'''חשוב!!!
''' 3.2.2011
'''שלום לכולם,
'''שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים [[בשני הקרוב,7.2]] בשעה 16:00.
'''נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר.
'''עדי'''
{{הוראות דף שיחה}}
=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]
=שאלות=
== פעולות שורה ועמודהֿ תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? == אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}=-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST) == חובת הגשה == כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.:אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)::ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים? '''כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו == תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב' == מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?:נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST) == שוב LCM ועוד שאלה קטנה == 1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה. 2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.:1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)::תודה! == חיוביות בשדה המרוכבים == איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?:לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?:::כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST) == גרעין של מטריצה == שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש! '''עדי: <math>ker(A)=\{v\in V:Av=0\}</math> == שאלה 3.30א == לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו. עדי :את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math>\lambda \le 1</math>? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST):גם ב-ב' זה ככה או לא?::כן, לשנות גם את סעיף ב'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST) == תרגיל 10 - שאלה 3.23א' == בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיחואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :):: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;) == תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס == מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?:זו המ"פ הסטנדרטית, ו-<math>V=\mathbb{C}^{n}</math>. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST) == משפט או לא? == שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?)(צל"ע=צמוד לעצמו):מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-<math>[T]_{B}</math> אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST) ::התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי), ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה! == 3.27 == אפשר רמז? '''עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"י המספר e == ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי == מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"? ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"? ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"? ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"? ובמיוחד, מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים? '''עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית. '''אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית) '''ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי '''אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים :תודה! == בילבול קטן == צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-<math>[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*</math>. זה לא אמור להיות <math>[T^*]^E_F=([T]^E_F)^*</math>?:לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)::אה לא חשבתי על זה ככה, תודה! == בקשר לסקר ההוראה == כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).:גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... [[משתמש:Gordo6|גל א.]] == תרגיל 11 == אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??:תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST) == תרגיל 11 שאלה 7 == אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:37, 5 בינואר 2011 (IST) == תרגיל 11 שאלה 1 == כמה שאלות:האם A נילפוטנטית?אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A?ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי? תודה רבה מראש:א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0). :ב. לא נתון הסדר של A, אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא הסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'. :ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.:[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)::תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?::ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!:::קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)== תרגיל 11 - שאלה 5 == אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.:נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)::הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:05, 6 בינואר 2011 (IST) == תרגיל 11 - שאלה 2 ==מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ?:(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים! (לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.:מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST) ::וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר). == תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות) == האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!:חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, לא צריך להראות את החישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST) == תרגול 11 == שלום רב, בתרגול 11 '''שאלה 4''' נכתב ש-<math>J=J_{14}(x)</math>, לאחר מכן נתונים על <math>J-xI</math> ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש '''ב-<math>J</math>'''. אבל <math>J</math> היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)? למה הנתונים על <math>J-xI</math>? תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]] :אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)::כן, זו הכוונה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)== תרגיל 11 == דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה יעזור לנו לפתור את שיעורי בית.דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן?ומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס?תודה!:דבר ראשון: אני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (בגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני: לא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (בהנחה שמימד ImA^2 הוא 1). אם קיבלת ש-A^2v=0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)::ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא 1? וגם, מתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker?::ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?::ושאלה אחרונה: אם A^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס- מה עושים? אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...::תודה רבה!:::(לא מתרגלת) בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה.::::1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל 2, אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT=KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1). תמיד אפשר להשלים כי <math>ImT \subset KerT</math> . כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את <math>ImT^{n}</math> ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר <math>A^2=0</math> אז אין שלבים באמצע.::::2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-rank) אז מספיק לעשות מה שרשמת.::::3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל-ImA^2? את/ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.::::4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:32, 9 בינואר 2011 (IST) == שאלה 6 == לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא?