (אצל מיטל אבל אני גם בטוח שגם אצל אלי הוכיחו, זה בסיסי ממש).
נראה לי שיותר קל להראות את זה עם כפל שורה שורה ואז להשתמש בתכונות של הדטרמיננטה
תשובה: אני חושב שחלק מהדברים שנכתבו כאן למעלה לא נכונים.
יש שלוש תכונות (כמובן חוץ מהדרישה ש <math>f(I)=1</math> שלא דורשים בשביל "כמו דטרמיננטה").
1) מולטי לינאריות.
2) אם יש שתי שורות זהות הדטרמיננטה היא 0.
3) חילוף של שתי שורות משנה את הסימן של הדטרמיננטה.
למיטב ידיעתי.
1+2 גורר את 3.
1+3 גורר את 2 (אולי חוץ מאשר כשעובדים מעל שדות עם מאפיין 2).
2+3 לא גוררים את 1, אין לי דוגמא כרגע בשלוף אבל אני אהיה מאוד מופתע לגלות שזה נכון, אף פעם לא ראיתי כזה טיעון.
באמת, כדי להוכיח ש<math>f(A)=|AB|</math> מקיימת את 2 מוכיחים כמו שהראו פה למעלה.
ובנוסף צריך להוכיח שהיא מולטי לינארית (עושים את זה עם כפל שורה -שורה, זה לא כזה מסובך).
אחרי שמוכיחים את זה, זה נותן ש <math>f</math> היא "כמו דטרמיננטה".--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:23, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
*אתה יכול להראות איך עושים את זה?
ועלתה לי עוד שאלה בנושא הזה - מה בדיוק הרעיון של מולטי לינאריות? אני מוכיח כי מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/9/9e/Daum_equation_1346219922031.png]
אבל בעצם המטריצה השנייה באגף הימני היא מטריצה עם שתי שורות זהות (השורה הj חוזרת על עצמה פעמיים), והדט' שלה היא אפס, אז אי אפשר להשמיט את זה?
תשובה:
אם <math>A = \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i + \alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}
</math>
אז
<math>f(A)=|AB|=
| \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i +\alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}B|</math>
לפי כפל שורה שורה זה
<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & (u_i +\alpha v)B & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>
וזה כמובן שווה ל
<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB +\alpha vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>
לפי מולטי-לינאריות של דטרמיננטה
זה שווה ל
<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|
+\alpha | \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>
שזה שוב לפי כפל שורה שורה
<math>f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})+ \alpha f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})</math>
תשובה לשאלה השניה שלך:
מולטי לינאריות אומרת שאם שורות המטריצה הן <math>u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n</math>
אז <math>f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n)=f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i, u_{i+1} , \ldots , u_n)+\alpha f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, v, u_{i+1} , \ldots , u_n)</math>
איפה באיבר השני יש שורה שחוזרת על עצמה?
<math>v</math> לא חייב להיות קשור ל <math>u_j</math> כלשהוא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
*הבנתי, תודה רבה!
== איך פותרים את שאלה 4? ==
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a60.pdf
יש שיטה כלשהי חוץ מלהציב כל ערך אפשרי ולבדוק?
אפשר באמצעות חילוק פולינומים (x=-1 הוא פתרון).
כמו שרשמו מעלי זה נכון, אבל בתכלס הדרך הכי פשוטה פה זה פשוט להציב זה ממש פשוט שאלה מתנה, אם זה מZ של 7 נגיד 50 אתה פשוט עושה כמו שרשמו מעלי, מחשב את זה כמו משוואה רגילה ואז עושה את המודולו.
== מתי המבחן? ==
?
*יום חמישי (מחר) בשעה 16:00.
== הוכחה ל16 ==
אתה יכול להוכיח את משפט 16?
תשובה : קח תהנה http://www.siz.co.il/view/joftnmng1ixc.png.htm
אנשים תעזרו אחד לשני
בשביל להוכיח שההעתקה היא חח"ע אפשר לעשות את זה ככה?:
<math>[T1]^B_C = [T2]^B_C</math>
ולכן
<math>[T1-T2]^B_C = 0</math>
אבל רק
<math>[0]^B_C = 0</math>
ולכן
<math>T1-T2 = 0</math>
ואז
<math>T1 = T2</math>
???
