שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שאלה 1.7 בתרגיל 3

קצת קשה להוכיח את השגוי...לא?

זה פשוט עניין של ניסוח. אם אתה מעוננין תתייחס אל זה כ"הסבר מדוע אין למטריצה ערכים עצמיים" והתשובה תהיה אותו דבר. אני כבר יכול לומר לך שמה שמבוקש להוכיח הוא נכון. להבא פרסם שאלות מטה, פשוט לצורך מעקב נוח. בברכה, גל א.

שאלה 1 סעיף ב'

מה זאת אומרת, ומאפסת את הפולינום המתקבל כאשר מציבים [math]\displaystyle{ \alpha I\in R^{3\times 3} }[/math] במקום הסקלר [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]. בהתחלה בכלל מבקשים למצוא את [math]\displaystyle{ \left| A-\gimel I\right| }[/math]. מה צריך לעשות? תודה מראש.

תשובה: ראה"שאלה 1ב. (תרגיל 2)" בהמשך

להבא, להוסיף שאלה חדשה בסוף ולא בהתחלה

תרגיל 1.1

אפשר עזרה בהוכחה בבקשה? ישבתי על זה כשעה ולא הגעתי להישגים. אשמח להדרכה. תודה!

עדי: ראשית, שים לב שהפונ' היא מקב' סופית לעצמה, כך שגם מבחינה הגיונית זה מתבקש (מאוד חשוב ש"נאמין" בתכונה לפני שנתאמץ להוכיחה). הנח שהאחת מתקיימת והשניה לא והגע לסתירה. לדוג' f חח"ע. נניח שאיננה על אזי קיים איבר בטווח ללא מקור אזי.. ולהיפך בכיוון השני

תרגיל 1.12

האם כדי להוכיח את המבוקש, אפשר להגיד שכל תמורה אפשר להפוך לצורה של מכפלת חילופים, וכל חילוף הוא היפוך סדר, ואז להגיד את מה שכתוב ברמז ולסיים את ההוכחה? או שצריך להוכיח את אחד מהשלבים שאמרתי או את הרמז? או שבכלל יש לי בעיה אחרת בהוכחה? תודה רבה!!

עדי: הדרך שלך תתקבל

תרגיל 1.3

האם הכוונה בתרגיל 1.3 ב"שלוש ההצגות האפשריות" היא: 1. הצגה רגילה, 2. פירוק לחילופים, 3. פירוק למחזורים או שיש עוד הצגה שצריך להציג באמצעותה את כל אחת מהתמורות? תודה רבה, גל.

עדי: אלו 3 הדרכים

גל א. 15:52, 15 באוקטובר 2010 (IST)

כמדומני שהכוונה לשלוש ההצגות המתוארות באותו עמוד למעלה (א,ב,ג), ובדוגמא. --ארז שיינר 15:58, 15 באוקטובר 2010 (IST)

אוקי, תודה.

פירוק לחילופים

מסתבר שלא הבנתי את ההסבר שהיה בתירגול לגבי פירוק לחילופים. אפשר בבקשה לקבל הסבר, עם דוגמה או שתיים? תודה מראש.

מצטרף לבקשה... נשמח לכמה הבהרות בנושא...

תשובה

חילוף הינה תמורה שמחליפה שני איברים בלבד, ואת השאר משאירה במקום. תמורה באופן כללי לוקחת n חפצים מסודרים ומשנה את הסדר שלהם. פירוק תמורה לחילופים היא דרך להגיע לאותו שינוי סדר, אבל על ידי החלפת זוגות בלבד.

לדוגמא, נסתכל על התמורה [math]\displaystyle{ (1 3 2) }[/math]:

3 2 1

2 1 3

איך ניתן להגיע מהשורה הראשונה (המסודרת) לשורה השנייה באמצעות חילופים בלבד? נעשה זאת:

3 2 1

נחליף את הראשון והשלישי

1 2 3

נחליף את השני והשלישי

2 1 3

סיימנו. לכן ניתן היה לפרק את התמורה לשני החילופים [math]\displaystyle{ (1 3 2)=(2 3)\circ (1 3) }[/math] --ארז שיינר 13:06, 19 באוקטובר 2010 (IST)

תודה! לפי מה שכתבת, קוראים את ההרכבה משמאל לימין. אבל זה לא אמור להיות מימין לשמאל?