תודה מראש:תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה::לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?:אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי <math>(x-9)^5</math> ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)::תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?:::כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:00, 8 בינואר 2011 (IST) == שאלה על הוכחה מההרצאה == למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה:מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:37, 8 בינואר 2011 (IST)::תודה רבה! == תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון == לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר [[מדיה:Linear2-Hashlama-Targil.pdf|כאן]]. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:19, 9 בינואר 2011 (IST):תודה! יש לי שאלה על זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...:שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?::לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)== תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות == איך יודעים באיזה סדר לשים את הוקטורים שקיבלנו במטריצה P? :לפי מה שאני יודעת, (לא מתרגלת) זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור <math>P^{-1}</math>. ::אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת... :::הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת <math>ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap KerT \subset \ldots \subset \ldots \subset KerT</math> משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:52, 10 בינואר 2011 (IST) == שאלה על ג'רדון ==למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?:גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:54, 10 בינואר 2011 (IST) == בקשה - שיעור שלא העתקתי == שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד! אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 עם בוריס והתרגול של עדי. מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש. (את הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי: ella10004@walla.com) :אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.::תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..? == המבחן == האם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה:לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: [http://math-wiki.com/images/7/7a/LA.pdf דף ראשון מועד א]). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. [[משתמש:Gordo6|גל א.]] == משפט פיתגורס == בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב:" ממשפט פיתגורס: <math>||v||^2=|<v,u/||u||>|^2+|<v,v'>|^2</math> " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה! '''אם u/||u||,v א"נ אז <math><v,u/||u||>=0</math>:אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם. ''' אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? או ש <math>v=v'+u/||u||</math>תרשום את כל המשפט.:אוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה <math>{u/||u||}</math> שהיא א"נ, משלימים אותה לבא"נ של sp{u,v}, <math>B={u/||u||,v'}</math>. ואז "ממשפט פיתגורס"- המשוואה שרשמתי, וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ. == משפטים/טענות למבחן == האם צריך לדעת את '''כל''' המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר? :'''זו שאלה למרצים:{{הערה|(סטודנט אחר):}} אתה מתכוון כמו במיקוד?::אכן == {{הערה|(מתוך [[88-113 סמסטר א' תשעא|דף הקורס]]):}} התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה. == כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה. '''בימים הקרובים == מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים) == שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה
רק כדי להיות בטוח-דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?:{{לא מתרגל}} לא: <math>-2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8</math> למרות שהכפלנו אני אפתור מבחן המייצג את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-<math>A^T</math> מכפילה את הדט' ב-<math>(-1)^{2k}=1</math>). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן
::גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!:::כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST):::{{לא מתרגל}} תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה '''ו'''<span style="text-decoration:underline">שחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות</span>, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)= לכסון אורתוגונלי ==
שלום,
אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!
== מרחב וקטורי נוצר סופית ==
מותר לנו להניח שכל המרחבים הוקטורים בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? [[משתמשhttp:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>/www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99 לכסון אורתוגונלי]] 20:05, 8 בנובמבר 2010
'''עדי[http: בגדול כן, תהיה ממוקד על שאלה ליתר בטחון//www.math-wiki.com/images/8/85/09Linear2Triangulation.pdf שילוש אורתוגונלי]
== תרגיל 4 שאלה 2 מתרגול ==
בתרגיל כתוב למצוא את <math>A^{אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת-1}</math> על ידי שימוש בפרוק <math>A=PDP^{-1}</math>שאלה 3. לא הבנתי מה הכוונה26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <mathTv,v>A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}</math> אבל אפס אם כבר מחשבים את <mathורק אם xi>D^{-1}</math> אז פשוט יותר לחשב את <math>A^{-1}</math> בדרך ה0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"רגילהל גורר שקיים S צל" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?ע כך ש S^2=T. תודה!
בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את <math'''צל"ע=>A^{-1}</math>?:עבור <math>A\in\mathbb{F}^{2\times2}</math> הדרך הפשוטה ביותר היא <math>\mathbf{A}^{-1} נורמלי= \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \\\end{bmatrix}^{-1} =\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\\end{bmatrix}</math>:ועבור יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את <math>A\in\mathbb{F}^{3\times3}</math>: <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\\end{bmatrix}^{-1} =\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}\Tv, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\\end{bmatrix}</mathv>:כאשר <math>\begin{matrix}A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\\end{matrix}0</math>עבור הבסיס המלכסן האורתונ'.:(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו '''דווקאב-ב''' לפי PDP<sup>-1</sup>., התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T
== מט' נילפוטנטית ==
::תודה על התשובה. זה בעצם <math>adj(A)/det(A)</math> ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את <math>D^{-1}</math> באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את <math>P^{-1}</math>, ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של <math>A^{-1}</math> בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב <math>adj(A)/det(A)</math>אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית?תודה!