לא יודע (אני לא מתרגל או מרצה) אבל ההוכחה היא כל כך פשוטה למה סתם להסתבך?
* הוכחה נוספת היא בעזרת חישוב הגרעין, והיא הכי פשוטה לדעתי. הגרעין יכול להכיל רק את העתקת האפס, אחרת יהיה איבר במטריצה המייצגת שאינו אפס, והיא תהיה שונה ממטריצת האפס בניגוד להגדרת הגרעין. לכן הגרעין הוא רק אפס (והכוונה כאן להעתקת האפס), כלומר ההעתקה היא חח"ע.
לא הבנתי למה צריך להוכיח שזו הע"ל, לא מספיק רק חח"ע ועל???
*לא להוכיח שזו הע"ל זה קצת בעיה, כי כל מה שהגדרנו עובד על הע"ל, ולא סתם על פונקציה. בכל מקרה פה ההוכחה היא שורה-שתיים, ככה שזו לא בעיה.
== כשאומרים יחידות הצגה (משפט 2) ==
זה אומר שאם:
<math>v_1 = u_1 + w_1</math>
וגם
<math>v_1 = u_2 + w_2</math>
אזי
<math>u_1 = u_2</math>
<math>w_1 = w_2</math>
זה לא מדויק זה קצת יותר מסובך, אתה צריך להראות שבגלל שהם זרים ( חיבור ישר) אז הדבר הזה מתקיים ולא לגמרי ככה.
בגלל שהם זרים אז u1 -u2שייך לחיתוך בניהם ובגלל שהחיתוך ריק אז הם שווים לוקטור האפס ולכן הם שווים .
אני לא מדבר על ההוכחה, אני שואל האם זו ההגדרה ליחידות הצגה?
*ההגדרה היא שיש דרך אחת בלבד "להרכיב" אותו בעזרת וקטור מU ווקטור מW. ההגדרה שהבאת נכונה.
== משפט 10 ==
אני לא מבקש את ההוכחה היא די פשוטה העניין הוא כזה, במבחן יכולים לבקש ממני לנסח את כולו או שייתנו לי אותו (כולל כל הסעיפים) ואז יבקשו רק שאני יוכיח מסעיף לסעיף?
תשובה: למרות שלא נראה לי סביר שיבקשו לנסח, יכולים לבקש.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
== משפט 15 ==
המטריצה לא אמורה להיות ריבועית? (כתוב שהיא m על n)
*לא, היא יכולה להיות מגודל mXn גם אם m שונה מn.
לא בגלל שתחשוב על זה ככה אם דרגת המטריצה שווה לn אז גם דרגת העמודות, כלומר לא קיים אף עמודה שאין לה איבר חופשי, לכן יש N שורות לא ריקות במטריצה המדורגת, אבל אולי יש כמה ריקות, המשפט מנסה להראות שהוא נכון גם בעוד מצבים חוץ מאשר שהמטריצה ריבועית ובגלל זה רשמו n ו m.
צודק, חשבתי שהם רצו שנכפיל בהופכית..
== בשביל להוכיח את כפליות הדטרמיננטה ==
אפשר להסתמך על זה שב "כמו דטרמיננטה" |f(A) = f(I) * |A?
אני מתאר לעצמי שכן. שלחתי על זה מייל למיטל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
תשובת מיטל: אפשר להסתמך ואין צורך להוכיח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
מזל תודה :)
== שעה ==
באיזה שעה המבחן מחר? מצפה לתשובה עם הוכחה. :) [[משתמש:ABAB|ABAB]] 16:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
קל לראות שזה ב 16:00
תודה זה היה טריוויאלי [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:04, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
== שאלה ממבחן ==
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA1_68b.pdf
שאלה 3 סעיף ג', איך לפתור? יצא לי 2 אבל אני לא בטוח.
מה יצא לך בכל הסעיפים לפני זה?
אם אפשר איך הגעת לפתרון הזה?
תשובה: אני לא יודע מה הפתרון הכי פשוט.
