שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4

כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה

שלום, החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא $\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk$? תודה!

אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני. "צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית). לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.

עוד שאלה

תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה $U={u\in U| u...}$? אפשר ככה $U={(x,y,z)|x+y+z=2}$ לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!

תרגיל האתגר

במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? -לידור.א.- 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)

אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן, הכתובת רשומה באתר שלו http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ . דורון פרלמן 22:20, 4 בדצמבר 2010 (IST)

האם צריך להוכיח

לגבי שתי הטענות הבאות: -לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס; -כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט- האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו', או שצריך להוכיח אותן (מחדש)? תודה!

איפה? אם זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיח.

גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורן..

אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?

בשאלה 4.16

אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחה

אבל השאלה אם צריך להוכיח את תהליך גראם שמידט מחדש בשביל 4.16, אי אפשר להגיד ש"נפעיל את התהיך על הבסיס"?

שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש)

האם אני תמיד יכול להגיד ש $<v,v>=||v||^2$? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...

לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית -לידור.א.- 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)

עוד שאלה קטנה, על מ"פ

אם ידוע ש $<v,u>=0$, ו-u שונה מוקטור האפס, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס או לא בהכרח? תודה!

בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס.

אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה

עבודת ההגשה

בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?

קרא כאן:

כפולה משותפת מינימלית

(אופיר ר.)

הלינק מפנה לדף ריק

אפשר התייחסות לשאלה שלי מהמתרגלים בבקשה??

(לא מתרגל) הכפולה המשותפת המינימלית של פולינומים הוא הפולינום מהמעלה הנמוכה ביותר אשר כולם מחלקים אותו. -לידור.א.- 20:29, 7 בדצמבר 2010 (IST)

lcm זה קיצור של "least common multiple" או בעברית "כפולה משותפת מינימאלית". הכפולה המשותפת המינימאלית של קבוצת מספרים הוא מספר שהוא 1) כפולה של כל המספרים 2) הוא המינימאלי (כלומר כל כפולה אחרת של כל המספרים היא כפולה שלו). באופן דומה מגדירים כפולה משותפת מינימאלית עבור פולינומים: זה פולינום שהוא כפולה של כל הפולינומים והוא מינימאלי, או אפשר להשתמש באפיון שלידור רשם למעלה (שהוא בהכרח מהמעלה הנמוכה ביותר). דורון פרלמן 23:03, 7 בדצמבר 2010 (IST)

במילים אחרות זה האנלוג ללרשום Min על קבוצה של מספרים?

לא, פשוט תקרא בויקיפדיה - lcm - כפולה משותפת מינימלית. למשל מתקיים: lcm(6,21)=42.

מימד של חיתוך/איחוד

האם ידועים המימדים של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנ"ל באיחוד)? תודה!

תשובה

לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע. לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: $V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)$. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.

מקווה שהצלחתי לעזור, גל א.

שאלה על האתגר

מה אומר ה-ker של T-kI בחזקת n? זה העתקה בחזקת n (אם כן, הכוונה היא להעתקה T-ki אן פעמים?) או ker בחזקת n (ואז הכוונה היא n-יה סדורה של איברים מהker?) תודה!

מדובר בגרעין של ההעתקה $(T - \lambda I)^n$, כלומר מרחב הפתרונות של ${(T - \lambda I)^n}v = 0$ -לידור.א.- 16:22, 6 בדצמבר 2010 (IST)

העתקה צמודה

האם ההעתקה הצמודה היא בחומר, ואם כן אז מהי? תודה! לא. זה הנושא הבא

מכפלה פנימית

האם אפשר להגדיר על כל מרחב וקטורי ממימד סופי מכפלה פנימית? ואם כן צריך להוכיח את זה?

כל מרחב וקטורי ממימד סופי איזומורפי ל-$\mathbb{R}^n$, ושם יש לנו למשל את המכפלה הפנימית הסטנדרטית. דורון פרלמן 23:58, 7 בדצמבר 2010 (IST)

שאלה ממבחן (דחוף לבוחן)

שלום, במבחן 2003 מועד א' (http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a63.pdf), חלק אמריקאי שאלה 4, על מכפלות פנימיות- בתשובות כתבו שהתשובה הנכונה היא 1, שתי ה'מ"פ' הנתונות הן לא מ"פ. אבל לדעתי התשובה הנכונה היא 4, שA היא מ"פ וB לא- כי שתי הפונקציות מקיימות לינארית ברכיב הראשון, הפונקציה B לא מקיימת סימטריה (מעל R ולא C) ולא אי שליליות, אבל A כן מקיימת את הכל, כי היא גם סימטרית, בקלות לפי חילופיות הכפל, והיא אי שלילית, מכיוון ש $<x,x>=<(x1,x2),(x1,x2)=x1^2+2x1x2+x2^2=(x1+x2)^2>=0$ (ו0 כשx=0 כמובן). איפה אני טועה? תודה!