תרגיל 1.12

אפשר להוכיח את התרגיל בדרך אחרת מהרמז? (כי הצלחתי בדרך אחרת יותר מובנת לי)

1.12

האם ניתן להסתמך על כך ש- [math]\displaystyle{ signT*signO=Sign(T*O) }[/math] ?

שאלה 1.4

בשאלה 1.4 א', האם זה בסדר להוכיח ש[math]\displaystyle{ TG }[/math] היא חח"ע ועל ולכן היא תמורה (ע"פ ההגדרה)?

אני לא מתרגלת, אבל לדעתי ככה מוכיחים. אתה מכיר דרך אחרת? רק אל תשכח לכתוב שהיא הולכת מקבוצה סופית לאותה הקבוצה הסופית.

אני עשיתי כך (כמדומני הוכחנו טענה זו באחת מההרצאות במתמטיקה בדידה). אפשר גם להוכיח ע"י היותה של ההרכבה הפיכה מימין ומשאל (כי הרי התמורות מהן היא המורכבת הן הפיכות מימין ומשמאל), אבל אז זה יסתמך על סעיף ב... גל א.

שאלה 1ב. (תרגיל 2)

לא הבנתי את השאלה. מה זה ה Iג הזה? מה זה אומר "הוכח שהיא מאפסת את הפולינום המתקבל"? איזה פולינום? איזה מאפסת? ומה זה אומר להציב aI במקום a? תודה.

תשובה: ג זה משתנה (זו אות יוונית בשם למדה). מבקשים לחשב את הדטרמיננטה של: A פחות מטריצת אפסים שלמדה באלכסונה (כמו הזהות רק למדה באלכסון במקום 1). היות ולמדה היא משתנה התוצאה שתתקבל תהיה פולינום. אח"כ, מבקשים להציב את A בפולינום הנ"ל ולהראות שהוא מתאפס כאשר הצבת מטריצה בפולינום מחייבת את הפיכת האיבר החופשי בו למטריצה הסקלרית מאותו ערך- כלומר, אם האיבר החופשי בפולינום הוא אלפא אז כשנציב בו מטריצה נתייחס לאלפא כמטריצה הסקלרית שאלפא באלכסונה (כמו הזהות רק אלפא באלכסון במקום 1). עדי

תודה!

שאלות מתרגול 2

שלום רב. יש לי שתי שאלות לגבי תרגול 2:

1. בשאלה 2ב מה כוונתכם בהזז את המישור ביחס לקודקוד [math]\displaystyle{ v_1 }[/math]? כלומר להניח ש- [math]\displaystyle{ x_1\lt x_3\lt x_2 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ y_1\lt y_2\lt y_3 }[/math]?

2. בשאלה 5ב/ג האם עליי להוכיח את הנוסחה לדטרמיננטה כללית שקיבלתי או מספיק שארשום אותה?

תודה מראש! גל א.

לא מתרגלת:

1. לפי מה שהבנתי, הכוונה היא להעתקת הוקטור הזה כך שיהיה הראשית הצירים, והעתקת שאר הוקטורים בהתאם כך שיווצר משולש, ואז אפשר לחשב בקלות - פשוט מציבים בסעיף הקודם את ערכי הוקטורים לאחר ההזזה.

שאלה 5

איך נראות A2n ו An האם An היא כמו A3 רק מתוחה ושA2n היא כמו A4 רק מתוחה?

לא. הגדרתה של An מתחלקת לשניים:

1. n אי זוגי, כלומר נכתוב A2n-1 ונקבל שזו בעצם A3 מתוחה.