אבל אפשר לעשות ככה:
הסבר משופר:
שלב א': אם משתמשים באיזומורפיזם <math>[\quad]_S</math> מקבלים שהמרחב הזה איזומורפי למרחב המטריצות <math>A </math> כך ש <math>AM=0</math> (כאשר <math>M</math> היא מטריצה מייצגת של העתקה <math>R</math>). ולכן יש להם אותו מימד.
שלב ב': <math>\{A \mid AM=0\} = \{A \mid M^tA^t = 0\}\cong \{A \mid M^tA=0\}</math>.
כאשר האיזומורפיזם הוא בעזרת transpose.
שלב ג':
נשים לב ש <math>A \in \{A \mid M^tA=0\}</math> אם ורק אם <math>C_i(A) \in N(A)</math> לכל <math>i</math>.
כלומר <math>A</math> נמצאת בקבוצה הזאת אם ורק אם כל עמודה שלה נמצאת במרחב האפס של <math>M^t</math>.
שלב ד':
את המימד של מרחב האפס של <math>M^t</math> אנחנו יודעים, זה בדיוק המימד של מרחב האפס של <math>M</math>. נסמן אותו ב <math>k</math> (אין לי כח לחשב עכשיו)
אם <math>b_1,\ldots b_k</math> בסיס עבור <math>N(M^t)</math> אז בסיס עבור <math>A \in \{A \mid M^tA=0\}</math>
יהיה מורכב מ 4 קבוצות:
<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה הראשונה וכל השאר אפסים.
<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה השניה וכל השאר אפסים.
<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה השלישית וכל השאר אפסים.
<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה הרביעית וכל השאר אפסים.
סך הכל <math>4k</math> מטריצות וזה המימד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:03, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
:אתה יכול להסביר עוד פעם?
== הופכיות מצד אחד ==
משפט 8, לא מצאתי את ההוכחה למשפט הזה, יש מצב להוכחה?
עוד שאלה- אם המטריצה לא ריבועית, אז יכול להיות שקיימת לה הופכית משמאל ושהיא לא הפיכה מימין(או להפך)?
תודה רבה!
אם מניחים ש A הפיכה מימין, אזי קיימת B כך ש BA = I.
ואז בונים העתקה T(X) = AX (כאשר X זו מטריצה).
מוכיחים שזאתי הע"ל וגם חח"ע, ולכן היא על.
ולכן בפרט יש מקור ל I, ולכן קיימת M כך ש AM = I.
ואז מה שנשאר להוכיח זה ש M = B וזהו.
:וכנ"ל אם היא הפיכה משמאל זה אותו רעיון רק שעכשיו ההעתקה תהיה XA ולא AX
ולשאלה השנייה שלך, אם <math>A</math> לא ריבועית היא יכולה להיות הפיכה משמאל בלבד (או הפיכה מימין בלבד).
דרך אגב, יש עוד דרך להוכיח את הטענה הזאת, בלי להשתמש בהעתקות לינאריות.
והיא תרגיל 6.11 בספר של צבאן (בפרק 3).
אבל אני מסכים שההוכחה עם העתקות יותר קלה.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:27, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
תודה!
== בת"ל מקסימלית היא בסיס ==
האם זו הוכחה טובה למשפט " אם A קבוצה בת"ל מקסימלית אז היא בסיס " ? :
יהי V מ"ו ותהי A בת"ל מקסימלית. צ"ל : V מוכל שווה ב-spanA (ההכלה השנייה טריוואלית).
הוכחה :
נניח בשלילה ש-V לא מוכל שווה בspA, כלומר קיים וקטור b ששייך ל V\spA.
b לא שייך לspA כלומר b אינו צי"ל של איברי A (הגדרת span) גורר ש A איחוד נקודון b בת"ל וזו סתירה לנתון ולכן V=spA ולכן A בסיס ל-V.
בבקשה זה חשוב .
זאת הוכחה טובה, אני רק הייתי מוסיף הסבר יותר מפורש/ברור למה אם <math>b</math> אינו צירוף לינארי של איברי <math>A</math> אז <math>A</math> איחוד <math>b</math> בת"ל. (רק להוסיף עוד שורה או שתיים של הוכחה או משהו מעין זה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:06, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
אוקיי, תודה רבה !
