שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

נוספו 22,030 בתים, 19:47, 4 ביולי 2011
/* הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה */
'''חשוב!!!
''' 3.2.2011
'''שלום לכולם,
'''שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים [[בשני הקרוב,7.2]] בשעה 16:00.
'''נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר.
'''עדי'''
 
 
{{הוראות דף שיחה}}
 
 
=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]
 
=שאלות=
== תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? ==
אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}=-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)
== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה חובת הגשה ==
שלום,כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.החומר שנלמד לאחרונה:אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר כלומר אם מבינים מה המקבילים יהיו בסופו של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור 20 בדצמבר 2010 (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(vIST):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>:ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?תודה!
'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשניכן.''''''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).''''''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''===עוד שאלה===תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה <math>U={u\in U| u...}</math>? אפשר ככה <math>U={(x,y,z)|x+y+z=2}</math> לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!אחוז הבוחן טרם החלטנו
== תרגיל האתגר 9 - שאלה 2.4 א',ב' ==
במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרוןלהוכיח? האם לשלוח אותו למרצהשקיימת הצגה? ואם כן אז איך בדיוקשהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:לידור.א.דורון פרלמן|-לידור.א.-דורון פרלמן]] 2101:4326, 4 20 בדצמבר 2010 (IST):אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T, הכתובת רשומה באתר שלו httpB,A, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 2201:2026, 4 20 בדצמבר 2010 (IST)
== האם צריך להוכיח שוב LCM ועוד שאלה קטנה ==
לגבי שתי הטענות הבאות:-לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס;-כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט-האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו'1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, או שצריך להוכיח אותן (מחדש)איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה!.
'''איפה? 2. אם כתוב f|g זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיחאומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.:גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך1. כן, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורןחלק מההגדרה.2.זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)::תודה!
'''אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?:בשאלה 4.16== חיוביות בשדה המרוכבים ==
איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?:לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט'''אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחהשלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?:::כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)
::אבל השאלה אם צריך להוכיח את תהליך גראם שמידט מחדש בשביל 4.16, אי אפשר להגיד ש"נפעיל את התהיך על הבסיס"?== גרעין של מטריצה ==
== שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) ==שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!
האם אני תמיד יכול להגיד ש '''עדי: <math><ker(A)=\{v,v>\in V:Av=||v||^20\}</math>? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...
:לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית [[משתמש:לידור== שאלה 3.א.|-לידור.א.-]] 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)30א ==
== עוד שאלה קטנהלאחר התייעצות עם מחבר השאלה, על מ"פ ==כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.
אם ידוע ש עדי :את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math><v,u>=0\lambda \le 1</math>, ו? [[משתמש:לידור.א.|-u שונה מוקטור האפסלידור.א.-]] 18:33, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס 25 בדצמבר 2010 (IST):גם ב-ב' זה ככה או לא בהכרח? תודה!::כן, לשנות גם את סעיף ב'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)
:בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס== תרגיל 10 - שאלה 3.::אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה23א' ==
בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון == עבודת ההגשה ==>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיחואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :):: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)
בעבודת ההגשה == תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס ==
:קרא כאן:מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?[http:זו המ"פ הסטנדרטית, ו-<math>V=\mathbb{C}^{n}<//hemath>.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%AA%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA[[משתמש:דורון פרלמן| כפולה משותפת מינימליתדורון פרלמן]] 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST)
:(אופיר ר.)הלינק מפנה לדף ריק == משפט או לא? ==
אפשר התייחסות לשאלה שלי מהמתרגלים בבקשהשאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע?(אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?)(צל"ע=צמוד לעצמו):מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-<math>[T]_{B}</math> אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST)
