'''חשוב!!!
''' 3.2.2011
'''שלום לכולם,
'''שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים [[בשני הקרוב,7.2]] בשעה 16:00.
'''נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר.
'''עדי'''
{{הוראות דף שיחה}}
=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]
=שאלות=
== תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? ==
אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}== למה? ==-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)
הדט' של פ"מ שווה לפ"מ בחזקת n??== חובת הגשה ==
'''מהכמה תרגילים עוד יהיו?כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.:ד"ר צבאן כתב שהדט' של פולינום מינימלי שווה לפולינום המימינלי אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (כפול Iאולי מינוס שבוע אחד) בחזקתn (http://math-wiki.com/images/9/9b/Charpolydivminpoly%5En.pdf, סוף המסמך), ואני שאלתיחובת הגשת התרגילים היא של n- למה זה? תודה!::{{לא מתרגל}} כי <math>|m_A(x)I|=\begin{vmatrix}m_A(x)&0&\cdots&0\\0&m_A(x)&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&m_A(x)\end{vmatrix}</math> וזו מטריצה אלכסונית2 תרגילים, לכן = למכפלת אברי האלכסון הראשיכלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. [[משתמש:אור שחףדורון פרלמן|אור שחףדורון פרלמן]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 2301:2826, 22 בנובמבר 20 בדצמבר 2010 (IST):::תודה!!ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?
== נכונות טענה =='''כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו
שלום רב== תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב' ==
האם הטענה הבאה נכונה: מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"אם שתי מטריצות דומות זו לזוע? הכל?:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, אז יש להן 20 בדצמבר 2010 (IST)+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם פולינום האופייני ופולינום המינימלי. לכןT, כדי שמטריצה תהיה לכסינהB, צריכים להיות לה פולינום אופייני ומינימלי זהים לאלו של מטריצה אלכסוניתA, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?:נכון. במילים אחרות[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, הטענה אומרת שמטריצה <math>A</math> 20 בדצמבר 2010 (מגודל <math>nXn</math>IST) לכסינה אם:
1. <math>P_A(x)=(x-a_1)^{k_1}...(x-a_i)^{k_i}</math> כאשר <math>k_1+...+k_i = n</math>שוב LCM ועוד שאלה קטנה ==
21. <math>m_A(x)=(x-a_1)...(x-a_i)</math>חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.
2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה! .:1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:Gordo6דורון פרלמן|גל א.דורון פרלמן]]19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)::תודה!
:[[קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:02, 22 בנובמבר 2010 (IST)::אפשר להשתמש במשפט הזה (מבלי להוכיח אותו שוב)? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 22:12, 22 בנובמבר 2010 (IST):::אני רק אדגיש שאני הפנתי לדף באתר משנה שעברה, אני לא יודע אם מותר לכם להשתמש בזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:19, 22 בנובמבר 2010 (IST)== חיוביות בשדה המרוכבים ==
'''עדיאיך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?: תסתכל בארכיון2לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, עניתי אי אפשר להגיד על זהשני מספרים a>b, ריבויי שורשי הפבפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "א הם 1 בפמספר חיובי" או "מספר שלילי"מ. שזה גם מה שאומר המשפט של ארז ושלך. כן[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, אפשר להשתמש בזה23 בדצמבר 2010 (IST)::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, למדנו את זה גם בתירגולוצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה.אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?:::כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)
==5.22 לגבי ה-traceגרעין של מטריצה ==שלום רב,אני חושב שאני יודע איך ה-trace של המט', אך רק מתוך אינטואיציה, מישהו יכול להיות אולי רמז לדרך הפתרון?תודה [[משתמש:Sretter|שקד רטר]]
'''עדי: חשוב על משהו אחר שמשותף למט' דומות והסק מסקנה על העיקבה שלהןשלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודהמראש!!! [[משתמש:Sretter|שקד רטר]] 09:54, 23 בנובמבר 2010 (IST)
'''עדי: <math>ker(A)=\{v\in V:Av= תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן ==0\}</math>
בעמ' 95 תרגיל 1.1, אמור להיות כתוב u,v "עם או בלי אינדקסים" במקום "עם או בלי סקלרים", נכון?והחלק שיותר חשוב לשיעורי הבית, ב1.4 ב' ו-ג', המ"פ הן מתרגיל 1.== שאלה 3, לא 1.1, נכון? תודה30א ==
'''עדי:'''1לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה.נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1:כןולא גודלו.
