שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7

שאלה 1 תרגיל 6

האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?

תשובה

במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --ארז שיינר 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)

טור מתבדר

אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??

תשובה

יש משפט שאומר שאם $\sum a_n$ מתכנס אז גם $\sum 2\cdot a_n$ מתכנס. תסיק לבד --ארז שיינר 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה כללית

בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?

תשובה

לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון $n>\frac{1}{\epsilon^2}$ (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').

עכשיו $\frac{1}{\epsilon^2}$ מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.

עוד שאלה כללית:]

צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?

תשובה

אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --ארז שיינר 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)

הבהרת מושגים

לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.

תשובה

אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על $sup\{a_n,a_{n+1},...\}$. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --ארז שיינר 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 6

האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?

תשובה

לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם $\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n$ אזי גם $a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n$ ולכן אם $\sum a_n = \sum c_n$ אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של $\sum b_n$ מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --ארז שיינר 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)

גדולללללל

בואנה אדווה כל הכבודדדד! חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....

שאלה 1 תרגיל 6

האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?

תשובה

כן, גם קל להוכיח את זה. --ארז שיינר 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה?

-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?

-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף?

תודה!

תשובה

1. נכון ומותר להשתמש.

2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'

--ארז שיינר 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)

עוד שאלה

אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש $|a_{n+1}-a_n|</epsilon$ במקום $|a_m-a_n|</epsilon$ ? אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?

תשובה

לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.

אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --ארז שיינר 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)

זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)

אם הוכחנו ש $|an+1-an|<e$. אזי גם $|an+1-an|<e/p$ לכל P טבעי ואז <+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math> (אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?

עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין

כן, יש משהו לא נכון. לכל $\frac{\epsilon}{p}$ יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום קבוע בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין כל שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת $\frac{\epsilon}{p}$ אז ניקח $a_n,a_{n+p+1}$ עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --ארז שיינר 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)

לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.

אתה מתחיל מאמירה שגוייה: אם הוכחנו ש $|a_{n+1}-a_n|<\epsilon$. אזי גם $|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}$ לכל P טבעי. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה היטב תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --ארז שיינר 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)

בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים לכל e. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-$N_e$, אז ניקח ואת $N=max{N0,N1,N2,...}$ כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים

$|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon$ (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון $|a_{n+1}-a_n|<\epsilon$. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?

יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --ארז שיינר 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)

2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).

תשובה

1. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, לעולם אין מקסימום. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?

2. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.

3. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.

4. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר

5. ראיתם את הסדרה $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}$? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים $a_n,a_{2n}$ ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --ארז שיינר 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)

לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.

אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים לכל הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --ארז שיינר 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)

אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!! דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.

עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????

תהי סדרה $a_n$. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל $\epsilon >0$ קיים $N_\epsilon$ כל שלכל $m,n>N_\epsilon$ מתקיים $|a_m-a_n|<\epsilon$.

אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע שתקרא את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל כל השאלות האחרונות.) --ארז שיינר 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)

תשובה לתשובה

אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!

המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.

ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.

אבל זה צריך להיות נכון לכל p. כמה p-ים קיימים?

אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.

הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --ארז שיינר 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)

אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה

M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.

קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול.

שנית, אתה אומר "לוקח m וn כלשהו" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --ארז שיינר 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)

לטענה הראשונה שהעלית: קח את $a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1$. נראה לי שזו דוגמה נגדית

דוגמא נגדית לאיזו טענה? --ארז שיינר 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)

אני לא מי שהשתתף בדו שיח הזה, וניסיתי למצוא דוגמה נגדית למה שהוא כתב בתחילת השיחה.

תרגיל 5 שאלה 2

ידוע שאברי הסדרה $a_n$ אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש $a_n$?

אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.

נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --ארז שיינר 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)

אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....

ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, כל האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --ארז שיינר 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)

אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)

ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:

1. לסדרה $a_n$ חיובית ששואפת ל-1 וכל $\alpha$ ממשית, הגבול של $a_n^\alpha$ הוא 1.

2. לסדרה $a_n$ חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים $lima_n^\alpha=a^\alpha$.

האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?

אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.

עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --ארז שיינר 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)

פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של $a_n$) ב-L ואת $\alpha$ ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה

אני לא בטוח איך הוכחתם עם אלפא אבל יש תשובה של שתי שורות לשאלה הזו, בכל אופן. --ארז שיינר 23:26, 19 בנובמבר 2010 (IST)

אני יודעת שההוכחה של טענה 2 בהסתמך על טענה 1 היא שתי שורות, אבל 1 היא כמעט עמוד. לפחות עכשיו יש פה איזשהו אתגר

שוב, אני לא בטוח איך מגיעים מאחד לשתיים בקלות. הכוונה בתרגיל היא ממש הוכחה לפי הגדרה. למעשה אין לזה קשר אמיתי לחומר, והתרגיל הזה בא רק כי צריך לדעת אותו לשאלות האחרות. --ארז שיינר 23:36, 19 בנובמבר 2010 (IST)

טוב, מצאתי הוכחה קצרה לפי אריתמטיקה של גבולות ודברים כאלו. ושאלה כללית, מתי צריך להוכיח שקיים גבול? (בפרט, האם בתרגיל הזה צריך?)

כן, כאשר מבקשים להוכיח $\lim a_n = L$, אם לא נתון שa_n מתכנסת אז חייבים להוכיח שהיא מתכנסת וגם שהגבול שלה שווה לL (לפעמים זה בא ביחד כאשר מוכיחים לפי ההגדרה). לכן כאן קשה לי להאמין שאריתמטיקה תעבוד. --ארז שיינר 23:46, 19 בנובמבר 2010 (IST)

טוב, חשבתי חשבתי ולא מצאתי שום הוכחה לפי ההגדרה, במיוחד לא הוכחה של שתי שורות :(

כפל בצמוד.