:::::'''אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --[[משתמששמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:45, 8 בנובמבר 2010 תודה (ISTכבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)
:::::: אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...:::::::כי עם P<sup>-1</sup> אפשר לחשב גם את A<sup>3</sup>. אמנם 3 == מה זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A<sup>20</sup>"דרגה דטרמיננטית"? או על A<sup>10000</sup>? אפילו [http://www.wolframalpha.com/input/?i={{3%2C2}%2C{4%2C10}}^10000 wolframalpha ויתר]. ובלי שום קשר - [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|תשובה?]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)::::::::אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את <''צונזר על מנת לשמור על שפיות הדף''> אבל ב-100000000 הוא נכנע.=
יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).:::::::::חח טוב השתכנעתילא משנה, תודההבנתי.
== שאלה 1 ==איך מגיעים מכך ש <math>(A-xI)v=0</math> לזה ש A לא הפיכה? תודה!:{{לא מתרגל}} אתה מתכוון <math>A-xI</math> לא הפיכה? A דווקא יכולה להיות הפיכה, למשל אם A=I אז A הפיכה ועבור x=1 מתקיים <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math> (ולכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולכן (A-xI) לא הפיכה). ובאותה הזדמנות, כבר 47 שעות לא קיבלתי תשובה [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|פה]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 19:11, 10 בנובמבר 2010 (IST)::כמו כן, למה כוונתך בשאלה 1? האם כוונתך היא לשאלה הראשונה בתרגול הבית? אם כן באיזה תרגול? או שסתם לשאלה אחת מבין כלל שאלותיך? אבקש, בשמי ושמם של אחרים שלהבא תרשום את מספרה המדויק של השאלה ומאיזה תרגול היא לקוחה, בכדי שנוכל להבין לאיזו "שאלה 1" אתה מתכוון. בכל אופן אם כוונתך היא לשאלה 3.3ב מתרגול 5, הסתמך על הטענה הראשונה באותו הסעיף והוכח בעזרתה את החלק השני של הסעיף. רמז: עבור אילו ערכים של <math>|A|</math> המטריצה לא תהיה הפיכה?::כמו כן - שאלה למתרגלים, מדוע נוצר הפיצול בין קבוצות הדיון? הרי בסופו של דבר אלו אותם השיעורים, ולכן ישאלו אותן השאלות, ובסופו של הדבר אני מאמין שאם מישהו ישאל שאלה בפורום מסוים והיא לא תיענה בו אז הוא ישאל את אותה השאלה גם בפורום השני. בברכה, [[משתמש:Gordo6|גל]].:כן שאלה 1 מהתרגיל- מן הסתם מהתרגיל הנוכחי, תרגיל 5, ונכון, התכוונתי ל A-xI ולא לA. אפשר עזרה לגבי A-xI? (הסתדרתי בפתרון כללי של התרגיל, אך אני רק צריך עזרה בהוכחת הטענה שבשאלתי). תודה!::{{לא מתרגל}} לא הבנתי - יש לך בעיה להוכיח ש-<math>A-xI</math> לא הפיכה? כאמור: <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math>, לכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולפיכך (A-xI) לא הפיכה, מש"ל. אם זו לא הבעיה - תקן אותי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 21:40, 10 בנובמבר 2010 (IST):::למה אם יש פתרון לא טריוויאלי אז A-xI לא הפיכה?::::כדאי שתחזור על החומר בלינארית 1, זה היה משפט. בכל אופן, ניתן להוכיח זאת בקלות: נניח בשלילה ש-<math>A-xI</math> הפיכה, כלומר קיימת <math>(A-xI)^{-1}</math> כך ש-<math>(A-xI)^{-1}\ (A-xI)=I</math>. נכפיל (מימין, כמובן) ב-<math>v\ne\vec0</math> ונקבל<div style="text-align:left;"><math>\begin{align}&(A-xI)^{-1}\ (A-xI)v=Iv\\\implies&(A-xI)^{-1}\ \vec0=v\\\implies&\vec0=v\ne\vec0\end{align}</math></div>::::בסתירה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 18:20, 11 בנובמבר 2010 (IST)
== שאלה 3.18 ==האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן?בתודה רבה!