:(לא מתרגל) הכפולה המשותפת המינימלית של פולינומים הוא הפולינום מהמעלה הנמוכה ביותר אשר כולם מחלקים אותו. [[משתמש:לידורהתרגיל הראשון בשיעורי בית 10.אנתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי.|-לידור.א.-]] 20:29, 7 בדצמבר 2010 (ISTאבל מעל למרוכבים):lcm זה קיצור של "least common multiple" או בעברית "כפולה משותפת מינימאלית". הכפולה המשותפת המינימאלית של קבוצת מספרים הוא מספר אז מזה שהוא 1נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי) כפולה של כל המספרים 2) הוא המינימאלי , ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (כלומר כל כפולה אחרת של כל המספרים היא כפולה שלולא ידעתי שזה אם ורק אם). באופן דומה מגדירים כפולה משותפת מינימאלית עבור פולינומים: זה פולינום שהוא כפולה של כל הפולינומים והוא מינימאלי, או אפשר להשתמש באפיון שלידור רשם למעלה (להגיד שהוא בהכרח מהמעלה הנמוכה ביותר)צל"ע ומ. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:03ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, 7 בדצמבר 2010 (IST)אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!
במילים אחרות זה האנלוג ללרשום Min על קבוצה של מספרים?== 3.27 ==
== מימד של חיתוך/איחוד ==אפשר רמז?
האם ידועים המימדים '''עדי: היזכר בתצוגה של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנמספר מרוכב ע"ל באיחוד)? תודה!י המספר e
==ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי =תשובה===לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע.לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: <math>V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)</math>. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.
מקווה שהצלחתי לעזור, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?
== שאלה על האתגר ==ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?
מה אומר ה-ker של T-kI בחזקת n? זה העתקה בחזקת n (אם כן, הכוונה היא להעתקה T-ki אן פעמים?) או ker בחזקת n (ואז הכוונה היא n-יה סדורה של איברים מהker?) תודה!
:מדובר בגרעין ומה ההגדרה של ההעתקה <math>("אופרטור T - \lambda I)^n</math>, כלומר מרחב הפתרונות של <math>{(T - \lambda I)^n}v = 0</math> [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 16:22, 6 בדצמבר 2010 (IST)ניתן לליכסון אורתוגונלי"?
== העתקה צמודה ==ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?
האם ההעתקה הצמודה היא בחומרובמיוחד, ואם כן אז מהימה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים? תודה!'''לא. זה הנושא הבא
== מכפלה פנימית ==
האם אפשר להגדיר על כל מרחב וקטורי ממימד סופי מכפלה פנימית? ואם כן צריך להוכיח את זה?'''עדי:כל מרחב וקטורי ממימד סופי איזומורפי ל-<math>\mathbb{R}^n</math>, ושם יש לנו למשל את המכפלה הפנימית הסטנדרטיתמטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:58, 7 בדצמבר 2010 (IST)
== שאלה ממבחן '''אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (דחוף לבוחןכלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית) ==
שלום,במבחן 2003 מועד א' (http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a63.pdf), חלק אמריקאי שאלה 4, על מכפלות פנימיות- בתשובות כתבו שהתשובה הנכונה היא 1, שתי ה'מ"פ' הנתונות הן לא מ"פ. אבל לדעתי התשובה הנכונה היא 4, שA היא מ"פ וB לא- כי שתי הפונקציות מקיימות לינארית ברכיב הראשון, הפונקציה B לא מקיימת סימטריה (מעל R ולא C) ולא אי שליליות, אבל A כן מקיימת את הכל, כי היא גם סימטרית, בקלות לפי חילופיות הכפל, והיא אי שלילית, מכיוון ש <math><x,x>=<(x1,x2),(x1,x2)=x1^2+2x1x2+x2^2=(x1+x2)^2>=0</math> (ו0 כשx=0 כמובן). איפה אני טועה? תודה!:: (לא מתרגל) - אל תשכח שמכפלה פנימית צריכה לקיים גם כי <v,v> הינו אפס אם"ם v = 0. האם מכפלה זו מקיימת זאת?:::התכונה שהמ"פ <v,v> צריכה להיות 0 אם"ם V=0 נובעת מהתכונות האחרות, הרמיטיות ואי שליליות נדמה לי, כך שאם הוכחתי את האחרות לא חובה להוכיח את התכונה הזאת. אז הייתי צריך לטעות בהוכחת תכונה אחרת אם זה לא נכון.::::דווקא לא. אי שליליות אומר במפוש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס. אמנם זה שמתקבל שוויון עבור וקטור האפס נובע מלינאריות ברכיב ראשון, אבל הטענה באי שליליות היא חמורה יותר - שהרי נאמר בה ששוויון יתקיים אך ורק עבור וקטור האפס. זה כמובן לא קורה במקרה הזה. חוץ מזה, שאם תסתכל על הטענה שבתרגיל 1.7 (זה שנעזרנו ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו לצורך פתרון שאלה 1.6 בתרגול 7) תוכל להראות גם בעזרתה שזו לא מ"פ. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]:::::תודה הבסיס (אבל הטענה שאמרת לא קשורה (כי בה יש 3x1y2 ולא x1y2)):::::: (הלא מתרגל מקודם) - גל, אני חושב שקצת סיבכת. הדוגמא הכי פשוטה שאני יכול להביא היא הוקטור (5, 5-). הוקטור הזה שונה מאפס, זה ברור, אך לפי ההגדרת המכפלה הפנימית, המכפלה תצא אפס. כמו שציינתי קודם, האם"ם :::::: באי-השליליות הוא דבר חשוב. צריך גם שוקטור האפס מאפס את המכפלה, וגם שרק וקטור האפס מאפס את המכפלה. עפ"י הדוגמא שהראתי לעיל, ברור שזה לא קורה, מה שדוחה את היותה מכפלה פנימית.:::::::זה בדיוק מה שאמרתי, איפה הסיבוך שבפה. אני מצטט את מה שכתבתי "אי שליליות אומר במפורש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> \ >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס", זה לא אותו הדבר כמו שאתה כתבת? ולגבי שילוב המטריצה (מי שאמר שזה לא קשור) - אז במקום 3 מציבים 1, המטריצה משתנה בהתאם ודווקא זו הנקודה בעזרתה אתה יכול להוכיח שזו לא מ"פ.:::::::אגב, דוגמה פשוטה עוד יותר היא <math>(-1,1)</math> ודוגמה חמורה יותר היא <math>(-x,xאו המט' המלכסנת)</math>. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]אוניטרי
== שאלה 4.9 =='''אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים
האם הכוונה בשאלה זו היא שאני צריך למצוא ממש דוגמא למ"פ? לדוגמא: כמו מכפלה סטנדרטית וכו'...מה הכוונה ב- <math>V=Rn[x]</math> ?? האם ה - X-ים הם סקלרים או וקטורים? הרי הגדרנו ממ"פ ואורתונורמליות על וקטוריםתודה!
תשובה??? מישהו??== בילבול קטן ==
צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-<math>[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*</math>. זה לא אמור להיות <math>[T^*]^E_F= החומר לבוחן ==([T]^E_F)^*</math>?:לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)::אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!