עדי :את סעיף ב'''של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math>\lambda \le 1</math>? [[משתמש:לידור.4א.|-לידור.א.-]] 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST):גם ב-ב' זה ככה או לא?::כן, לשנות גם את סעיף ב'.[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)
== תרגיל 10 - שאלה 3.23א' ==
== שאלה 1בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית.9 =את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיחואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :):: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)
מה הם הוקטורים הסטנדרטיים ב <math>C^n</math>? (כלומר e_1 לדוגמה, שווה ל <math>(1,0,..,0)</math> או למשהו אחר?)עריכה== תרגיל 10 -עוד שאלה בנושא: האם ניתן להתייחס לוקטורים הסט' ei כוקטורי שורות? כי אם לא, אז יהיה חלק בתרגיל שיהיה קשה לביצוע, מכיוון שv הוא סכום של וקטורי עמודות, וכדי לכפול אותו במטריצה מימין יש להתייחס לשורותיו ולא לעמודותיו... תודה!השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס ==
:אני לא מתרגל, אבל לדעתי הרעיון בוקטרים מעל שדה מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא שיש לך, כמו שאמרת, את הוקטורים e1, e2, ... en מעל כל שדהמ"ו?:זו המ"פ הסטנדרטית, וזה שיש לך i לא אמור לשנות לךו-<math>V=\mathbb{C}^{n}</math>.[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:לא הבנתי...11, 28 בדצמבר 2010 (IST)
'''עדי:נכון מאוד. הכוונה שאתה יכול ליצור כל וקטור מרוכב מצרוף לינארי של e1,...,en כאשר i הוא אחר הסקלרים האפשריים.== משפט או לא? ==
'''לגבי החלק השנישאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, למה החלטת שאלו וקטורי עמודותאז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע? כמובן שאם דורשים )(צל"ע=צמוד לעצמו):מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-<math>vAu^*[T]_{B}</math> אז הוקטורים מוגדרים כך שהמכפלה ביניהם מוגדרתאלכסונית.:פעלתי לפי הרמז, וכדי לחשב ומעל הממשיים יש את האגף עם המטריצות, צריך לעשות את כפל A עם v משמאל- ולפי הרמז, צריך לכתוב את v כסכום של הוקטורים הסטנדרטיים, שבדרך כלל אנחנו '''מתייחסים אליהם כוקטורי עמודה''' ולא שורה, ולכן שאלתי משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם אפשר הפעם להתחייס אליהם כוקטורי שורה. ורק אם כן אפשר להתחייס אליהם כוקטורי שורה, אז נראה לי שצריך להשתמש בכפל שורה שורה כדי לבדוק את הכפלT צמוד לעצמו... לאבנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר?אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:31, 28 בדצמבר 2010 (ראי שאלה למטהIST).
'''למה וקטור שורה כפול מטריצה הוא שורה שורה? עושים כרגיל שורה כפול עמודה ומקבלים שוב וקטור::התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי), ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!
*[[מדיה:דוגמא== 3.pdf|דוגמא]]:תודה!27 ==
== כפל שורה שורה ==אפשר רמז?
מישהו יכול בבקשה לרשום את החוק '''עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"כפל שורה-שורה"? (אם אני זוכר נכון יש לו 2 סעיפים). אני לא מצליח למצוא אותו בשום מקום. תודה!י המספר e
'''בקשר למה זה?:חשבתי לנסות להשתמש בזה בתרגיל 1.9, בכפל v עם A.== ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי ==
'''אז למה שורה-שורה? תפעל לפי הרמז, לפני שאתה ניגש לפיתרון היזכר מה משאירה מכפלה ההגדרה של "מטריצה בוקטור שורה <math>e_i</math> משמאל ומה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור עמודה <math>e_j</math> מימין.A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?
ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?
== שאלה 1.13 ==
השאלה אומרת שיש שלושה וקטורים שבמכפלה פנימית עם עצמם שווים ל- 1- ועם אחד מהאחרים שווים ל- 3. צומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"ל שסכומם הוא אפס. הכוונה בתרגיל היא שיש מרחב מכפלה פנימית שפועל כך או שאלו ארבע וקטורים מיוחדים במכפלה הסטנדרטית שמקיימים את התנאים? או אלי בכלל אנחנו לא יודעים על איזו מכפלה סקלרית מדובר וצריך להוכיח רק לפי ההגדרות?
תודה מראש!ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?
'''עדי: לא עבור מכפלה ספציפית. עבור מ"פ כלשהי על 4 וקטורים ספציפיים. כןובמיוחד,לפי הגדרות.מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים?
== 1.13 ==
אפשר רמז לתרגיל 1'''עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית.13? אין לי מושג מאיפה להתחיל בכלל...: תנסה לחשב את המכפלה הפנימית של סכום ארבעת הוקטורים ;)::ווואי פתאום זה כל כך קל! תודה רבה!!!::: בכיף ;)
== הרצאה ותרגול בחנוכה =='''אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית)
האם יתקיימו הרצאה ושיעור תרגול בחנוכה?:לקבוצה של ד"ר צבאן לא יתקיימו שיעורים בלינארית בכלל, רק התרגול באינפי שנקבע מולנו. [[משתמש:Gordo6|גל]]'''ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי
'''עדי: בעיקרון זה תלוי בהספק שלנו בתירגול הקרוב אבל כפי שנראה כרגע לא, רק בוחן ב9/12.אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים
== עבודת ההגשה לחנוכה ==:תודה!
איפה היא? לא מצאתי אותה בעמוד הראשי, למרות שכתוב שהיא נמצאת שם. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 18:56, 25 בנובמבר 2010 (IST)== בילבול קטן ==
'''בתרגיליםצילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-<math>[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*</math>. זה לא אמור להיות <math>[T^*]^E_F=([T]^E_F)^*</math>?:לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)::אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!
== 1.9- הבהרה בקשר לסקר ההוראה ==
כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).
:גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
האם הכוונה ב- <math>e_{1},...,e_{n}</math> היא לווקטורי הבסיס הסטנדרטי?== תרגיל 11 ==
'''כןאני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??:תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11 שאלה חשובה לגבי 1.9 7 ==
אפשר בבקשה מהם הוקטורים הסטנדרטיים בC^n במפורש? זה חשוב, כדי צריך לדעת מהם הצמודים להם. לדוגמה, אם הוקטורים הסט' בC הם כמו בR, כלומר <math>e1=אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (1,0,ראו הודעה בעמוד הראשי)..)</math> וכו'[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:37, אז הצמוד של זה הוא הוקטור עצמו, אבל הוקטור הסט' בC הוא <math>e1=5 בינואר 2011 (1+i,0,..IST)</math> אז כבר הצמוד של זה הוא משהו אחר. תודה מראש
== תרגיל 11 שאלה 1 ==
'''עדיכמה שאלות:''' <math>האם A נילפוטנטית?אנחנו יודעים את הסדר (1+i,0,..גודל)=(1+i)e_1</math>של A?'''כלומר הם הוקטורים הסט' הרגילים עם מקדמים מעל שדה המרוכביםואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי? תודה רבה מראש:ז"א שהצמוד של e1 שווה לe1, נכון?. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0).
'''כן:ב. לא נתון הסדר של A, באופן כללי הצמוד אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של <math>ke_i</math> הפולינום האופייני הוא הצמוד הסדר של k כפול <math>e_i</math>המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'.
:ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'למה ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה רלוונטי לשאלה זו?), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.:[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)::תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי בחישוב הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?::ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של u כוכבית הייתי צריך לחשב את הצמודים הע"ע) יהיה הגודל של הוקטורים הסטהמטריצה המתאימה לו"? תודה!:::קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)== תרגיל 11 - לא משנה- הסתדרתי- תודה רבהשאלה 5 ==
== שאלה 1אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.:נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)::הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:05, 6 ==בינואר 2011 (IST)
האם בשאלה 1.6 אפשר למצוא את ערכי אלפא בתלות ב== תרגיל 11 -<math>x_1, x_2</math> מהם בנויים הוקטורים (לדוגמה מהצורה <math>\alphaשאלה 2 =(x_1+x_2)/(x_1*x_2)</math>, או שחייבים למצוא ערך מספרי (לדוגמה מהצורה <math>\alpha=3</math>)מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ? תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]:{{(לא מתרגל}} ל)-<math>\alpha</math> חייב להיות תחום קבוע. מכפלה פנימית מוגדרת לכל <math>v\in\mbox{dom}(\langle\ מוזר,\ \rangle)</math> (<math>\langle\ למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד,\ \rangle</math> היא פונקציית המאלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"פ), כלומר לכל <math>(x_1,x_2),\ (y_1,y_2)</math>. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 23:08, 29 בנובמבר 2010 (IST)י שינוי סדר האיברים!
==רמז ל 1(לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים.לכן גם השאלה לאחר מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.:מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6==בינואר 2011 (IST)
'''אתם יכולים להשתמש בטענה המוצגת ב 1.7::וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר).
'''<math><v,u>:=vAu^t</math> היא מ"פ '''אמ"מ= תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות) ==
האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!:חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג''<math>A=A^t</math> ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, <math>a_{11},a_{22}>0</math> , <math>|A|>0</math>לא צריך להראות את החישובים.אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
==תרגול 11 =שאלה לגבי הרמז===יכולים זה "יכולים בלי בוכחה" או "יכולים אבל דרוש הוכחה"?
אפשר להשתמש בזה בלי הוכחהשלום רב,
==בתרגול 11 '''שאלה 1.4==סעיף ב': לא הבנתי איך מחשבים מכפלה פנימית של מטריצות ומה הקשר לתרגיל 1.1'' נכתב ש-<math>J=J_{14}(גx)?סעיף </math>, לאחר מכן נתונים על <math>J-xI</math> ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג': לא הבנתי איזה מ"ו זה ומעל איזה שדה? מה הקשר ל1ורדן מכל סדר יש '''ב-<math>J</math>'''.1אבל <math>J</math> היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (דולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14) ומה הם a,b? למה הנתונים על <math>J-xI</math>?
