שינויים
/* איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? */
אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..
*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>
לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>
לכן מתקיים:
<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>
כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.
ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.
היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.
כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.
באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.
בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.