מה הוא החומר לבוחן של קבוצת התיכוניסטים? האם הוא כולל וקטורים אורתוגונליים והיטלים?:החומר הוא עד ההתחלה של מכפלה פנימית. לא כולל וקטורים אורתוגונלים, לא כולל נורמות, לא כולל היטלים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:51, 7 בדצמבר 2010 (IST)== בקשר לסקר ההוראה ==
== שאלה בקשר לבוחן ==כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).:גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
האם צריך לדעת משהו בקשר לנוסחת קראמר?== תרגיל 11 ==
== שילוש מטריצה ==אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??:תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11 שאלה 7 == אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:37, 5 בינואר 2011 (IST) == תרגיל 11 שאלה 1 == כמה שאלות:האם A נילפוטנטית?אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A?ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי? תודה רבה מראש:א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש דבר שאני רק ע"ע אחד והוא 0). :ב. לא בטוח לגביו בשילוש מטריצהנתון הסדר של A, שלא הצלחתי למצוא אף מקום שבו אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא נמצא בצורה מסודרתהסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'. שאני לא הבנתי :ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, הוא מה אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך לעשות אחרי השילוש הראשוןלהסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). כלומרממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), ניסינו לשלשוכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.:[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, קיבלנו וקטור6 בינואר 2011 (IST)::תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?::ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!:::קודם כל כן, השלמנו התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו לבסיסהערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, הכפלנו Bזה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)=p= תרגיל 11 -1AP ועכשיו שאלה 5 == אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.:נכון, כי עכשיו צריך לשלש להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הבלוק הימני תחתון הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)::הבהרה: רק את הבסיס של BImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, נכוןAv, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:05, 6 בינואר 2011 (IST) == תרגיל 11 - שאלה 2 ==מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ? :(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים! (לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.:מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST) ::וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל אחרי שניסינו לשלש זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר). == תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות) == האם אפשר ישר לכתוב את הבלוק הימני תחתון צורת הג'ורדן של Bהמטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!:חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, ויצא לנו משולשיתכלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, איפה שמים אותו עכשיו ואיפה שמים לא צריך להראות את המשלשותהחישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, כלומר איך נראית המכפלה6 בינואר 2011 (IST) == תרגול 11 == שלום רב,  בתרגול 11 '''שאלה 4''' נכתב ש-<math>DJ=J_{14}(x)</math>, לאחר מכן נתונים על <math>J-xI</math> ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש '''ב-<math>J</math>'''. אבל <math>J</math> היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)??A??למה הנתונים על <math>J-xI</math> כאשר D משולשית? מהן הסימני שאלה תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]] :אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)::כן, זו הכוונה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)== תרגיל 11 == דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה יעזור לנו לפתור את שיעורי בית.דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן? ומהי המטריצה המשולשיתומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס?
תודה!
:דבר ראשון: אני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (בגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני: לא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (בהנחה שמימד ImA^2 הוא 1). אם קיבלת ש-A^2v=0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
::ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא 1? וגם, מתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker?
::ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?
::ושאלה אחרונה: אם A^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס- מה עושים? אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...
::תודה רבה!
:::(לא מתרגלת) בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה.
::::1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל 2, אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT=KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1). תמיד אפשר להשלים כי <math>ImT \subset KerT</math> . כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את <math>ImT^{n}</math> ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר <math>A^2=0</math> אז אין שלבים באמצע.
::::2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-rank) אז מספיק לעשות מה שרשמת.
::::3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל-ImA^2? את/ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.
::::4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:32, 9 בינואר 2011 (IST)
 