(לא מתרגל) - אל תשכח שמכפלה פנימית צריכה לקיים גם כי <v,v> הינו אפס אם"ם v = 0. האם מכפלה זו מקיימת זאת?

התכונה שהמ"פ <v,v> צריכה להיות 0 אם"ם V=0 נובעת מהתכונות האחרות, הרמיטיות ואי שליליות נדמה לי, כך שאם הוכחתי את האחרות לא חובה להוכיח את התכונה הזאת. אז הייתי צריך לטעות בהוכחת תכונה אחרת אם זה לא נכון.

דווקא לא. אי שליליות אומר במפוש שלכל $v$ צריך שיתקיים $<v,v> >= 0$, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס. אמנם זה שמתקבל שוויון עבור וקטור האפס נובע מלינאריות ברכיב ראשון, אבל הטענה באי שליליות היא חמורה יותר - שהרי נאמר בה ששוויון יתקיים אך ורק עבור וקטור האפס. זה כמובן לא קורה במקרה הזה. חוץ מזה, שאם תסתכל על הטענה שבתרגיל 1.7 (זה שנעזרנו בו לצורך פתרון שאלה 1.6 בתרגול 7) תוכל להראות גם בעזרתה שזו לא מ"פ. גל א.

תודה (אבל הטענה שאמרת לא קשורה (כי בה יש 3x1y2 ולא x1y2))

(הלא מתרגל מקודם) - גל, אני חושב שקצת סיבכת. הדוגמא הכי פשוטה שאני יכול להביא היא הוקטור (5, 5-). הוקטור הזה שונה מאפס, זה ברור, אך לפי ההגדרת המכפלה הפנימית, המכפלה תצא אפס. כמו שציינתי קודם, האם"ם

באי-השליליות הוא דבר חשוב. צריך גם שוקטור האפס מאפס את המכפלה, וגם שרק וקטור האפס מאפס את המכפלה. עפ"י הדוגמא שהראתי לעיל, ברור שזה לא קורה, מה שדוחה את היותה מכפלה פנימית.

זה בדיוק מה שאמרתי, איפה הסיבוך שבפה. אני מצטט את מה שכתבתי "אי שליליות אומר במפורש שלכל $v$ צריך שיתקיים $<v,v> \ >= 0$, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס", זה לא אותו הדבר כמו שאתה כתבת? ולגבי שילוב המטריצה (מי שאמר שזה לא קשור) - אז במקום 3 מציבים 1, המטריצה משתנה בהתאם ודווקא זו הנקודה בעזרתה אתה יכול להוכיח שזו לא מ"פ.

אגב, דוגמה פשוטה עוד יותר היא $(-1,1)$ ודוגמה חמורה יותר היא $(-x,x)$. גל א.

שאלה 4.9

האם הכוונה בשאלה זו היא שאני צריך למצוא ממש דוגמא למ"פ? לדוגמא: כמו מכפלה סטנדרטית וכו'... מה הכוונה ב- $V=Rn[x]$ ?? האם ה - X-ים הם סקלרים או וקטורים? הרי הגדרנו ממ"פ ואורתונורמליות על וקטורים

עדי:כן, ממש להגדיר מ"פ. $R_n[x]$ הוא מרחב הפולינומים שמקדמיהם מR, מדרגה n ועל המשתנה x.

החומר לבוחן

מה הוא החומר לבוחן של קבוצת התיכוניסטים? האם הוא כולל וקטורים אורתוגונליים והיטלים?

החומר הוא עד ההתחלה של מכפלה פנימית. לא כולל וקטורים אורתוגונלים, לא כולל נורמות, לא כולל היטלים. דורון פרלמן 22:51, 7 בדצמבר 2010 (IST)

שאלה בקשר לבוחן

האם צריך לדעת משהו בקשר לנוסחת קראמר?

עדי:לדעת אותה בלי קשר לבוחן. זה בסיסי

שילוש מטריצה

יש דבר שאני לא בטוח לגביו בשילוש מטריצה, שלא הצלחתי למצוא אף מקום שבו הוא נמצא בצורה מסודרת. שאני לא הבנתי, הוא מה צריך לעשות אחרי השילוש הראשון. כלומר, ניסינו לשלש, קיבלנו וקטור, השלמנו אותו לבסיס, הכפלנו B=p-1AP ועכשיו צריך לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, נכון? אבל אחרי שניסינו לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, ויצא לנו משולשית, איפה שמים אותו עכשיו ואיפה שמים את המשלשות, כלומר איך נראית המכפלה $D=??A??$ כאשר D משולשית? מהן הסימני שאלה? ומהי המטריצה המשולשית? תודה!