בסעיף א', מה זה אומר (הוכח שהפולינום....) "מאפס את A"?? מה זה מאפס? מאפס כשמציבים משהו? מאפס את הפולינום האופייני של A? ?== דימיון בין מטריצות מייצגות ==
===תשובה===הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_0</math> ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math>. קל לראות ש <math>f(A)</math> מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם למה המטריצה <math>f(A)</math> הינה מטריצת האפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST):אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח המייצגת של השאלה ממש אבל ממש לא ברור:עדיין לא הבנתי: מה צריך להראותT לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? כי מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את העובדה ש <math>f_A(A)=0</math> לא צריך להראות בכלל, זה תמיד מתקיים על פי קיילי המילטון. אז מה כן צריך לעשותמתמטית? תודה::רשום בשאלה פולינום אופייני? רשומה מטריצה ופולינום, לכן נשאר מה להוכיח, ויש אפילו רמז. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:06, 13 בנובמבר 2010 (IST):::ברמז מפנים אותך לשאלה שקשורה לפולינום אופייני, אבל הרגע אמרת שאין שום קשר לפולינום אופייני!::::אתה חייב לנסות להבין יותר מאשר להסביר לי... יש קשר לפולינום אופייני, אבל לא '''נתון''' שזה פולינום אופייני. לכן אם רוצים לומר את זה צריך להסביר את זה ואז יש תרגיל + פתרון שלו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:37, 13 בנובמבר 2010 (IST)
== עזרה במושגים למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה? ==
מהו הפולינום הזה שאפשר להציב בו מטריצות במקום סקלר (איך הוא נקרא\מסומןלא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, התכונות שלו), יש לו קשר לפולינום האופייני? יש לו קשר לפולינום רגיל? ועוד 2 שאלות חשובות:אשמח להסבר או הוכחה ברורה.:איך אפשר למצוא מטריצה שמאפסת פולינום? {{לא מתרגל}} הוכחה אפשרית: תהא <math>A\in\mathbb F^{n\times n}</math> ויהיו <math>\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n</math> הערכים העצמיים שלה. אזי <math>\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(האם יש אלגוריתם או דרך לפתרון-1)?:מה זה פולינום ש"מאפס את ^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A"?תודה|=|A|</math>. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).
::יעזור לקרוא את השאלה שבדיוק נמצאת מעליךהוכחה מאוד יפה! תודה.:::אשמח לתשובות לכל השאלות שלא ניענות בשאלה שמעליי (וגם תשובה למה זה"מאפס את A"רגע, שאני אבל אם הפולינום האופייני לא בטוח עדיין מהי התשובה הנכונהמתפרק לגורמים לינאריים, אז <math>P_A(0)</math> הוא לא מה שכתבת שהוא. תודה.. לא?::::רשמתי שם באופן מדוייק כיצד מציבים מטריצה בפולינום (כל פולינום) ומתי אומרים שמטריצה מאפסת פולינום{{לא מתרגל}} לא בדיוק, תקרא היטב. לגבי איך מוצאים כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה מאפסת פולינום, זה בדיוק הסעיף הראשוןשכל הע"ע שלה ב-<math>\mathbb F</math>. למשל ל-<math>\begin{pmatrix}1&2\\-1&-[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:36, 13 בנובמבר 2010 1\end{pmatrix}</math> אין ע"ע ב-<math>\mathbb R</math> (ISTולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה):::::לא, אני יודע מה זה למצוא מטריצה שמאפסת פולינום על פי ההגדרה, אבל איך אפשר למצוא את המטריצה בצורה יותר קלה מההגדרה? בסגור האלגברי שלו (אתה לא מצפה ממני לפתור 5 A '''בחמישית''' ועוד 3 A בשלישית וכו', נכון? או לעשות חזקות של מטריצה מסובכת עם מימדים nxn?<math>\mathbb C</math>)::::::לא מההגדרההע"ע הם <math>\pm i</math>, מהסעיף הראשון שם יש נוסחא מפורשת למטריצה שמאפסת '''פולינום כלשהו''' ומכפלתם שווה לדטרמיננטה... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)
== תרגיל 5? תרגיל 3למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T? ==
למה בכותרת ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה:"נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של תרגיל 5 כתוב תרגיל 3? שלא יצא ששמו בטעות משהו אחרT ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.
== תרגיל 5 שאלה 3.3 ==
את כל החלק הראשון של סעיף ב' נכון רק עד כדי <math> \pm </math>, בתלות בזוגיות n. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:23, 13 בנובמבר 2010 מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (ISTכולל)'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמורלא הבנתי.
== שאלה 3.18 א' ==בבקשה עזרה!!