:יועיל לך לעיין [[#תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן|כאן]]. תודה מראש, [[משתמש:לידור.א.Gordo6|-לידור.גל א.-]] 22:28, 29 בנובמבר 2010 (IST)
אההה חחח:אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה.ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. עכשיו הכל מסתדר לי! תודה בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)::כן, זו הכוונה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)== תרגיל 11 ==
אני יודע מה דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה צמוד יעזור לנו לפתור את שיעורי בית.דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של מספר מרוכב אבל מה זה צמוד של מטריצה ושל פולינום?P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן?ומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס?תודה!:{{לא מתרגל}} הצמוד של פולינום הוא <math>\forall xדבר ראשון:\ \bar fאני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (xבגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני:=\overline{fלא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (xבהנחה שמימד ImA^2 הוא 1)}</math>. הצמוד של מטריצה אם קיבלת ש-A, שיסומן B, מקיים <math>\forall i,j:\ b_{i,j}:^2v=\overline{a_{i,j}}</math>0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. [[משתמש:אור שחףדורון פרלמן|אור שחףדורון פרלמן]]<sup>[[שיחת משתמש21:אור שחף|שיחה]]</sup> 23:1330, 29 בנובמבר 2010 8 בינואר 2011 (IST)::הבנתי את ההצמדה של מטריצות אבל ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא את מה שרשמת על פולינום1? וגם, את יכולה לתת לי דוגמא אולימתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker? למשל ::ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?::ושאלה אחרונה: אם יש לי את הפולינום שבתרגיל XA^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס-2 מה זה הצמוד שלועושים?אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...::תודה רבה!::: הצמוד של פולינום מתקבל מהצמדת כל המקדמים שלו (ללא שום קשר למשתנהלא מתרגלת)בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה. ::::1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל2, הצמוד אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הפולינום <math>\ f(z) הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT= z^2 - KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1+i)z + 3i. תמיד אפשר להשלים כי <math>ImT \subset KerT</math> הוא . כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את <math>\ \barImT^{fn}(z) = z</math> ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר <math>A^2 - (=0</math> אז אין שלבים באמצע.::::2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-irank)z אז מספיק לעשות מה שרשמת.::::3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל- 3i<ImA^2? את/math>ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.::::4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. [[משתמש:עוזי ו.דורון פרלמן|עוזי ו.דורון פרלמן]] 2219:1432, 30 בנובמבר 2010 9 בינואר 2011 (IST)
== שאלה 1.9 6 ==בסעיף ג' די להביא דומא נגדית - אני לא טועה?ואם כן אז עבור A=A* אפשר להביא סתם מטריצה לא כזו שאיבריה הם מ"פ??
== בקשת הבהרה ==לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא?תודה מראש:תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה::לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?:אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי <math>(x-9)^5</math> ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)::תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?:::כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:00, 8 בינואר 2011 (IST)
שלום רב,אבקש להבהיר עמכם את הנושאים הבאים:*'''עבודת המרצים לחנוכה''' - כתוב הגשה בתאריך 13/12 אבל זהו יום שני בו אין לימודים בקורס. האם כוונתכם היא שיש להגישה ב-12/12 (יום א) או 14/12 (יום ג)?'''ב14/12 זה בסדר*'''השלמה לתרגול 8''' - כוונתכם שהתרגול הוא מהתאריך 30/12 ולא כפי שאמור להיות כתוב (30/11)...'''תוקן*'''הבוחן''' - בקטע של הוכחת המשפטים - האם ייתכן משפט מלינארית 1 או שרק מלינארית 2? אותו כנ"ל עבור הקטע של שאלות משל שיעורי הבית (האם תתכנה שאלות גם מהשיעורים שניתנו לנו בלינארית 1?) ושל שאלות מהמבחנים באתר של ד"ר צבאן (האם תתכנה שאלות ממבחן בלינארית 1, או שאלות שמצויות במבחן בלינארית 2 אך קשורות רק לחומר שנלמד בלינארית 1?). עם זאת אבקש להבהיר שכוונתי בשאילת השאלה הזו היא לא האם עליי ללמוד/לא ללמוד את החומר מלינארית 1, שהרי ברור לי שהחומר בקורס זה מבוסס עליו...''' משפטים ותרגילים מקורס זה, == שאלה מהמבחנים:יכול להופיע תחת כותרת "לנארית 1"או "לנארית 2" ובלבד שזה חומר הנלמד בקורס זה (וממילא כפי שאמרת מבוסס על חומר קודם)הוכחה מההרצאה ==
למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה רבה:מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. [[משתמש:Gordo6דורון פרלמן|גל א.דורון פרלמן]]21:37, 8 בינואר 2011 (IST)::תודה רבה!
==תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון =לגבי שאלות מהמבחנים===כוונתך היא בעצם ששאלה יכולה להופיע אם התוכן שלה נלמד בקרוס זה (לינארית 2) אבל בלי קשר למבחן שבו היא מופיעה (ברור לי שייתכן שהשתנה סדר הלימוד וכל אלה ולכן ייתכן שיש שאלה במחבן ישן של לינארית 1 שיתאם את החומר שנלמד בקורס זה)? תודה מראש!
== לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר [[מדיה:Linear2-Hashlama-Targil.pdf|כאן]]. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:19, 9 בינואר 2011 (IST):תודה! יש לי שאלה על סכום ישר של תת מרחבים זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...:שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?::לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)== תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות ==
בעבודה לחנוכה, כשהגדרתם סכום ישר של תת מרחבים, כל מה שאמרתם זה שהחיתוך של תתי המרחבים (בזוגות) הוא וקטור האפס, כלומר הסברתם רק איך יודעים באיזה סדר לשים את החלק של ה-"ישר" ב-"סכום ישר". אבל מה בכלל זה אומר "סכום" של תת מרחביםהוקטורים שקיבלנו במטריצה P? מצאתי לזה כמה הגדרות שונות אז אני רוצה להיות בטוח. תודה
===תשובה===סכום של שני תתי מרחבים מוגדר באופן הבא: <math>U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}</math>. כלומר, כל הסכומים האפשרים בין וקטור מU לוקטור מW. אומרים שהסכום בין U וW הוא ישרלפי מה שאני יודעת, אם החיתוך ביניהם הוא אפס (כפי שאמרתלא מתרגלת) ואז מסמנים זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור <math>U+W=U\oplus WP^{-1}</math>.
על מנת להוכיח ש<math>V=U\oplus W</math> יש להוכיח ששני התנאים הבאים מתקיימים::אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת...
1. :::הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת <math>U ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap W = KerT \{0subset \}ldots \subset \ldots \subset KerT</math>משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:52, 10 בינואר 2011 (IST)
2. <math>V=U+W</math>= שאלה על ג'רדון ==למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?:גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:54, 10 בינואר 2011 (IST)
== בקשה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 2 בדצמבר 2010 (IST)שיעור שלא העתקתי ==
שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד!
:בנוסף, נכון לומר ש U+W הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל גם את U וגם את W (קל לראות שזה נכון מתוך סגירות לחיבור) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:37אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 בדצמבר 2010 (IST)::תודה!עם בוריס והתרגול של עדי.
===עוד שאלה קטנה ויכול להיות שלא ממש חכמה===הקבוצה <math>\{x \in R| -3<x<3\}</math> יכולה להיות תת מרחב של R? או קבוצת כל הממשיים האי שליליים? או שלא בגלל תכונות כפל בסקלר וכאלה?מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש.
:כמו שאמרת- לא, בגלל כפל בסקלר. תכפול ב2 ותקבל מספרים קרוב ל6, שאינם בקבוצה. בנוסף R הוא ממימד 1 מעל עצמו, ולכן לא יכול להיות לא שום תת מרחב פרט למרחב האפס (כי תת מרחב אמיתי הוא ממימד קטן ממש, כפי שלמדנו). --[[משתמשאת הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:32, 2 בדצמבר 2010 (IST)::אז אני מתקשה מאוד למצוא את תתי המרחבים הדרושים בתרגיל 2 כשאר V=R^2ella10004@walla. לפי המגבלות שציינת, התתי מרחבים היחדים שאני מצליח למצוא הם מרחב ה0, מרחב כל הזוגות (x,0com) ומרחב כל הזוגות (0,y), ואם אני לא טועה, הסכום של שלושתם כן ישר...:::הזוגות מהצורה (x,x) לא מהוות תת מרחב?::::תודה רבה!!
== תרגיל 8 ==:אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.::תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..?
למתי אמורים להגיש את תרגיל 8 ? החומר שיש בו הוא לא לבוחן, נכון? == המבחן ==
'''רשום ונכוןהאם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה:לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: [http://math-wiki.com/images/7/7a/LA.pdf דף ראשון מועד א]). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
אה ולגבי עבודת ההגשה, כתוב: "כדי להתרגל להגדרה, שכנע את עצמך בעובדות הבאות". הכוונה לכך שצריך להוכיח אותן, או פשוט לקרוא ולהפנים?:זה לא בתרגיל, לא צריך לעשות את זה..::מה ז"א "זה לא בתרגיל"?== משפט פיתגורס ==
בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב:" ממשפט פיתגורס: <math>||v||^2== שאלה על סכום מרחבים וקטוריים ==|<v,u/||u||>|^2+|<v,v'>|^2</math> " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה!