== שאלה 6 ==
 
לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא?
תודה מראש
:תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה
::לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?
:אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי <math>(x-9)^5</math> ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
::תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?
:::כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:00, 8 בינואר 2011 (IST)
 
== שאלה על הוכחה מההרצאה ==
 
למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה
:מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:37, 8 בינואר 2011 (IST)
::תודה רבה!
 
== תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון ==
 
לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר [[מדיה:Linear2-Hashlama-Targil.pdf|כאן]]. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:19, 9 בינואר 2011 (IST)
:תודה! יש לי שאלה על זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...
:שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?
::לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות ==
 
איך יודעים באיזה סדר לשים את הוקטורים שקיבלנו במטריצה P?
 
:לפי מה שאני יודעת, (לא מתרגלת) זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור <math>P^{-1}</math>.
 
::אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת...
 
:::הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת <math>ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap KerT \subset \ldots \subset \ldots \subset KerT</math> משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:52, 10 בינואר 2011 (IST)
 
== שאלה על ג'רדון ==
למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?
:גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:54, 10 בינואר 2011 (IST)
 
== בקשה - שיעור שלא העתקתי ==
 
שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד!
 
אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 עם בוריס והתרגול של עדי.
 
מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש.
 
(את הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי: ella10004@walla.com)
 
:אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.
::תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..?
 
== המבחן ==
 
האם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה
:לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: [http://math-wiki.com/images/7/7a/LA.pdf דף ראשון מועד א]). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 
== משפט פיתגורס ==
 
בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב:
" ממשפט פיתגורס: <math>||v||^2=|<v,u/||u||>|^2+|<v,v'>|^2</math> " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה!
 
'''אם u/||u||,v א"נ אז <math><v,u/||u||>=0</math>
:אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם.
 
''' אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? או ש <math>v=v'+u/||u||</math>
תרשום את כל המשפט.
:אוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה <math>{u/||u||}</math> שהיא א"נ, משלימים אותה לבא"נ של sp{u,v}, <math>B={u/||u||,v'}</math>. ואז "ממשפט פיתגורס"- המשוואה שרשמתי, וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ.
 
== משפטים/טענות למבחן ==
 
האם צריך לדעת את '''כל''' המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר?
 
:'''זו שאלה למרצים
:{{הערה|(סטודנט אחר):}} אתה מתכוון כמו במיקוד?
::אכן
 
== {{הערה|(מתוך [[88-113 סמסטר א' תשעא|דף הקורס]]):}} התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה. ==
 
כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה.
 
'''בימים הקרובים
 
== מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים) ==
 
שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה
 
'''אני אפתור מבחן המייצג את החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן
 
== לכסון אורתוגונלי ==
 
שלום,
אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!
 
 
[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99 לכסון אורתוגונלי]
 
[http://www.math-wiki.com/images/8/85/09Linear2Triangulation.pdf שילוש אורתוגונלי]
 
== שאלה מתרגול ==
 
אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <Tv,v> > אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=T. תודה!
 
'''צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את <math><Tv,v> >=0</math> עבור הבסיס המלכסן האורתונ'.
'''ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T
 
== מט' נילפוטנטית ==
 
למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית?
תודה!
 