עשיתי חישוב ישיר של A בריבוע:יהי אופרטור T על V, A בשלישיתנניח כי T לכסין,כלומר קיים בסיס B של V כך ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> מטריצה אלכסונית.נסמן{B={v1,....,vn , A בחזקת nאזי כיוון ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> אלכסונית:<math>{\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}, ובסכום a0I+a1A+...+an-1A^n יוצא לי במקום מטריצת האפס, יוצא שהסכום הוא בדיוק 2A^n! זה נכון{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0\\0& \ddots &0\\0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1}, או שהיית לי טעות? או שבכלל לא הבנתי את השאלה? קראתי בשאלות מעליי שיש קשר לפולינום האופייני אבל לא הבנתי מהו. פשוט חישבתי ישירות. גם .,{\lambda _n}{e_n}} \right)}</math>(אני רואה שזה לא הבנתי מה הקשר לתרגיל שברמזעובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב<math>{\left[ T \right]_B}</math> היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. אשמח להסבר מפורט ומובן ככל האפשר[[משתמש:לידור. תודה רבה מראש!א.|-לידור.א.-]] 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)
==פתרונות של התרגילים =תשובה===(לא מתרגל/ת) כנראה הייתה טעות כי הצלחתי להוכיח את המבוקש, דבר שני איך בדיוק אפשר לחשב דבר כזה כאשר n הוא מספר כלשהו?הכיוון הוא יותר פשוט, כמו שנכתב קודם יש קשר לפולינום האופייני, מצא את הפולינום האופייני ולפי קיילי- המילטון A מאפסת אותו, אחרי שלבים אלה ההמשך פשוט.:חישבתי את זה ע"י חישוב A בריבוע (בעזרת שלוש נקודות כי יש המטריצה היא מגודל n על n), ואז A בשלישית, הבנת העקרון, שלוש נקודות, ואת A בחזקת n. אז הצבת המטריצות בפולינום וזה מה שיצא לי. אם זה לא נכון והפתרון הנכון היחיד הוא עם הפולינום האופייני, אשמח לעזרה בנושא, מכיוון שלא הבנתי את הקשר לפולינום האופייני, ואשמח לתשובה קצת יותר עמוקה מאשר הרמזים הקלושים והעפלוליים שכתובים בשפה מצרית עתיקה ושאותם צריכים מומחים לפענך כדי להבין מה הם אומר- כמו שארז בדרך כלל עונה. תודה::התבוננו בדף שהעלה לכאן ד"ר צבאן בנושא המטריצה הנלווית. אפשר לומר שדף זה ממש נותן את התשובה לסעיף א... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]:::עדיין לא הבנתי מה צריך לעשות ב-א'.
==3.18 ד'==האם מותר להשתמש בטענה שמטריצות עם ערכים עצמיים שווים דומותאתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12?אשמח לקבל תשובה בהקדם, תודה לעוזריםזה ממש יעזור...
'''עדי: זה בדיוק מה שאומר הרמז בסוגריים== פתרונות 11 ו 12 !!! ==
תודה, הבנתי את הרמז מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות אני לא ידעתי אם מותר להשתמש בו בלי הוכחהיכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...
== תרגיל 5 שאלה 3.3 עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג' ==
אני חושבת שזה לא נכון שבהכרח <math>f_A(0)=|A|</math> כי הרי <math>f_A(נתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0)=|0*I-A|=|-A|=(-1)^n|A|</math>. אז אם n אי זוגיצ"ל dim Span{w, <math>f_A(0)=-|A|</math> וזה v}.ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא בהכרח שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1 או 2, תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל-<math>|A|</math>. אז.. איפה טעיתי?'''עדי:עד כדי +- אבל זה בסדר גמורמה שלא הצלחתי למצוא, ניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.
תשובה (לא מתרגלת..):מה זהוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1.מניחים בשלילה שהם בת"א? ההגדרה ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של פולינום אופייני היא מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0. זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...:לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את הדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת<math>f_A(x)=|xI<u,u><v,v>-A|<u,v><v,u></math> אלא , ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס.::{{הערה|לא מתרגל אחר}} אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם '''יכולה''' להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל <math>f_A\left|G_{\{\vec0,(x1,0)=\pm|xI-A}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0</math>??
::יש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|xI= עזרה בשאלה ממבחן-2002 A|</math> (כמו שמגדירים בהרצאה) ויש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (כמו שמגדירים בחוברת של צבאן). לכן גם תשס"הטעות" כביכול בתרגיל, היא פשות נוסעת מהגדרות שונות. ניתן לשים לב שההבדל בין ההגדרות הוא עד כדי פלוס מינוס, שהרי: <math>|A-xI|ב מועד א' שאלה 2 ג' ==(-1)^n|xI-A|</math>. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
אני לא מצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!:::העניין הוא שגם בועז צבאן מגדיר {{לא מתרגל}} אם הפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א). אתה יכול לקחת את זה <mathi dir="ltr">|xI-A|J<sub>2</mathsub>. אבל בקיצור זה (מספר כלשהו)</i>, ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא משנה ואפשר להשתמש באיזו הגדרה מתי שרוציםלכסין. {{משל}}:אוקי, תודה על ההסבררבה.
