וכן כי מתקיים: <math>\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})=f(\frac{1}{n})-f(1)=f(\frac{1}{n})-f(0)</math>
לפי משפט ערך הביניים (יותר נכון הכללה שלו) קיים <math>c\in [0,\frac{n-1}{n}]</math> כך שמתקיים:
<math>g(c)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})}{n-1}=\frac{f(\frac{1}{n})-f(0)}{n-1}</math>
בבירור ניתן להבחין כי הסימנים של <math>g_{n}(0)</math> ושל <math>g_{n}(c)</math> שונים, ולכן קיימת לפונקציה g שורש וסיימנו.