*בוחרים בסיס ל <math>U</math>. שמים את וקטורי הבסיס בשורות מטריצה: נניח A.
<math>U^{\perp}</math> הוא מרחב האפס של המטריצה <math>\overline{AAG_B}G_B</math>.
(כאשר <math>G_B</math> היא מטריצה גרהם המתאימה לבסיס שבחרנו)
לכן כדי למצוא בסיס צריך למצוא בסיס למרחב האפס.
כמובן שאם מלכתחילה בחרנו בסיס אורתונורמלי אז <math>G_B=I</math> ואם זה מעל <math>\mathbb{R}</math> אז <math>\overline{AAG_B}=AAG_B</math>. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 09:07, 7 בינואר 2014 (EST) תודה רבה,בתרגיל 8 שאלה ראשונהבהנחה ולקחתי בסיס B={(1,2,3),(0,1,0),(0,0,1)} לR3 לאחר שהרחבתי את הבסיס לU,האם מספיק לעשות גרהם-שמידט רק ל(0,1,0) ו(0,0,1) או שיש צורך לעשות גרהם שמידט לכל השלושה ולהתחיל מ(1,2,3)? * האמת שלא חשבתי על זה. גרהם שמידט זאת גם דרך מצוינת לפתור את זה. צריך לעשות גרהם שמידט לכל השלושה ולהתחיל מ <math>(1,2,3)</math> ואז שני הוקטורים האחרים יהיו בסיס ל <math>U^{\perp}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:48, 16 בינואר 2014 (EST)
== תשובות לתרגילים 6-7 ==
* נעלה בעז"ה גם תשובות מלאות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 12:47, 6 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 8 שאלה 8 ==
האם יש חשיבות למכפלה הפנימית? הרי אפשר להציג את T לפי הבסיס הסטנדרטי(שהוא גם אורתונורמלי) בלי תלות במכפלה הפנימית ולקבל מטריצה צמודה לעצמה
* מצטער על העיכוב בתשובה. הבסיס הסטנדרטי הוא אורתונורמלי רק לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית. אם יש מכפלה פנימית אחרת, אז הצגה לפי הבסיס הסטנדרטי לא תלמד אותך כלום.
כך שוודאי שיש חשיבות למכפלה הפנימית. באופן כללי כדאי לזכור שההגדרה של <math>T^{\ast}</math> היא תלויה במכפלה פנימית. ולכל מכפלה פנימית שונה <math>T^{\ast}</math> תצא פונקציה אחרת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:45, 16 בינואר 2014 (EST)
== שתי שאלות ==
שתי מטריצות שיש להן פ"א אופייני שווה ופ"מ ממעלה אחת שווה (הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע הוא 1) דומות?
ועוד משהו - אם A דומה לB אפשר להגיד משהו על הדמיון בין A^2 ו- B^2?
* דבר ראשון: פולינום מינימלי ממעלה אחת זה לא אותו דבר כמו ריבוי גיאומטרי של כל ע"ע הוא 1.
למשל הפולינום המינימלי של <math>I</math> הוא <math>x-1</math> אבל הריבוי הגיאומטרי של <math>1</math> הוא <math>n</math>.
לגוף השאלה: אם הפולינום המינימלי הוא ממעלה אחת אז הוא מהצורה <math>x-c</math> כלומר המטריצה חייבת להיות סקלרית כלומר <math>cI</math> כאשר <math>c</math> הוא הע"ע היחיד. אז אם יש שתי מטריצות עם פולינום מינימלי ממעלה אחת ופ"א שווה הן ממש שוות ולא רק דומות.
משהו יותר חזק נכון: אם יש שתי מטריצות עם פולינום מינימלי שמתפרק לגורמים לינאריים (כלומר המטריצות לכסינות) ואותו פולינום אופייני אז המטריצות דומות (כי הן דומות לאותה מטריצה אלכסונית).
עוד משהו: כן. אפשר אם <math>A</math> דומה ל <math>B</math> אז <math>A^2</math> דומה ל <math>B^2</math> עם אותה מטריצת מעבר בין בסיסים.
כי אם <math>A=PBP^{-1}</math> אז <math>A^2=PBP^{-1}PBP^{-1}=PB^{2}P^{-1}</math>.
משהו יותר חזק נכון. קל לבדוק באותו אופן שאם <math>A</math> דומה ל <math>B</math> ו <math>p(x)</math> פולינום כלשהוא אז <math>p(A)</math> דומה ל <math>p(B)</math>.
השאלה שאתה שאלת זה המקרה <math>p(x)=x^2</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 02:25, 19 בינואר 2014 (EST)
אתה צודק... אני אהיה קצת יותר מפורט. בשאלה נתון שהפ"א של שתי המט' שווה והפ"מ שווה ל (x-4)(x-5)(x-7). החזקה של כל אחד מהגורמים הלינאריים היא 1.