== שאלה לעדי עזרה בשאלה ממבחן ==
אני השאלה: יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(ועוד כמהA) לא נגיע מחר בגלל טיול שנתי בביה"ס+g(B) לכל זוג פולינומים f, ולכן אנחנו רוצים להגיש את שיעורי הבית היוםg. זה בסדר אם נשים אותם באחד מהתאים בבניין המתמטיקהשאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה? :{{תשובה מתחכמת}} קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<span styleC מגודל שלוש על שלוש.:אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)="floatg(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.:left;"אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל <math>\R</math> אז אני לא יודע... [[משתמש:אור שחףGordo6|אור שחףגל א.]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]]</span> 18:47, 15 בנובמבר 2010 (IST)ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..
:'''עדי: אני מקווה שלא פיספסתי אתכםנגדיר V מרחב הפולינומים מעל RV מרחב וקטורינתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי. שימו בתא להגשות באיחור בתאים בקומת הכניסה נבנה העתקה T:VxV->M2(רשום על זה. אני חושבת שזה 103 אבל לא בטוחה אז תסתכלו על איזה תא רשוםR). תשלימו את השיעור ועדכנו אם תצטרכו עזרה בהבנתו.'''zz כך ש-::לא פספסת, חיכיתי לך T(ד"אf, עד מתי האוניברסיטה פתוחה?g)=f(A)+g(B)zzברור שאם f=pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). תודהכלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על, <span style="float:left;">[[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]]</span> 19:50כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f, 15 בנובמבר 2010 g כך ש-f(ISTA)+g(B)=C'''לאוניברסיטה לפי דעתי אפשר להכנס 24/7.מתי המחלקה ננעלת לעומת זאת אין לי מושג...'''(בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)
== תרגיל 5 עזרה בעוד שאלה 3.18 סעיף ג ממבחן ==
מהי האות שהיא המקדם של x^9? היא די דומה לכ' סופית אך זו לא בקבוצת האותיותנתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. [[משתמש:לידורצ"ל AB=BA.א.|-לידור.א.-]] 22למישהו יש רעיונות?:עריכה:06אני חושב שהצלחתי, 15 בנובמבר 2010 A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (ISTכך שהמט' המלכסנות P-1=P*):זו האות ב. אם תתבונן בחוברת של צבאן, שם התרגילים כתובים באותו פונט אבל שלא עבר תאות שונות כגון סריקה והעתקה ולכן רואים יותר טוביש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, תראה בוודאות שזו ב. [[משתמש:Gordo6|גל אP-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.]]
== שאלה בקשר למבחן ==בשאלה 3 סעיף ב אמרו::זה לא ך' באמת? הרי כתוב שם הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^3...,x^n} הוא בא"תרגיל ארוךנ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ. פשוט ערכה שווה לערך של כ'. לא?:::זה בטוח כ' כי כתוב תרגיל ארוך
== שאלה על 3אם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, כי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס יהיה בא"נ והוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ.18 ד' ==
איך פותרים את זה? יש דרך למצוא מטריצה אך ורק עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' של A, ולא הספקתי להוכיח ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה.מישהו מהמרצים או מהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על פי הערכים העצמיים שלה?זה. תודה רבה~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.
== שאלה 3.18, סעיפים ה' + ו' הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה ==
בסעיף ה' בשאלה נדרש לחשב את הוקטורים העצמיים אם נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A = companion+I. אם כל הענקבל מטריצה לא הפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..)בתשובה שראיתי נאמר "ע לכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A שונים אז היא לכסינה ולכן יש מטריצה מלכסנת שהיא בנויה מן הוקטורים העצמיים שלה בעמודותהוא 1-." לעומת זאת, בסעיף ו', מגדירים את ונדרמונדה להיות כך שהיא transpose של הוקטורים העצמיים שיצאו לי בה', ולכן יוצא כי מה שצריך להוכיח לא נכון. האם יש טעות בתרגילאתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל?:{{לא מתרגל}} אני מבין את ההתחלה- המטריצה A+I לאהפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה. ביקשו להראות שהמטריצה המתקבלת אלכסונית, לא אלכסונית ''המתקבלת מליכסון A''. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]]עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה?:: הרגע הפרכתי את מה שביקשו להוכיח. קח מטריצה 2x2 של companion כך שיש לה שני הבנתי- זה דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים שונים, ותראה שלא יוצאת לך אלכסונית.. תודה!! :)