יש סיכוי ש '''אם u/||u||,v א"נ אז <math>span{U1<v,..,Uk} \in U1\oplus ..\oplus Uku/||u||>=0</math> (הכוונה שלי היא למוכל:אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, לא שייך)שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם. ? תודה!
:אתה מתכוון לspan של האיחוד''' אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? הרי הביטויים האלה ממש שווים. הסכום הישר הוא המרחב הקטן ביותר שמכיל או ש <math>v=v'+u/||u||</math>תרשום את כל תתי המרחבים עליהם סוכמים (כלומר מכיל את האיחוד שלהם), ואנחנו יודעים שגם span הוא המרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה (ובמקרה זה הקבוצה היא האיחוד)המשפט. --[[משתמש:ארז שיינראוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה <math>{u/|ארז שיינר]] 14:46|u||}</math> שהיא א"נ, 3 בדצמבר 2010 (IST)::מעולה! אבלמשלימים אותה לבא"נ של sp{u, זה מעלה לי שאלה קטנה: זה לא אומר שv}, <math>B={u/||u||,v'}</math>. ואז "ממשפט פיתגורס"-סכום ישר של כמה קבוצות שווה ל-ספאן שלהן? כי אם כןהמשוואה שרשמתי, אז למה בכלל היו צריכים להגדיר את הסכום הישר?וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ.
== שאלה מהעבודה מסעיף 3 ("קשרים ביניהם") משפטים/טענות למבחן ==
הכוונה בהגדרה מ"מתמטיקה בדידה" היא שההגדרה דומה לפונקציה המצומצמתהאם צריך לדעת את '''כל''' המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר?
:ועוד '''זו שאלה: מהי הכוונה בתרגיל 5 א. ו-ב. לסכומים של הגרעינים והתמונות? זה סכומים של תתי מרחבים? אם כן, אז רק עכשיו גיליתי שקבוצת הגרעינים והתמונות הם תתי מרחבים!למרצים:{{הערה|(סטודנט אחר):הגרעין והתמונה הינם תתי מרחבים. קל מאד להוכיח את זה בעזרת הלינאריות של ההעתקה. ושוב, לינארית 1... dimV = dimKer +dimIm, מצלצל מוכר}} אתה מתכוון כמו במיקוד?:::תודה!אכן
== כמה {{הערה|(מתוך [[88-113 סמסטר א' תשעא|דף הקורס]]):}} התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה. == כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה. '''בימים הקרובים == מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים) == שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות עם ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה '''אני אפתור מבחן המייצג את החומר שנלמד לאחרונה הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן == לכסון אורתוגונלי ==
שלום,
החומר שנלמד לאחרונהאני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה ועכשיו אני לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב מוצא אותו (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אפשר אולי להעלות אותושוב? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל תודה! [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99 לכסון אורתוגונלי] [http://www.math-wiki.com/images/8/85/09Linear2Triangulation.pdf שילוש אורתוגונלי] == שאלה מתרגול == אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של וקטור (על תת מרחבאופרטורים מיוחדים: T צל"ע, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={v1x1,..,vk} ) הוא xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <mathTv,v>\Pi _B> אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (vגדול שווה ב2 המקרים לא גדול):. ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=<v,w1>w1+T.תודה! '''צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'.+כעת יישם את <vmath><Tv,wkv>wk>=0</math>עבור הבסיס המלכסן האורתונ'.'''ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T == מט' נילפוטנטית == למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית?
תודה!
'''אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה
:תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)
== מה זה "דרגה דטרמיננטית"? ==
יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).
:לא משנה, הבנתי.
