שינויים
/* הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה */
''' 3.2.2011
'''שלום לכולם,
'''שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים בראשון [[בשני הקרוב,67.2 ]] בשעה 16:00.
'''נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר.
'''עדי'''
כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה.
'''בימים הקרובים
== מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים) ==
שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה
'''אני אפתור מבחן המייצג את החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן
== לכסון אורתוגונלי ==
שלום,
אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!
[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99 לכסון אורתוגונלי]
[http://www.math-wiki.com/images/8/85/09Linear2Triangulation.pdf שילוש אורתוגונלי]
== שאלה מתרגול ==
אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <Tv,v> > אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=T. תודה!
'''צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את <math><Tv,v> >=0</math> עבור הבסיס המלכסן האורתונ'.
'''ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T
== מט' נילפוטנטית ==
למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית?
תודה!
'''אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה
:תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)
== מה זה "דרגה דטרמיננטית"? ==
יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).
:לא משנה, הבנתי.
== שאלה למתרגלים ==
האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן?
בתודה רבה!
== דימיון בין מטריצות מייצגות ==
למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?
== למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה? ==
לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.
:{{לא מתרגל}} הוכחה אפשרית: תהא <math>A\in\mathbb F^{n\times n}</math> ויהיו <math>\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n</math> הערכים העצמיים שלה. אזי <math>\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A|</math>. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).
::הוכחה מאוד יפה! תודה.
::רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז <math>P_A(0)</math> הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?
:::{{לא מתרגל}} לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה שכל הע"ע שלה ב-<math>\mathbb F</math>. למשל ל-<math>\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}</math> אין ע"ע ב-<math>\mathbb R</math> (ולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל בסגור האלגברי שלו (<math>\mathbb C</math>) הע"ע הם <math>\pm i</math>, ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.
== למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T? ==
ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה:
"נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.
את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (כולל) - לא הבנתי.
בבקשה עזרה!!
:יהי אופרטור T על V, נניח כי T לכסין, כלומר קיים בסיס B של V כך ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> מטריצה אלכסונית. נסמן
{B={v1,....,vn , אזי כיוון ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> אלכסונית:
<math>{\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},...,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&0&0\\
0& \ddots &0\\
0&0&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1},...,{\lambda _n}{e_n}} \right)}</math>
(אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב<math>{\left[ T \right]_B}</math> היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)
== פתרונות של התרגילים ==
אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12?
זה ממש יעזור...
== פתרונות 11 ו 12 !!! ==
מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות
אני לא יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...
== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג' ==
נתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0. צ"ל dim Span{w,v}.
ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1 או 2, תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל. אבל זה מה שלא הצלחתי למצוא, ניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.
תשובה (לא מתרגלת..): הוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1.
מניחים בשלילה שהם בת"ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0.
זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...
:לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את הדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת
<math><u,u><v,v>-<u,v><v,u></math>, ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס.
::{{הערה|לא מתרגל אחר}} אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם '''יכולה''' להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל <math>\left|G_{\{\vec0,(1,0)\}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0</math>
== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג' ==
אני לא מצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!
:{{לא מתרגל}} אם הפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א). אתה יכול לקחת את <i dir="ltr">J<sub>2</sub>(מספר כלשהו)</i>, ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא לכסין. {{משל}}
:אוקי, תודה רבה.
== עזרה בשאלה ממבחן ==
השאלה: יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(A)+g(B) לכל זוג פולינומים f,g. שאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה?
:{{תשובה מתחכמת}} קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<C מגודל שלוש על שלוש.
:אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)=g(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.
:אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל <math>\R</math> אז אני לא יודע... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..
נגדיר V מרחב הפולינומים מעל R
V מרחב וקטורי
נתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי.
נבנה העתקה T:VxV->M2(R)zz כך ש-
T(f,g)=f(A)+g(B)zz
ברור שאם f=pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). כלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על, כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f,g כך ש-f(A)+g(B)=C
(בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)
== עזרה בעוד שאלה ממבחן ==
נתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. צ"ל AB=BA. למישהו יש רעיונות?
:עריכה: אני חושב שהצלחתי, A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (כך שהמט' המלכסנות P-1=P*) אבל יש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, P-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.
== שאלה בקשר למבחן ==
בשאלה 3 סעיף ב אמרו: הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^3...,x^n} הוא בא"נ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ.
אם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, כי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס יהיה בא"נ והוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ.
עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' של A, ולא הספקתי להוכיח ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה.
מישהו מהמרצים או מהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על זה. תודה רבה
~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.
== הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה ==
אם נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A+I. נקבל מטריצה לא הפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..)
בתשובה שראיתי נאמר "לכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A הוא 1-."
אתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל?
אני מבין את ההתחלה- המטריצה A+I לא הפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה.. עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה?
הבנתי- זה דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים.. תודה!! :)
משתמש אלמוני