2. n זוגי ולכן נקבל שזו A2n שהיא A4 מתוחה.

מקווה שעזרתי, גל א.

בקשה

האם מתרגל (או סטודנט אם חומר מסודר) יכול להעלות את כל הדרכים למציאת דטרמיננטה של מטריצה? פשוט, אם אני זוכר נכון, לימדו יותר משלושה דרכים שונות, ואני לא זוכר מהן היו, ואני לא רוצה לשכוח דרכים חשובות. בנוסף, כשמדרגים מטריצה, איך בסוף מחשבים את הדט' שלה? אם היא משולשית אז מכפלת איברי האלכסון היא הדט'? תודה!

תשובה

הרי כל הדרכים האפשריות (מקווה שלא שכחתי משהו):

1. עפ"י הגדרה של דטרמיננטה - פשוט הצבה לנוסחת הסכום.

1.1. נוסחה לדטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר 2. יהיו איברי הדטרמיננטה: a b c d (כאשר a,b בשורה הראונה והשאר בשורה השנייה) אז הדטרמיננטה היא ad-bc.

2. עפ"י שורה i כלשהי: [math]\displaystyle{ |A| = \Sigma_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]. עבור עמודה j כלשהי פשוט תריץ את ה-i בסכום במקום את ה-j, כלומר: [math]\displaystyle{ |A| = \Sigma_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]

3. דירוג: שים לב לשתי האפשרויות הבאות:

3.1 דירוג למשולשית עליונה ואז להכפיל את איברי האלכסון הראשי ותקבל את הדטרמיננטה (כמובן שיש צורך לבטל את השפעות הפעולות האלמנטירות כמתואר מטה).

3.2 דירוג עד לצורה הבסיסית ביותר - אם תקבל את I אז הרי הדטרמיננטה של המטריצה היא 1*כל השפעות הפעולה האלמנטרית, אם תקבל מטריצה עם שורת/עמודת אפסים הרי שהדטרמיננטה היא אפס.

יש לשים לב שבעשיית דירוג שכזה צריך לשים לב להפעת פעולות השורה האלמנטריות על הדטרמיננטה ולהשפעה שלה, לדוגמה:

• החלפת שורה מכפילה במינוס אחד את הדטרמיננטה.
• הכפלת שורה בסקלר מכפילה את הדטרמיננטה באותו סקלר
• הוספת כפולת שורה לשורה אחרת לא משפיעה על הדטרמיננטה

כמו כן נשים לב שמותר לעשות פעולות עמודה אלמנטריות ואז השפעתן תהיה כמו זו של פעולת השורה המקבילה להן.

4. עפ"י מטריצת בלוקים - ישנן שתי נוסחות מתאימות: הנוסחה שניתנה בהרצאה או עבור השחלוף שלה, את הראשונה ניתן לראות מתחת לשאלה 3ג בתרגול 2, השנייה היא הנוסחה אותה היה צריך להוכיח בתרגיל 3א באותו תרגול.

מקווה שעזרתי, גל א.

תודה רבה, אתה לא מבין כמה עזרת לי!

בקשה חשובה ורצינית מאוד, לקבוצה של התיכוניסטים

בשיעור האחרון שהיה ביום שלישי, שבו היינו כולם בחדר אחד, לא היה אפשר ללמוד ברצינות. המתרגל (ואני מבין אותו, אני לא הייתי מצליח לעשות יותר טוב) נאלץ רק לכתוב על הלוח בלי להסביר אפילו קצת, וביחד עם כל הרעש יצא שאני, וגם כל הכיתה כנראה, לא הבנו כלום, שום דבר, מהתרגול האחרון. האם אפשר לעשות תרגול נוסף (תגבור) על הנושא שהיינו אמורים ללמוד בתרגול האחרון? אם תרגול נוסף הוא לא אופציה, אז לפחות, אם אפשר, בתרגול הבא לחזור שוב על החומר של התרגול האחרון במקום להתקדם בחומר? תודה רבה!

