האם תוכלו להעלות את ההכוחה ש|f(A)=|AB היא כמו דט'? בהרצאה לא הוכחנו את זה אלא ציינו.
האם אפשר להוכיח ככה:
נראה כי |f(A)=|AB היא כמו דט' על ידי כך שנראה כי היא (1)מתאפסת כאשר יש שתי שורות זהות, וכן (2) מחליפה סימן עם החלפת שורות.
(1) אם בA יש שתי שורות זהות, נקבל כי A|=0|, ולכן A לא הפיכה, וגם AB לא הפיכה (אם נניח בשלילה כי AB הפיכה בפרט הפיכה משמאל, לכן קיימת C עבורה AB)C=I), ולפי אסוצ' נקבל A(BC)=I כלומר A הפיכה מימין, לכן הפיכה בסתירה), ואם AB לא הפיכה 0=|AB|, כדרוש.
(2)אם נחליף שתי שורות i,j בA ונסמן את המטריצה החדשה 'A, נקבל כי |A'|=-|A|. אפשר לרשום A'=pA, כאשר p היא מטריצה אלמנטרית של החלפת השורות i,j. .לכן מתקיים:
|(f(A')=|A'*B|=|(pA)B|=|p(AB
קיבלנו מטריצה שבה שינו את השורות הi,j ולכן הדט' שלה היא |AB|-, כלומר מתקיים (f(A')=-|AB|=-f(A ,כדרוש.