== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==
שלב א':
נבחר <math>n = dim V</math>
טענת עזר: אם <math>T^{2n}(y)=0</math> אז <math>T^n(y)=0</math>
במילים אחרות: <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>
הוכחה:
נשים לב שיש שרשרת עולה של תתי מרחבים
<math>Ker(T)\subseteq Ker(T^2) \subseteq \cdots </math>
אבל המימד שלהם לא יכול לגדול לנצח (כי לכל היותר הוא יהיה <math>n</math>.)
ולכן קיים <math>k</math> עבורו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>
אבל אז אם <math>x\in Ker(T^{k+2})</math> אז <math>T(x)\in Ker(T^{k+1})</math>
ולכן <math>T(x) \in Ker(T^k)</math> ולכן <math>x \in Ker(T^{k+1})</math>
כלומר השויון ממשיך
ויש לנו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})=Ker(T^{k+2})=\cdots</math> וכו'.
נסמן ב <math>k</math> את הפעם הראשונה בשרשרת שבה <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>
בהכרח יתקיים <math>k\leq n </math> כי לא יכול להיות שהשרשרת גדלה יותר מ <math>n</math> פעמים. (בכל פעם שהיא גדלה, התווסף לפחות עוד 1 למימד - ובסך הכל המימד הוא <math>n</math>).
ולכן בהכרח <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>
שלב ב': נניח ש
<math>x\in Im(T^n) \cap \Ker(T^n)</math>
אז <math>T^n(x)=0</math> ו <math>T^n(y)=x</math>
כלומר <math>T^{2n}(y)=0</math> לפי שלב א' <math>x=T^n(y)=0</math> כנדרש.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:02, 6 בפברואר 2014 (EST)