(לא מתרגל) לאחר השלב הראשון בשילוש נקבל (אותיות קטנות יהיו סקלרים ואותיות גדולות מטריצות) $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&*\\ 0&B \end{array}} \right) = {P^{ - 1}}AP$, עכשיו נבצע את אותו תהליך על B ונקבל Q כך ש $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} b&*\\ 0&C \end{array}} \right) = {Q^{ - 1}}BQ$, נסמן $Q' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&Q \end{array}} \right)$, אזי מתקיים ${(Q')^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{{Q^{ - 1}}} \end{array}} \right)$, וכן מתקיים: $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&*&*\\ 0&b&*\\ 0&0&C \end{array}} \right) = {(Q')^{ - 1}}{P^{ - 1}}APQ'$. זהו השלב השני בשילוש. את השלבים הבאים נבצע באופן דומה ונרכיב את המטריצה המשלשת באופן דומה גם כן, עד שנגיע למטריצה משולשית הדומה למטריצה המקורית. -לידור.א.- 00:12, 9 בדצמבר 2010 (IST)

תודה רבה רבה על ההשקעה..

בקשה

יש סיכוי להעלות את הפתרון של תרגיל 7 לפני הבוחן? תודה רבה מראש!

עדי:מתנצלת. לא היתה אפשרות בגלל אישורים חריגים לאיחורים. בגלל זה גם התחשבנו בכך בבנייתו

לכסינות העתקה

למדנו על מתי מטריצה היא לכסינה, למשל כאשר יש לה "מספיק" ו"ע בת"ל. אך האם יש גם משפט על לכסינות של העתקה? תנאי מספיק בשביל שהעתקה תהיה לכסינה? (אם זה חשוב, אני צריך את זה בשביל שאלה ממבחן שמבקשת להוכיח שהעתקה כלשהי ניתנת ללכסון; אני יכול אולי להצליח להראות שיש בסיס שבשבילו [T]B אלכסונית, אבל אולי יש דרך יותר קלה?)

הקריטריון המפורט לליכסון מטריצה תקף גם לגבי העתקות (באנלוגיה), וניתן להוכיח את הקריטריון להעתקות על פי הקריטריון למטריצות, ע"י כך שתיקח עבור העתקה T מטריצת ייצוג כלשהי שלה ${\left[ T \right]_B}$, ותפעיל עליה את הקריטריון עבור מטריצות. -לידור.א.- 00:24, 9 בדצמבר 2010 (IST)

העתקה היא לכסינה אם ורק אם יש לה מטריצה מייצגת אלכסונית, אם ורק אם יש לה מטריצה מייצגת לכסינה, אם ורק אם כל המטריצות המייצגות אותה לכסינות. עוזי ו. 12:40, 9 בדצמבר 2010 (IST)

עדי:הוכחנו את זה גם בתירגול וגם בש.ב

עזרה בפתרון שאלה (תשס"ג, סמסטר ב', מועד א', חלק א', שאלה 3 סעיף ב')

מישהו יכול לעזור בפתרון?

לא הבנתי איזה מבחן (מה זה אומר סמסטר ב'?)

אל תתייחס לסמסטר ב', התכוונתי למבחן תשס"ג (זה היה בסמסטר ב', אבל אין סמסטר א'...)

אני חושב שאתה יכול להניח שהיא לא נילפוטנטית, ואז תגיע לכך שהערך העצמי לא רק 0

השאלה היא להוכיח שמט' משולשית עם אפסים על האלכסון היא נילפוטנטית? אפשר פשוט בחישוב ישיר של כפל המטריצה עם עצמה ולהראות שכל פעם יש עוד "אלכסון אפסים" עד שהמט' הופכת למט' האפס. זה אולי ההוכחה הכי לא אלגנטית, אבל היא עובדת...

אבל אז מה עם סעיף ג'? אם נניח בשלילה שA לא נילפוטנטית זה עדיין לא אומר בהכרח ש:$A^{k}\cdot v\neq 0$ !

אז אתה יכול לומר שאם למטריצה יש רק ע"ע אפס, אז היא משולשית עם אפסים על האלכסון, או דומה למשולשית עם אפסים על האלכסון (משהו כזה, אני לא כותב בדיוק הוכחה פורמלית אלא רק כדי שתבין את הרעיון), ולכן ע"פ ב' היא נילפוטנטית!

תודה רבה!

