אני מקווה שזה בסדר שאני שואל את זה פה. לא הבנתי כמה הוכחות שמשתמשות באותו עקרון מההרצאה, ולכן אשמח להבין את העקרון מכיוון שהוא נמצא בהרבה הוכחות. לדוגמה במשפט בולצנו ויישטראס. צ"ל שלסדרה חסומה יש ת"ס מתכנסת. תחילה נחלקת את הקטע [c1,d1] שהסדרה חסומה בו לחצאים כך שבכל חצי יש אינסוף איברים (אני מקצר קצת), ונרצה להשתמש בלמה של קנטור. נקבל שרשרת
<math>[c1,d1] < [c2,d2] ...</math> כך ש <math>d_n-c_n=(d1-c1)/(2^n-1)</math>, עד לפה הבנתי. כעת נבנה סדרה באופן אינדוקטיבי n1<n2<n3.. של טבעיים כך ש <math>a_{n_k} \in [ck,dk]</math>.
בקטע [c1,d1] נבחר an שרירותי, ויהי n1=m. נניח שבנינו n1<..<nk . צריך למצוא את nk+1. אבל בקטע [ck+1,dk+1] יש אינסוף an ים, לכן יש שם am כך ש m>nk. יהי nk+1=m. אז קיבלנו ת"ס }ank} כך ש <math>a_{n_k+1} \in [ck+1,dk+1]</math> לכל K. לפי הלמה של קנטור..
לא הבנתי את הקטע עם ה m וה-am. אפשר קצת הסבר על זה? תודה