מסכים. התרגול האחרון היה עמוס, עקף בהרבה את החומר של ההרצאה, לא יצא לנו לשאול שאלות ולא הצלחנו להבין את התרגילים וההוכחות השונות. נשמח לתרגול תגבור (אפשר, מכיוון שאנו עמוסים, גם לא ביום שאנחנו באינברסיטה בו) או להבהרה אלקטרונית כאן.

עדי:באיזה יום אתם פנויים לתגבור שכזה?

לדעתי הכי טוב ביום חמישי.

מסכים, גם לי הכי טוב ביום חמישי. אני ספיצית לא יכול בחמישי הבא, כך שחמישי בעוד שבועיים יהיה מעולה, אבל כמובן שאני לא מצפה מכם להתחשב בשיקולים אישיים שלי... ובכל זאת, אם אפשר אז אז זה יהיה מעולה...

עדי: גם לי נוח בחמישי,(עוד שבועיים לא רלוונטי). אני אדאג לזה כך שנלמד בשלישי את השעור האחרון ובחמישי נתקדם. החל מאיזו שעה אפשרי בחמישי?

לדעתי עדיף בערך משעה 5 ככה.

שאלות על ערכים עצמיים

1) אפשר הסבר לכל הדרכים/ אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה? 2) רשום אצלי "תכונה" מהתרגול: ע"ע של משולשית עליונה הם איברי האלכסון שלה. האם גם מטריצה שניתן לדרג אותה למשולשית עליונה- הע"ע שלה הם איברי האלכסון? 3) כשכתוב (מהתרגול) מצא ע"ע "בעזרת דטרמיננטה", למה מתכוונים? 4) מהם המרחבים העצמיים של מטריצה? תודה!

עדי: ראה הודעות בדף הבית

אפשר עזרה בקצרה בכל מקרה?

השאלה שלי חשובה, כי שאלות בתרגיל, למשל 1.9 עם מטריצת מרקוב, שהן ממש בלתי אפשריות אם ניגשים אליהם בצורה ה"רגילה" (ומנסים להוכיח ע"פ ההגדרות), וכנראה שיש דרכים יותר קלות לפתור אותן. (ואני רוצה לעשות חלק משיעורי הבית עכשיו כי אין מספיק זמן לעשות את כל התרגיל מיום שלישי עד יום חמישי). תודה רבה!

תשובות חלקיות

אני לא מתרגל ולכן אענה לך רק על השאלות שאני יכול לענות לך בוודאות:

1. לפי מה שידוע לי ישנן שתי דרכים למציאת ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]:

1.1 עפ"י הגדרה: [math]\displaystyle{ x }[/math] שהוא סקלר כלשהו יהיה ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא מקיים [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math] עבור v כלשהו. זוהי דרך הצבתית ארוכה (ואפילו אינסופית), ולכן לדעתי יש להתמש בה רק עבור הוכחת נכונות של ע"ע מסוים.

1.2 עפ"י פולינום אופייני: [math]\displaystyle{ x }[/math] שהוא סקלר כלשהו יהיה ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא מקיים [math]\displaystyle{ det(xI-A)=0 }[/math].

ישנה דרך שלישית שנובעת מערכים עצמיים של פונקציות והיא:

1.3 [math]\displaystyle{ x }[/math] שהוא סקלר כלשהו יהיה ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא ע"ע של ה"ל שאחת ממטריצות הייצוג שלה היא אותה [math]\displaystyle{ A }[/math] (לגבי סעיף זה אינני בטוח, תקנו אותי אם אני טועה).

לחישוב ו"ע נסתמך על:

1.1.1 הצבת הערך העצמי שהתקבל לתוך ההגדרה ב-1.1 ופתרון מערכת משוואות לינארית.

1.3.1 [math]\displaystyle{ v }[/math] יהיה ו"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא ו"ע של ה"ל שאחת ממטריצות הייצוג שלה היא אותה [math]\displaystyle{ A }[/math] (שוב אינני בטוח לגבי סעיף זה, אנא תקנו אותי אם אני טועה).

2. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים בשאלה זו.

3. ראה סעיף 1.2.

4. עפ"י הגדרה: המרחב העצמי של ע"ע [math]\displaystyle{ x }[/math] מסוים המוגדר ע"י: [math]\displaystyle{ V_x=\{x|Av=xv\} }[/math] עבור מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] או [math]\displaystyle{ V_x=\{x|Tv=xv\} }[/math] עבור ה"ל [math]\displaystyle{ T }[/math].

מקווה שעזרתי! גל א.

לגבי 2- אין קשר בין דירוג מטריצה לבין ערכים עצמיים, בוודאי איברי האלכסון לפני הדירוג לא קשורים לע"ע בהכרח. דוגמא פשוטה: בדקו את הע"ע של המטריצות הבאות [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} }[/math] (והרי המטריצות הן דירוג אחת של השנייה). --ארז שיינר 23:49, 29 באוקטובר 2010 (IST)

תודה. האם מה שרשמתי ב-1.3 וב-1.3.1 אכן נכון? תודה, גל א.

1.3 כן, זה נובע מלינאריות של ההעתקה מהמרחב הוקטורי למרחב הקואורדינטות, אבל 1.3.1 אינו נכון. הרי הוקטור העצמי של המטריצה המייצגת הוא סה"כ וקטור קואורדינטות. הוא יכול להיות מאד שונה מהוקטור האמיתי. דוגמא: [math]\displaystyle{ T(a,b)=(a+b,b) }[/math]. וקטור עצמי של ההעתקה הוא [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]. אבל תחת הבסיס [math]\displaystyle{ \{(1,1),(0,1)\} }[/math] המטריצה המייצגת הינה [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & 0 \\ -1 & 1\end{bmatrix} }[/math] וקטור עצמי שלה הינו [math]\displaystyle{ (1,-1) }[/math] (זה הקואורדינטות של הוקטור העצמי של ההעתקה תחת הבסיס הזה) אבל זה לא וקטור עצמי של ההעתקה כי [math]\displaystyle{ T(1,-1)=(0,-1) }[/math] --ארז שיינר 00:18, 30 באוקטובר 2010 (IST)

תרגיל 3 - שאלה 3

האם אתם רוצים שנכתוב את התשובות לפי z או לפי a+bi (בהנחה שמסמנים z=a+bi)? 

מצטרף לשאלה, ואם אפשר בבקשה תשובה לפני יום ראשון...

אני כתבתי לפי z, בעיקר משום שבסעיף ב ביקשו לפי z (הרי ביקשו לאילו ערכי z). לדעתי בסעיפים א ו-ג אין צורך לפתור את זה, אבל בסעיף ב (לפחות בדרך בה אני עשיתי) אין מנוס מלפתוח את זה, ואז אני כתבתי z=a+bi ובסוף החזרתי ל-z ככל הניתן. גל א.

יש סיכוי שבשאלה 1.7 יש טעות? או שיש לי טעות?

החומר שקשור לערכים עצמיים אצלי ממש לא מסודר, אז יכול להיות שיש לי טעות, אבל כשחיפשתי בכל זאת חומר מהתרגול, מצאתי שניתן למצוא ע"עים ע"י המשוואה הפולינום האופייני=0. כשהצבתי את המטריצה A הנתונה פחות למדה I, יוצא, כשמחשבים את הדט' של הנ"ל שווה 0, שלמדה שווה 1, כלומר שיש למטריצה ערך עצמי. איפה הטעות? תודה!

יש לך טעות. תנסה להציב למדא = 1 ותקבל שהדטרמיננטה היא 1 ולא אפס, ולכן גם עבור למדא הזה הוא לא ערך עצמי. אני כבר יכול לומר לך שהצלחתי להסביר מדוע למטריתה הנתונה אין ערכים עצמיים, דבר המחזק את העובדה שיש לך טעות. בברכה, גל א.