אני חייב להעיר לעזרת אחרים כאן. את השאלה הזו פתרתי, ונכון, כדי לפתור את ב' בחישוב פשוט של כפל כל פעם כדי לראות שהיא מתאפסת זה לא אלגנטי במיוחד, אך עם זאת, יש פתרון אלגנטי במיוחד, ואני חושב שכדאי שתנסו לחשוב עליו.

נתון שמטריצה היא משולשית עם אלכסון אפסים. נתון זה אומר לנו משהו חשוב על הדטרמיננטה של המטריצה. מכאן יש עוד קצת לחשוב והפיתרון הוא הדבר הכי אלגנטי שיש.

אגב, לזה שענה מעליי, זה נראה לי לא נכון בהכרח שמטריצה בעלת ערך עצמי אפס היא בהכרח דומה למשולשית או משולשת בעצמה. אין לי הפרכה ביד, אבל זו טענה חזקה מידי מכדי לומר אותה. עם זאת, יש נתון מאוד מעניין לגבי A

שאמור לעזור לכם להבין למה היא כן דומה למטריצה משולשית עם אפסים. וגם בכדי לעדן יותר את ההוכחה, תצטרכו להוכיח בכלל שאם מטריצות דומות, אז אחת נילפוטנטית גוררת שהשניה נילפוטנטית.

שיהיה בהצלחה לכולם!

את ב אפשר לפתור על פי קיילי המילטון. מצא את הפולינום האופייני של המטריצה, והצב לתוכו את המטריצה. מה קיבלת? מקקוה שעזרתי, גל א.

עזרה בשאלה

מבחן מהתשס"א, מועד ב', חלק א', שאלה 1 ב'- צ"ל הוכחה של אם ורק אם. מישהו הצליח את הכיוון משמאל לימין? והאם ההוכחה שלי לכיוון מימין לשמאל נכונה? הבסיס הנתון הוא בסיס ל T[u] ולכן Tu1,..Tuk בת"ל ולכן T חח"ע ולכן kerT=0 U ולכן הדרוש נכון?

בקשר לבוחן

שלום, נאמר שבבוחן יהיו שלוש שאלות. 1. מתרגילי הבית, 2. הוכחת משפט, 3. תרגיל ממבחן. שאלה 1 שהייתה בבוחן הייתה רק בחלקה (סעיפים ב'+ג') מתרגילי הבית בעוד שסעיף א' לא היה.

אני ועד כמה שאני יודע עוד תלמידים לא הצלחנו את שאלה 1א. תהיה התחשבות כלשהי בנושא?

עדי:אבל זה היה במשפטים

תרגול השלמה

בתרגול השלמה שהועלה לאתר רשום הרבה פעמים ת"מ. אני לא יודע מה זה ת"מ מעולם לא ניתקלתי בזה אשמח אם מישהו יוכל לומר לי מה זה. חבל שקורה הרבה פעמים שרושמים לנו דברים ללא הסברים זה נורא תוקע!

תת מרחב

תודה רבה :)

עדי:קורה הרבה?מתי רושמים לכם דברים ללא הסברים? אני מבינה שקצת מבאס לפעמים להתקע על משהו קטן אבל אין צורך לצאת בהצהרות שכאלו (בטח לא על קיצור שמשתמשים בו עוד מימי לנארית 1...). אתם מקבלים יחסית קבצים מפורטים ומושקעים יתר על הנדרש

שאלות על עבודת ההגשה לחנוכה

1. האם סעיף 4 הוא באמת לא חובה? כך רשום

2. האם ציון העבודה נכלל בציון התרגיל? כן

תרגיל 8

אפשר עזרה\הכוונה\רמז\שביב של נקודת אור ממישהו לגבי סעיף 4.9 בתרגיל שמונה - מה רוצים שם? אני לא מצליח להבין את מהות השאלה וכמו כן אני לא מבין מה ז"א ${1,x,x^2...,x^n}$ יהווה בסיס אורת' אלה סקלרים לא וקטורים...

עדי:סליחה על העיכוב אבל עניתי לך במיקומה המקורי של השאלה. לגבי החלק השני, כמו כל בסיס-זה אומר שניתן לקבל כל איבר במרחב (במקרה זה פולינומים) ע"י צרוף לנארי שלהם.

תשובה

תשים לב באיזה מרחב וקטורי מדובר, הלא הוא מרחב הפולינומים. לכן האיברים הללו אינם סקלרים, x הוא משתנה ואלה הם פולינומים. אתה צריך להגדיר מכפלה פנימית בין כל שני פולינומים $<a_0+...+a_jx^j,b_0+...+b_kx^k>$ כך שהבסיס לעיל יהיה א"נ. --ארז שיינר 13:43, 10 בדצמבר 2010 (IST)

תודה רבה :))