האם אפשר להגיד שהחזקה של הפולינום המינימלי זה הבלוק המקסימלי '''לכל גורם לינארי?''',
כלומר ל(x-4) למשל גודל הבלוק המקסימלי הוא 1 --> הגודל הוא בדיוק 1 וכן לגבי הבלוקים האחרים ואז לשתי המט' צורת ז'ורדן
J1(4)+J1(5)+J1(7)
האם זה נכון? כי אם כן, אפשר להכליל את זה לכל מספר של גורמים לינאריים, כלומר, לכל שתי מט' שהפ"א שלהם שווה והפ"מ שווה והחזקה של כל אחד מהגורמים הלינאריים בפ"מ היא 1 אז הם דומות?
* כן. בדיוק כזה דבר היה לכם בבוחן. אם החזקה של <math>x-4</math> בפולינום המינימלי היא <math>1</math> אז זה אומר שהבלוקי ז'ורדן של <math>4</math> הם לכל היותר בגודל <math>1</math> כלומר כולם בגודל <math>1</math>.
במקרה שאתה כתבת אם הריבויים האלגבריים הם <math>a_4\quad a_5\quad a_7</math> אז הצורת ז'ורדן תהיה <math>a_4</math> פעמים את הבלוק <math>J_1(4)</math> וכו'. במילים אחרות מטריצה שהפולינום המינימלי שלה מתפרק לגורמים לינאריים היא לכסינה.
ולכן באמת שתי מטריצות עם פולינום אופייני שווה ועם פולינום מינימלי שווה '''שמתפרק לגורמים לינאריים''' הן דומות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 04:29, 23 בינואר 2014 (EST)
תודה רבה!
== מבנה המבחן ==
מה יהיה מבנה המבחן ? וכמה שאלות יהיו?
* הבחינה תהיה במתכונת הבאה: חלק א' - שאלות גדולות: בחירה של 2 שאלות מתוך 3, 35 נק' כל אחת. חלק ב' - שאלות הוכח או הפרך: בחירה של 2 שאלות מתוך 3, 15 נק' כל אחת. חלק ג' - שאלת בונוס במשקל 5 נקודות. הבחינה תהיה דומה לבחינות של השנים הקודמות בקורס, עם קצת יותר דגש על הבנה על חשבון שאלות חישוביות.
== פתרונות מלאים ==
תוכלו להעלות פתרונות מלאים לכל תרגילי הבית? יש עוד כמה תרגילים ללא פתרונות מלאים.
בנוסף, מאיזה מקורות אני יכול לתרגל? מלבד מבחנים משנים קודמות...
תודה :)
תשובה: לרוב השאלות יש פתרון. חסר רק חלק מתרגיל 7 וזה יעלה בימים הקרובים.
יש כמובן את הספר של צבאן. יש חומרים שנמצאים כאן ב math-wiki משנים קודמות.
יש ספרים טובים גם באנגלית למשל:
http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ שבפרק האחרון שלו יש תרגילים טובים על דמיון מטריצות.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 02:29, 3 בפברואר 2014 (EST)
== תרגיל 6 שאלות 1-3 ==
בשאלות אלו נתבקשנו לבדוק האם מטריצת הגרהאם הנתונה באמת מגדירה מכפלה פנימית. לפי הפיתרונות שהועלו נבדק רק התנאי הראשון למכפלה פנימית ז"א שהמכפלה הפנימית תהיה גדולה מאפס ושווה לאפס אם ורק אם מכפלה פנימית של וקטור האפס. מה עם שאר התנאים למכפלה פנימית ? ז"א אחד וחצי לינאריות והרמיטיות ? אותם לא צריך לבדוק ולוודא שמתקיימים ?
* ברגע שמכפלה פנימית מוגדרת בצורה
<math><u,v>=uA\overline{v}</math>
אז אתה מקבל בחינם שהיא לינארית (צריך אולי לציין את זה) זה נובע בקלות מתכונות של כפל מטריצות.
הרמיטיות תתקבל אם ורק אם המטריצה הרמיטית (במקרה של <math>\mathbb{R}</math> סימטרית) שזו גם כן בדיקה מיידית - צריך רק להסתכל על המטריצה.
אולי הייתי צריך להדגיש את זה יותר בפתרון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 10:30, 4 בפברואר 2014 (EST)
== אפשר לעבור על השאלות האלו בתרגול חזרה? או במקום לקבל כיוון\פתרון פה יהיה נחמד. ==
http://up403.siz.co.il/up1/zw10mwgimmny.jpg
* אני אשתדל להעלות הנה תשובות לשאלות האלה במהלך היום.
אבל יש לי הצעה יותר טובה. אולי שכמה סטודנטים ייקחו על עצמם להעלות פתרונות לשאלות הלאה (כל אחד שאלה או שתיים)
חלק מהן גם פתרנו בתרגול חזרה.