'''אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה
:תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)
 
== מה זה "דרגה דטרמיננטית"? ==
 
יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).
:לא משנה, הבנתי.
 
== שאלה למתרגלים ==
 
האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן?
בתודה רבה!
:(לא מתרגל) לאחר השלב הראשון בשילוש נקבל (אותיות קטנות יהיו סקלרים ואותיות גדולות מטריצות) <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&*\\0&B\end{array}} \right) = {P^{ - 1}}AP</math>, עכשיו נבצע את אותו תהליך על B ונקבל Q כך ש <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}b&*\\0&C\end{array}} \right) = {Q^{ - 1}}BQ</math>, נסמן <math>Q' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&Q\end{array}} \right)</math>, אזי מתקיים <math>{(Q')^{ - 1}} דימיון בין מטריצות מייצגות = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{{Q^{ - 1}}}\end{array}} \right)</math>, וכן מתקיים: <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&*&*\\0&b&*\\0&0&C\end{array}} \right) = {(Q')^{ - 1}}{P^{ - 1}}APQ'</math>. זהו השלב השני בשילוש. את השלבים הבאים נבצע באופן דומה ונרכיב את המטריצה המשלשת באופן דומה גם כן, עד שנגיע למטריצה משולשית הדומה למטריצה המקורית. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 00:12, 9 בדצמבר 2010 (IST):תודה רבה רבה על ההשקעה..
== בקשה ==למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?
יש סיכוי להעלות את הפתרון של תרגיל 7 לפני הבוחן== למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה?תודה רבה מראש!==
לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.:{{לא מתרגל}} הוכחה אפשרית: תהא <math>A\in\mathbb F^{n\times n}</math> ויהיו <math>\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n</math> הערכים העצמיים שלה. אזי <math>\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)= לכסינות העתקה (-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A|</math>. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).
למדנו ::הוכחה מאוד יפה! תודה.::רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז <math>P_A(0)</math> הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?:::{{לא מתרגל}} לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מתי מטריצה היא לכסינה, למשל כאשר יש לה "מספיק" ושכל הע"ע בת"לשלה ב-<math>\mathbb F</math>. אך האם יש גם משפט על לכסינות של העתקה? תנאי מספיק בשביל שהעתקה תהיה לכסינה? למשל ל-<math>\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}</math> אין ע"ע ב-<math>\mathbb R</math> (אם זה חשוב, אני צריך את זה בשביל שאלה ממבחן שמבקשת להוכיח שהעתקה כלשהי ניתנת ללכסון; אני יכול אולי להצליח להראות שיש בסיס שבשבילו [T]B אלכסוניתולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל אולי יש דרך יותר קלה?בסגור האלגברי שלו (<math>\mathbb C</math>)הע"ע הם <math>\pm i</math>, ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.
:הקריטריון המפורט לליכסון מטריצה תקף גם לגבי העתקות (באנלוגיה), וניתן להוכיח את הקריטריון להעתקות == למה אם אופרטור T על פי הקריטריון למטריצות, עV לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"י כך שתיקח עבור העתקה T מטריצת ייצוג כלשהי שלה <math>{\left[ ע של T \right]_B}</math>, ותפעיל עליה את הקריטריון עבור מטריצות. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 00:24, 9 בדצמבר 2010 (IST)? ==
ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה: העתקה היא "נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה אם ורק אם יש לה , ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה מייצגת אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1, אם ורק אם יש לה v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה מייצגת לכסינהD של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2, אם ורק אם כל המטריצות המייצגות אותה לכסינות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 12,v'_n} היא אלכסונית:40T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , 9 בדצמבר 2010 ... , T(ISTv'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.
== עזרה בפתרון שאלה (תשס"ג, סמסטר ב', מועד א', חלק א', שאלה 3 סעיף ב') ==
מישהו יכול לעזור בפתרון?:לא הבנתי איזה מבחן את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (מה זה אומר סמסטר ב'?כולל)'''אל תתייחס לסמסטר ב', התכוונתי למבחן תשס"ג (זה היה בסמסטר ב', אבל אין סמסטר א'...)''': אני חושב שאתה יכול להניח שהיא - לא נילפוטנטית, ואז תגיע לכך שהערך העצמי לא רק 0::השאלה היא להוכיח שמט' משולשית עם אפסים על האלכסון היא נילפוטנטית? אפשר פשוט בחישוב ישיר של כפל המטריצה עם עצמה ולהראות שכל פעם יש עוד "אלכסון אפסים" עד שהמט' הופכת למט' האפס. זה אולי ההוכחה הכי לא אלגנטית, אבל היא עובדת..הבנתי.
