מישהו יכול להעלות בבקשה פתרון למשפט 1 מהמשפטים להוכחה ?
תשובה:
הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
שלב א':
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>
<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>
<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>
שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.
אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)
מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.
שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.
אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.
קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.
<math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.
לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
שלב ה: סיום
נותר רק לכפול משמאל את
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.
ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.
ולקבל
<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
== הע"ל מעל שדה ==