== שאלה למתרגלים ==
האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן?
בתודה רבה!
== דימיון בין מטריצות מייצגות ==
למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?
== למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה? ==
לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.
:{{לא מתרגל}} הוכחה אפשרית: תהא <math>A\in\mathbb F^{n\times n}</math> ויהיו <math>\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n</math> הערכים העצמיים שלה. אזי <math>\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A|</math>. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).
::הוכחה מאוד יפה! תודה.
::רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז <math>P_A(0)</math> הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?
:::{{לא מתרגל}} לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה שכל הע"ע שלה ב-<math>\mathbb F</math>. למשל ל-<math>\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}</math> אין ע"ע ב-<math>\mathbb R</math> (ולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל בסגור האלגברי שלו (<math>\mathbb C</math>) הע"ע הם <math>\pm i</math>, ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.
== למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T? ==
ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה:
"נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.
את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (כולל) - לא הבנתי.
בבקשה עזרה!!
:יהי אופרטור T על V, נניח כי T לכסין, כלומר קיים בסיס B של V כך ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> מטריצה אלכסונית. נסמן
{B={v1,....,vn , אזי כיוון ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> אלכסונית:
<math>{\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},...,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&0&0\\
0& \ddots &0\\
0&0&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1},...,{\lambda _n}{e_n}} \right)}</math>
(אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב<math>{\left[ T \right]_B}</math> היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)
== פתרונות של התרגילים ==
אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12?
זה ממש יעזור...
== פתרונות 11 ו 12 !!! ==
מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות
אני לא יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...
== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג' ==
נתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0. צ"ל dim Span{w,v}.
ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1 או 2, תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל. אבל זה מה שלא הצלחתי למצוא, ניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.
תשובה (לא מתרגלת..): הוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1.
מניחים בשלילה שהם בת"ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0.
זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...
:לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את הדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת
<math><u,u><v,v>-<u,v><v,u></math>, ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס.
::{{הערה|לא מתרגל אחר}} אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם '''יכולה''' להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל <math>\left|G_{\{\vec0,(1,0)\}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0</math>
== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג' ==
אני לא מצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!
:{{לא מתרגל}} אם הפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א). אתה יכול לקחת את <i dir="ltr">J<sub>2</sub>(מספר כלשהו)</i>, ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא לכסין. {{משל}}
:אוקי, תודה רבה.
== עזרה בשאלה ממבחן ==
השאלה: יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(A)+g(B) לכל זוג פולינומים f,g. שאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה?
:{{תשובה מתחכמת}} קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<C מגודל שלוש על שלוש.
:אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)=g(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.
:אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל <math>\R</math> אז אני לא יודע... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..
נגדיר V מרחב הפולינומים מעל R
V מרחב וקטורי
נתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי.
נבנה העתקה T:VxV->M2(R)zz כך ש-
T(f,g)=f(A)+g(B)zz
ברור שאם f=pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). כלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על, כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f,g כך ש-f(A)+g(B)=C
(בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)
== עזרה בעוד שאלה ממבחן ==
נתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. צ"ל AB=BA. למישהו יש רעיונות?
:עריכה: אני חושב שהצלחתי, A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (כך שהמט' המלכסנות P-1=P*) אבל יש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, P-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.
== שאלה בקשר למבחן ==
בשאלה 3 סעיף ב אמרו: הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^3...,x^n} הוא בא"נ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ.
אם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, כי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס יהיה בא"נ והוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ.
עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' של A, ולא הספקתי להוכיח ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה.
מישהו מהמרצים או מהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על זה. תודה רבה
~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.
== הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה ==
אם נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A+I. נקבל מטריצה לא הפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..)
בתשובה שראיתי נאמר "לכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A הוא 1-."
אתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל?
אני מבין את ההתחלה- המטריצה A+I לא הפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה.. עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה?
הבנתי- זה דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים.. תודה!! :)