== תרגיל 6 שאלה 4ד ==
לא הבנתי איך עברתם מ-<math>P^{-1} A^{-1} P |P^{-1} | |A||P|</math> ל-<math>P^{-1}A^{-1}|A|P</math>, תוכלו להסביר בבקשה?
:<math>|P^{-1} |=1/|P|</math> וכיוון שהכפל קומוטטיבי <math>|P^{-1} | |A||P|=|A|</math>. בנוסף נזכור שדטרמיננטה היא "מספר" (סקלר מהשדה). ו <math>kA=Ak</math> לכל סקלר k ומטריצה A. --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 20:30, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
== שאלות הוכחה ==
בשאלות הוכחה במבחן נצטרך גם לנסח את המשפט?
תשובה: יכול להיות שיבקשו לנסח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:51, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
== איזומורפיזם ==
אני רואה שהרבה פעמים משתמשים באיזו' להוכחות של דברים, ואני מרגיש שאני לא מבין את הנושא עד הסוף. מה התכונות של איזו' חוץ מחח"ע על והע"ל?
אם אני מוכיח שV וW איזומורפים מה זה נותן לי?
תשובה: זאת נקודה חשובה. דבר ראשון, שים לב ש<math>V</math> איזומורפי ל <math>W</math> אם יש העתקה לינארית (לא סתם פונקציה) שהיא חד חד ערכית ועל.
מה איזומורפיזם אומר לנו? ששני המרחבים הוקטוריים האלה מתנהגים אותו דבר. הדבר החשוב ביותר הוא שיש להם את אותו מימד. (שים לב שיש גם משפט שאומר שההפך נכון, שני מרחבים מאותו מימד (סופי) הם איזומורפיים).
בנוסף, אם <math>T</math> הוא האיזומורפיזם הוא מאפשר לנו להעביר "מידע" מ <math>V</math> ל <math>W</math> למשל:
אם <math>A</math> בת"ל ב <math>V</math> אז <math>T(A)</math> בת"ל ב <math>W</math>.
אם <math>A</math> פורשת ב <math>V</math> אז <math>T(A)</math> פורשת ב <math>W</math>.
אם <math>U</math> תת מרחב של <math>V</math> ממימד <math>k</math> אז <math>T(U)</math> תת מרחב של <math>W</math> ממימד <math>k</math>.
אם <math>U_1 \oplus U_2 = V</math> אז <math>T(U_1) \oplus T(U_2) = W</math>.
וכן הלאה וכן הלאה.
כל טענה של מרחבים וקטוריים שמתקיימת ב <math>V</math> אפשר "להעביר" ל <math>W</math>.
(וגם את ההפך אפשר לעשות עם <math>T^{-1}</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:59, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
== משפט 10 ==
אם יתנו להוכיח את משפט 10 אז כבר ינסחו אותו, נכון?
תשובה: יש לשער שכן. אבל אני לא מבטיח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
== שאלה בנוגע לדרגה ==
אם יש שתי מטריצות A B ריבועיות, וA הפיכה, האם נכון לאמר ש(r(AB)=r(BA?
והאם זה שווה ל(r(B?
ניסיתי למצוא הפרכה ולא הצלחתי, וכשניסיתי להוכיח לא הוכחתי עד הסוף.
תשובה: אם ב <math>r</math> אתה מתכוון <math>rank</math>. אז כן.
<math>rank(AB)=rank(BA)=rank(B)</math> (אם <math>A</math> הפיכה).
אם אתה מתכוון למרחב השורות אז <math>R(B)=R(AB)</math> (כש <math>A</math> הפיכה).
(כי אפשר לחשוב על <math>A</math> בתור רצף של פעולות שורה אלמנטריות והן לא משנים את מרחב השורה).
אבל הם לא בהכרח שווים ל <math>R(BA)</math>.
למשל אם <math>B=E_{1,1}</math> ו <math>A=E_{2,1}+E_{1,2}</math> אז <math>BA = E_{1,2}</math> ו
<math>R(E_{1,2}) \neq R(E_{1,1})</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:48, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
*התכוונתי לדרגה, תודה.