אבל אז מה עם סעיף ג'? אם נניח בשלילה שA לא נילפוטנטית זה עדיין לא אומר בהכרח ש:<math>A^{k}\cdot v\neq 0</math> בבקשה עזרה!:אז אתה יכול לומר שאם למטריצה יש רק ע"ע אפס, אז היא משולשית עם אפסים על האלכסון, או דומה למשולשית עם אפסים על האלכסון (משהו כזה, אני לא כותב בדיוק הוכחה פורמלית אלא רק כדי שתבין את הרעיון), ולכן ע"פ ב' היא נילפוטנטית!
'''תודה רבה!''':: אני חייב להעיר לעזרת אחרים כאן. את השאלה הזו פתרתייהי אופרטור T על V, ונכוןנניח כי T לכסין, כדי לפתור את ב' בחישוב פשוט כלומר קיים בסיס B של כפל כל פעם כדי לראות שהיא מתאפסת זה לא אלגנטי במיוחדV כך ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> מטריצה אלכסונית. נסמן{B={v1, אך עם זאת...., יש פתרון אלגנטי במיוחדvn , ואני חושב שכדאי שתנסו לחשוב עליו.אזי כיוון ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> אלכסונית:: נתון שמטריצה היא משולשית עם אלכסון אפסים<math>{\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},. נתון זה אומר לנו משהו חשוב על הדטרמיננטה של המטריצה. מכאן יש עוד קצת לחשוב והפיתרון הוא הדבר הכי אלגנטי שיש. ,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}:: אגב{{\lambda _1}}&0&0\\0& \ddots &0\\0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1}, לזה שענה מעליי, זה נראה לי לא נכון בהכרח שמטריצה בעלת ערך עצמי אפס היא בהכרח דומה למשולשית או משולשת בעצמה. אין לי הפרכה ביד, אבל זו טענה חזקה מידי מכדי לומר אותה. עם זאת., יש נתון מאוד מעניין לגבי A{\lambda _n}{e_n}} \right)}</math>(אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר:: שאמור לעזור לכם להבין למה כל עמודה ב<math>{\left[ T \right]_B}</math> היא כן דומה למטריצה משולשית עם אפסים. וגם בכדי לעדן יותר את ההוכחהמהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , תצטרכו להוכיח בכלל שאם מטריצות דומותae_i ולכן Tv_i=av_i , אז אחת נילפוטנטית גוררת שהשניה נילפוטנטיתמשמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T.[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14: שיהיה בהצלחה לכולם!31, 9 בפברואר 2011 (IST)
'''את ב אפשר לפתור על פי קיילי המילטון. מצא את הפולינום האופייני == פתרונות של המטריצה, והצב לתוכו את המטריצה. מה קיבלת? מקקוה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]'''התרגילים ==
== עזרה בשאלה ==אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12?זה ממש יעזור...
מבחן מהתשס"א, מועד ב', חלק א', שאלה 1 ב'- צ"ל הוכחה של אם ורק אם. מישהו הצליח את הכיוון משמאל לימין? והאם ההוכחה שלי לכיוון מימין לשמאל נכונה? הבסיס הנתון הוא בסיס ל T[u] ולכן Tu1,..Tuk בת"ל ולכן T חח"ע ולכן kerT=0 U ולכן הדרוש נכון?= פתרונות 11 ו 12 !!! ==
שלום, נאמר שבבוחן יהיו שלוש שאלות. 1. מתרגילי הבית, 2. הוכחת משפט, 3. תרגיל ממבחן.מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות שאלה 1 שהייתה בבוחן הייתה רק בחלקה (סעיפים ב'+ג') מתרגילי הבית בעוד שסעיף א' אני לא היה.אני ועד יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה שאני יודע עוד תלמידים לא הצלחנו את שאלה 1אאי ודאויות לגבי תרגילים אלה... תהיה התחשבות כלשהי בנושא?
== בקשר לבוחן עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג' ==
שלוםנתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0. צ"ל dim Span{w, נאמר שבבוחן יהיו שלוש שאלותv}. ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1. מתרגילי הביתאו 2, 2תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל. הוכחת משפטאבל זה מה שלא הצלחתי למצוא, 3. תרגיל ממבחן. שאלה 1 שהייתה בבוחן הייתה רק בחלקה (סעיפים ב'+ג') מתרגילי הבית בעוד שסעיף א' לא היהניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.
אני ועד כמה שאני יודע עוד תלמידים תשובה (לא הצלחנו מתרגלת..): הוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1.מניחים בשלילה שהם בת"ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0. זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...:לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את שאלה 1אהדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת<math><u,u><v,v>-<u,v><v,u></math>, ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס. תהיה התחשבות כלשהי בנושא?::{{הערה|לא מתרגל אחר}} אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם '''יכולה''' להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל <math>\left|G_{\{\vec0,(1,0)\}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0</math>