הגדרת המטריצה המצורפת וטעות אפשרית בשאלה 4

שלום רב,

בתרגול (עם אוהד נבון) ניתנה לנו ההגדרה הגבאה עבור המטריצה המצורפת: [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ij}| }[/math] בעוד שבהרצאה (ד"ר בועז צבאן) ניתנה לנו ההגרה הבאה: [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math]. את שיעורי הבית פתרתי לפי ההגדרה אשר ניתנה בהרצאה, וזו גם ההגדרה אשר מופיעה בכל מקורות המידע בהם חיפשתי (כולל ויקיפדיה). עם זאת ההגדרה בה אני עושה שימוש משפיעה על תוצאות שאלה 4, שכן אם אני עושה שימוש בהגדרה שניתנה בתרגול הטענה שבשאלה אכן תתקיים, בעוד שאם אני עושה שימוש בהגדרה שניתנה בהרצאה יתקיים שהמטריצה המצורפת תהיה משולשית תחתונה ולא עליונה.

מה לעשות? מה היא ההגדרה הנכונה? אציין כי בתרגול לא הצלחנו להוכיח משפטים שהצלחנו להוכיח בהרצאה, ככל הנראה בכלל ההבדלים בהגדרות.

נשמח לתשובה מהירה, שכן גם את שאלה 3 פתרתי עפ"י ההגדרה שניתנה לנו ע"י ד"ר בועז צבאן.

תודה, גל א.

ההגדרה עם היפוך האינדקסים היא הנכונה. הרי רוצים ש[math]\displaystyle{ A\cdot AdjA = |A| }[/math] וזה יתקיים רק עבר הAdjA הנכונה. --ארז שיינר 13:24, 30 באוקטובר 2010 (IST)

כלומר שיש טעות בשאלה 4? כי הרי לפי ההגדרה עם היפוך האינדקסים יתקיים שאם [math]\displaystyle{ A }[/math] משולשית עליונה אז [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math] משולשית תחתונה (או לפחות כך קיבלתי) בעוד שאנו נדרשים להוכיח שאם [math]\displaystyle{ A }[/math] משולשית עליונה אז [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math] משולשית עליונה? תודה, גל א.

כנראה שאתה טועה, קח לדוגמא מטריצה משולשית בגודל 2 על 2. ובאופן כללי, כאשר אתה מתחת לאלכסון בגלל היפוך האינדקסים אתה מוחק איברים מעל האלכסון ולכן יש יותר אפסים (בערך, זה לא מדוייק כמובן). --ארז שיינר 14:00, 30 באוקטובר 2010 (IST)

הרמז שניתן לנו היה לחשב את המינור [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ i\gt j }[/math]. נקח את המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & d\end{bmatrix} }[/math] שהיא כמובן משולשית עליונה. נקח את המינור [math]\displaystyle{ A_{21} }[/math] שכמובן עונה על הרמז ונקבל [math]\displaystyle{ |A_{21}|=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{12}=(-1)^3*0=0 }[/math] (עפ"י היפוך אינדקסים) ולכן קיבלנו ש- [math]\displaystyle{ adj(A)=\begin{bmatrix}e & 0 \\ f & g \end{bmatrix} }[/math]. לכן קיבלנו משולשית תחתונה ולא עליונה אבל לפי מה שאמרת גם עבור 2 על 2 נקבל משולשית עליונה. מה אני עושה לא נכון? תודה, גל א.

אולי הייתה טעות ברמז והכוונה היא [math]\displaystyle{ j\gt i }[/math]? כי אז זה יוצא טוב...

[math]\displaystyle{ A_{21} }[/math] כלומר למחוק את שורה 2 ועמודה אחת, זה שווה לb ולא לאפס, זה הכל. --ארז שיינר 14:49, 30 באוקטובר 2010 (IST)

איך לא שמתי לב לטעות הבסיסת הזו בעצמי?!? תודה רבה רבה...