== שאלה לגבי המבחו ==
אם במבחן בחלק הראשון בשאלה 1 אני צריך להוכיח משפט מסויים, ובשאלה 2 עוד משפט..
מותר לי להסתמך על משפט אחד מביניהם כדי לפתור את השני?
מותר--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:32, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
== שאלה 1 במבחן ==
איך הנקודות מתחלקות בין הסעיפים?
ואם הוכחתי משפט אחר בסעיף א' יורידו לי הכל?
תודה
תשובה: בשאלות 1,2 ההוכחה שווה 18 נקודות וסעיף ב' שווה 7 נקודות. (הניסוח גם שווה כמה נקודות מתוך ה18 של ההוכחה).
בשאלה 3 נדמה לי שהחלוקה היא 10,8,12 אבל אני לא משוכנע איזה סעיף מקבל איזה ניקוד.
אם הוכחת משפט אחר, אז כן, לצערי יורידו הכל. לדעת מה המשפט אומר זה בפירוש חלק ממה שנדרש.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:04, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
== בשאלה 1 ==
כשאמרו לנסח את המשפט.. אז מספיק שרשמתי:
יהיה T:V-W הע"ל, אזי
<math>dim Ket(T) + dim Im(T) = dim V</math>
זה מספיק?
*אני אישית רשמתי גם v,w מ"ו מעל שדה F, אני חושב שכן צריך את זה, מציע שתחכה לתשובה של מתרגל.
== פתרון שאלה 3 ==
לכל מי שרוצה, מצורף פתרון שאלה 3
[[מדיה:שאלה 3.jpg]] --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:14, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
== פתרון המבחן ==
מתי תעלו פתרון של המבחן ואת השאלות?
== המבחן ==
מתי תעלו פתרון של המבחן(כולל שאלות אמריקאיות)?
ומתי יעלו את ציוני המבחן?
תשובה: נעלה פתרון של המבחן במהלך שבוע הבא.
אני מעריך שיהיו ציונים תוך שבוע- שבוע וחצי, אבל אני לא מבטיח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:17, 31 באוגוסט 2012 (IDT)
מתי יפורסמו ציוני התרגיל הסופיים? (שקלול בוחן+תרגילים שיהיו 10% מהציון) [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:32, 2 בספטמבר 2012 (IDT)
== ציון סופי ==
מתי המתרגלים יעלו את ציוני התרגיל כדי שנוכל לחשב את הציון הסופי ? בתודה מראש.
== חישוב הציון הסופי ==
שלום,
אם קיבלתי בבוחן יותר מ-100 בחישוב הציון הסופי תחשבו לפי הציון שלי או 100?
:כיצד יחושב ציון התרגיל? 50% בוחן ו-50% תרגילי בית? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 20:29, 6 בספטמבר 2012 (IDT)
== יש כבר ציונים? ==
יש כבר ציונים?
== מועד ב' ==
1) המועד ב' יהיה באותו מבנה כמו המועד א'?
2) המועד ב' יהיה באותה רמת קושי כמו המועד א'(כי לדוגמא בבדידה עשו לנו את המועד ב' פי 10 יותר קשה)?
תודה רבה --[[משתמש:Avital|Avital]] 19:45, 10 בספטמבר 2012 (IDT)
<br>
קיבלת כבר ציון? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 11:23, 11 בספטמבר 2012 (IDT)
<br>
מלפני שבוע כבר היו ציונים בליניארית --[[משתמש:Avital|Avital]] 19:18, 11 בספטמבר 2012 (IDT)
תשובה: 1) אותו מבנה.
2)לא ראיתי את המועד ב'. אבל הוא אמור להיות באותה רמה (אולי טיפה יותר קשה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:46, 12 בספטמבר 2012 (IDT)
== ציוני מועד ב' ==
מתי בערך נקבל אותם?
== נוהל ערעורים ==
מהו נוהל הערעורים,לשלוח מייל למרצה עם התלונות בנוגע לבדיקה והכוונה לשאלות שבהן אני חושב שהייתה טעות בבדיקה ואם כן,מה מייל המרצה??