מה שלא תעשו אני אשתדל להשלים. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 01:37, 6 בפברואר 2014 (EST)
בסוף הספקתי לכתוב תשובות.
להלן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:18, 6 בפברואר 2014 (EST)
== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==
שלב א':
נבחר <math>n = dim V</math>
טענת עזר: אם <math>T^{2n}(y)=0</math> אז <math>T^n(y)=0</math>
במילים אחרות: <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>
הוכחה:
נשים לב שיש שרשרת עולה של תתי מרחבים
<math>Ker(T)\subseteq Ker(T^2) \subseteq \cdots </math>
אבל המימד שלהם לא יכול לגדול לנצח (כי לכל היותר הוא יהיה <math>n</math>.)
ולכן קיים <math>k</math> עבורו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>
אבל אז אם <math>x\in Ker(T^{k+2})</math> אז <math>T(x)\in Ker(T^{k+1})</math>
ולכן <math>T(x) \in Ker(T^k)</math> ולכן <math>x \in Ker(T^{k+1})</math>
כלומר השויון ממשיך
ויש לנו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})=Ker(T^{k+2})=\cdots</math> וכו'.
נסמן ב <math>k</math> את הפעם הראשונה בשרשרת שבה <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>
בהכרח יתקיים <math>k\leq n </math> כי לא יכול להיות שהשרשרת גדלה יותר מ <math>n</math> פעמים. (בכל פעם שהיא גדלה, התווסף לפחות עוד 1 למימד - ובסך הכל המימד הוא <math>n</math>).
ולכן בהכרח <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>
שלב ב': נניח ש
<math>x\in Im(T^n) \cap \Ker(T^n)</math>
אז <math>T^n(x)=0</math> ו <math>T^n(y)=x</math>
כלומר <math>T^{2n}(y)=0</math> לפי שלב א' <math>x=T^n(y)=0</math> כנדרש.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:02, 6 בפברואר 2014 (EST)
==אם <math>\lambda</math> ערך עצמי יחיד ו <math>A^r=I</math> אז <math>A=\lambda I</math>==
אם <math>A^r=I</math> זה אומר ש <math>x^r-1</math> מאפס את <math>A</math>.
כלומר הפולינום המינימלי מחלק את <math>x^r-1</math>. אבל <math>x^r-1</math> מתפצל לגורמים לינאריים שונים
והפולינום המינימלי הוא מהצורה <math>(x-\lambda)^k</math>
ולכן <math>k=1</math> והפולינום המינימלי הוא <math>x-\lambda</math>.
נציב את <math>A</math> ונקבל ש <math>A=\lambda I</math> כנדרש
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:06, 6 בפברואר 2014 (EST)
==לא קיימת T כך ש <math>T=TT^{\ast}+I</math>==
נניח שקיימת. אז <math>T</math> צמודה לעצמה (כי <math>TT^{\ast}+I</math> צמוד לעצמו).
ולכן כל הערכים העצמיים ממשיים (ויש ל <math>T</math> ערכים עצמיים כי היא ניתנת ללכסון).
אבל <math>T</math> מקיימת גם
<math>T=TT^\ast+I=T^2+I</math>
כלומר <math>T^2-T+I</math>
כלומר הפולינום <math>x^2-x+1</math> מאפס את <math>T</math>
אז הפולינום המינימלי צריך לחלק אותו.
אבל ל <math>TT^{\ast}+I</math> אין שורשים ממשיים. ממילא גם לפולינום המינימלי אין שורשים ממשיים.
אז ערכים עצמיים ממשיים.
בסתירה
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:12, 6 בפברואר 2014 (EST)
==אם <math>i</math> ע"ע של <math>T</math> אז קיים <math>v</math> כך שלכל <math>u</math> מתקיים <math>v\neq T^2u+u</math>==
או בשפה של בני אדם.
<math>T^2+I</math> היא לא על.
מדובר כאן על מצב ש <math>T:V\rightarrow V</math>
ולכן <math>T</math> על אם ורק אם היא <math>הפיכה</math>
אבל <math>T^2+I=(T-iI)(T+iI)</math>
וההעתקה <math>T-iI</math> לא הפיכה כי <math>i</math> ע"ע.
ולכן גם <math>T^2+I</math> לא הפיכה. כנדרש
==<math>Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp</math>==
ברור שזה שקול לטענה
<math>(Im(T^\ast))^\perp=(Ker(T))</math>
ואת זה נוכיח בקלות
<math>x \in Ker(T)</math> אם ורק אם <math>T(x)=0</math>
אם ורק אם <math>\forall u \quad <T(x),u>=0</math>
אם ורק אם <math>\forall u \quad <x,T^\ast(u)>=0</math>
אם ורק אם <math>x\in (Im(T^\ast))^\perp</math>
כנדרש
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)
== המבחן ==
תוכלו בבקשה להעלות פתרונות מלאים של המבחן מועד א'?