איך פותרים את תרגיל 4 ??
'''פתרון:'''
נגדיר לכל n את הפוקנציה הבאה ונרצה למצוא להן שורש:
<math>g_{n}(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})</math>
נשים לב שהפונקציה רציפה בתחחום <math>[0,\frac{n-1}{n}]</math>, ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים.
נביט בערכים הבאים (אם אחד מהם שווה ל0, סיימנו):
<math>X=\left \{ g_{n}(\frac{i}{n}):0\leq i\leq n-1 \right \}</math>
נרצה למצוא שני איברים בתחום ההגדרה של הפונקציה <math>g_{n}(x)</math> עם סימנים מנוגדים.
נבחין כי:
<math>g(0)=f(0)-f(\frac{1}{n})</math>
וכן כי מתקיים: <math>\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})=f(\frac{1}{n})-f(1)=f(\frac{1}{n})-f(0)</math>
לפי משפט ערך הביניים (יותר נכון הכללה שלו) קיים <math>c\in [0,\frac{n-1}{n}]</math> כך שמתקיים:
<math>g(c)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})}{n-1}=\frac{f(\frac{1}{n})-f(0)}{n-1}</math>
בבירור ניתן להבחין כי הסימנים של <math>g_{n}(0)</math> ושל <math>g_{n}(c)</math> שונים, ולכן קיימת לפונקציה g שורש וסיימנו.