שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש

שאלה 1

"סכום וכפל בקבוע של רציפות במ"ש - רציף במ"ש"

יש לציין שנובע מזה שגם חיסור של רציפות במ"ש רציף במ"ש (כי זה כמו לכפול פונקציה אחת בקבוע 1- ואז לחבר ביניהן), לא?

אני לא חושב שיש צורך לציין, זה נכון. --ארז שיינר

שאלה לגבי הפתרון של תרגיל 1 בדוגמאות

• $f(x)=x\sin(x)$ בקטע $(0,\infty)$

פתרון. הפונקציה אינה רציפה במ"ש, נבנה שתי סדרות:

$x_n=\frac{1}{n}+2\pi n$

$y_n=2\pi n$

מתקיים

$x_n-y_n=\frac{1}{n}\to0$

אבל

$f(x_n)-f(y_n)=\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\to2\pi$

שכן

$n\sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\to1$

איך הגענו לגבול הזה ($2\pi$) ? למרות השורה "שכן.." זה לא ברור.

$\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\to2\pi=\frac{1}{n}\sin\left(\frac{1}{n}\right)+2\pi n\sin\left(\frac{1}{n}\right)$

המחובר הראשון הוא שואפת לאפס כפול חסומה, וה- $2\pi n$ בתוך הסינוס התבטל כי זו המחזוריות של הסינוס. --ארז שיינר