== תרגול השלמה עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג' ==
בתרגול השלמה שהועלה לאתר רשום הרבה פעמים ת"מ.אני לא יודע מה זה תמצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"מ מעולם א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!:{{לא ניתקלתי בזה אשמח מתרגל}} אם מישהו יוכל לומר לי מה זההפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א).אתה יכול לקחת את <i dir="ltr">J<sub>2</sub>(מספר כלשהו)</i>, ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא לכסין. {{משל}}חבל שקורה הרבה פעמים שרושמים לנו דברים ללא הסברים זה נורא תוקע!:אוקי, תודה רבה.
:תת מרחב== עזרה בשאלה ממבחן ==
תודה רבה השאלה:יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(A)+g(B) לכל זוג פולינומים f,g. שאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה?:{{תשובה מתחכמת}} קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<C מגודל שלוש על שלוש.:אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)=g(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.:אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל <math>\R</math> אז אני לא יודע... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]::ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..
נגדיר V מרחב הפולינומים מעל RV מרחב וקטורינתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי.נבנה העתקה T:VxV->M2(R)zz כך ש-T(f,g)=f(A)+g(B)zzברור שאם f= שאלות pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). כלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על עבודת ההגשה לחנוכה =, כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f,g כך ש-f(A)+g(B)=C(בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)
1. האם סעיף 4 הוא באמת לא חובה?2. האם ציון העבודה נכלל בציון התרגיל?== עזרה בעוד שאלה ממבחן ==
נתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. צ"ל AB=BA. למישהו יש רעיונות?:עריכה: אני חושב שהצלחתי, A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (כך שהמט' המלכסנות P-1= תרגיל 8 P*) אבל יש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, P-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.
אפשר עזרה\הכוונה\רמז\שביב של נקודת אור ממישהו לגבי סעיף 4.9 בתרגיל שמונה - מה רוצים שם? אני לא מצליח להבין את מהות השאלה== שאלה בקשר למבחן ==וכמו כן אני לא מבין מה ז"א <math>בשאלה 3 סעיף ב אמרו: הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^23...,x^n}</math> יהווה בסיס אורת' אלה סקלרים לא וקטורים..הוא בא"נ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ.
===תשובה===תשים לב באיזה מרחב וקטורי מדובראם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, הלא הוא מרחב ה'''פולינומים'''. לכן האיברים הללו אינם סקלריםכי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, x הוא משתנה ואלה הם פולינומים. אתה צריך להגדיר מכפלה פנימית בין כל שני פולינומים <math><a_0+...+a_jx^j,b_0+...+b_kx^k></math> לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס לעיל יהיה אבא"נוהוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:43, 10 בדצמבר 2010 (IST)
== בהמשך לשאלה קודמת ==רציתי לשאול אם בתרגיל 4.16 עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' יש של A, ולא הספקתי להוכיח את נכונות תהליך גראם שמידט ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה.מישהו מהמרצים או מותר להניח שהוא מתקיים? --[[משתמש:תמיר מאיר|תמיר ממהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על זה.]] 21:03תודה רבה~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, 10 בדצמבר 2010 (IST)--כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.
== פולינום מינימלי וחברים הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה ==
יש לי שאלה: אם הפולינום האופייני נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A+I. נקבל מטריצה לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז עדיין אפשר להגיד שיש לפהפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..)בתשובה שראיתי נאמר "מ ולפלכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A הוא 1-."א אותם גורמים איאתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל?אני מבין את ההתחלה-פריקיםהמטריצה A+I לא הפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה.. עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה? (כי רציתי לפתור בעזרת הבנתי- זה את תרגיל 1דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים. ב. חלק 2 מהעבודה לחנוכהתודה!! :).
משתמש אלמוני
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מיוחד:השוואה_ניידת/8412...10876