מה שלא תעשו אני אשתדל להשלים. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 01:37, 6 בפברואר 2014 (EST)
בסוף הספקתי לכתוב תשובות.
להלן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:18, 6 בפברואר 2014 (EST)
== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==
==לא קיימת T כך ש <math>T=TT^{\ast}+I</math>==
נניח שקיימת. אז <math>T</math> צמודה לעצמה (כי <math>TT^{\ast}+I</math> צמוד לעצמו).
ולכן כל הערכים העצמיים ממשיים (ויש ל <math>T</math> ערכים עצמיים כי היא ניתנת ללכסון).
אבל <math>T</math> מקיימת גם
<math>T=TT^\ast+I=T^2+I</math>
כלומר <math>T^2-T+I</math>
כלומר הפולינום <math>x^2-x+1</math> מאפס את <math>T</math>
אז הפולינום המינימלי צריך לחלק אותו.
אבל ל <math>TT^{\ast}+I</math> אין שורשים ממשיים. ממילא גם לפולינום המינימלי אין שורשים ממשיים.
אז ערכים עצמיים ממשיים.
בסתירה
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:12, 6 בפברואר 2014 (EST)
==אם <math>i</math> ע"ע של <math>T</math> אז קיים <math>v</math> כך שלכל <math>u</math> מתקיים <math>v\neq T^2u+u</math>==
או בשפה של בני אדם.
<math>T^2+I</math> היא לא על.
מדובר כאן על מצב ש <math>T:V\rightarrow V</math>
ולכן <math>T</math> על אם ורק אם היא <math>הפיכה</math>
אבל <math>T^2+I=(T-iI)(T+iI)</math>
וההעתקה <math>T-iI</math> לא הפיכה כי <math>i</math> ע"ע.
ולכן גם <math>T^2+I</math> לא הפיכה. כנדרש
==<math>Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp</math>==
ברור שזה שקול לטענה
<math>(Im(T^\ast))^\perp=(Ker(T))</math>
ואת זה נוכיח בקלות
<math>x \in Ker(T)</math> אם ורק אם <math>T(x)=0</math>
אם ורק אם <math>\forall u \quad <T(x),u>=0</math>
אם ורק אם <math>\forall u \quad <x,T^\ast(u)>=0</math>
אם ורק אם <math>x\in (Im(T^\ast))^\perp</math>
כנדרש
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)
== המבחן ==
תוכלו בבקשה להעלות פתרונות מלאים של המבחן מועד א'?