שאלה על משפט.

יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת: {an} סדרה חיובית. אם קיים גבול $lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L$ אז

א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)

ב. L<1 -> liman=0

ג. L>1 -> liman=infinity

ד. L=1 -> אי ודאות.

אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!

תשובה

המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.

לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר בדף הראשי של הקורס. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --ארז שיינר 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)

סדרת קושי

בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש $|am-an|<f(n)->0$ במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים $|am-an|<\epsilon$. אנא הרחיבו בנושא.

תשובה

אם $f(n)\rightarrow 0$ אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים $N_\epsilon$ כך שלכל $n>N_\epsilon$ מתקיים $f(n)<\epsilon$.

לכן, בפרט, לכל $m,n>N_\epsilon$ מתקיים $|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon$ וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --ארז שיינר 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 5 סעיף f

האם נכון לומר שאם לכל $n\geq 1$ מתקיים ש: $\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}$ להגדיר: $a_{n}=\frac{1}{2}$ ולהגדיר: $b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}$ ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty$ ולהגיד שגם: $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty$ ולכן הטור מתכנס?

תשובה

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty$ הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --ארז שיינר 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)

טורים

האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת? תודה מראש, גל א.

תשובה

כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --ארז שיינר 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)

הבוחן לתיכוניסטים

ייתכן פקטור או בוחן חוזר? כי הבוחן היה ממש קשה ועם חומר שבקושי תרגלנו (עם תרגילים שהופיעו בתרגיל 5, כשאנחנו היינו רק בתרגיל 4). יכול להיות דבר כזה?

תשאלו ישירות את המתרגלים שלכם, הם כנראה לא נמצאים פה. --ארז שיינר 19:50, 20 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 6 תרגיל 6

מישהו יוכל לעזור לי לפתור את סעיף B ,איני מצליח לפתור אותו.

נוסחאת כפל מקוצר. --ארז שיינר 19:41, 20 בנובמבר 2010 (IST)

להוכיח עוד פעם

צ"ל שוב את מה שכתוב בדוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי, תרגיל 2? או שאפשר להשתמש בזה בש"ב? תודה

אפשר לצטט את התרגיל מהאתר ולהגיד שפתרנו אותו בכיתה. --ארז שיינר 19:42, 20 בנובמבר 2010 (IST)

צריך להוכיח?

בשאלה 5, תרגיל 5 - צריך להוכיח (באינדוקציה) ש-$a_n=\sqrt[2^{n-1}]c$? או שאפשר לדלג?

צריך לפחות להראות למה, לא חייבים לדייק עם אינדוקציה. --ארז שיינר 19:43, 20 בנובמבר 2010 (IST)

זה מספיק מפורט: $\begin{array}{l l l l l l}a_n&=\sqrt{a_{n-1}}&=\sqrt{\sqrt{a_{n-2}}}&=\sqrt{\sqrt{\sqrt{a_{n-3}}}}&=\dots&=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\dots a_{n-3}}}}}\\&=\sqrt{a_{n-1}}&=\sqrt[4]{a_{n-2}}&=\sqrt[8]{a_{n-3}}&=\dots&=\sqrt[2^{n-1}]{a_{n-3}}\end{array}$?

כן. --ארז שיינר 20:42, 20 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 6 סעיף d

שבוע טוב! נשמח לקבל עזרה לגבי סעיף d? מה זה עוזר לי ש b-n סדרה חסומה? האם צ"ל שהיא גם מתכנסת או שאין צורך.. האם ניתן להעזר גם בסעיף b או שרק סעיף a אמור לעזור לי.. תודה!!

תשובה

אפשר להעזר באיזה מהסעיפים שאתה צריך להשתמש בו, הרי כולם נכונים.

יש שני כיוונים. בכיוון אחד נתון שהטור |an| מתכנס צריך להוכיח שהטור anbn מתכנס לכל סדרה חסומה bn, גם המתכנסות וגם הלא מתכנסות, כמובן.

בכיוון השני נתון שהטור anbn מתכנס לכל סדרה חסומה bn, לכן ניתן לבחור סדרה ספציפית כזו שתוכיח שהטור |an| מתכנס.

--ארז שיינר 20:17, 20 בנובמבר 2010 (IST)

-תרגיל 5- שאלה 5, סעיף ב'

מה הקשר בין ערכי c להתכנסות הסדרה? הרי הסדר בכל מקרה מונוטונית... השאלה היא רק אם היא חסומה ולא אם היא עולה/יורדת/קבועה, לא?

תשובה

אם זה מתכנס לכל ערכי c אז זו התשובה. אבל בוודאי יש קשר בין ההתכנסות לערכי c, הרי ערך c מגדיר את הסדרה כולה. --ארז שיינר 21:30, 20 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 5- שאלה 8

האם כדי להוכיח שסדרה עולה ממש, מותר לי להוכיח באינדוקציה שלכל n: an גדול מאפס ואז לפי תכונות של מס' 1 חלקי an + an גדול (שווה) לan?

כן, משהו כזה.

הוכחת תרגיל "מהתירגול"

ארז, כתבת ש:

ראיתם את הסדרה $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}$? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים $a_n,a_{2n}$ ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה).

אבל לא הוכחנו את זה בכלל. תוכל להוכיח שהסדרה לא מתכנסת? לא הצלחתי לבטא את $a_{2n}$ בצורה שתתאים...

תשובה

מתוך הנתון אנו יודעים ש $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}$. לכן:

$a_{2n}-a_n =a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-...+a_{n+1}-a_n= \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n-1}+ ... + \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n}+ ... + \frac{1}{2n} = n\cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$

--ארז שיינר 00:21, 21 בנובמבר 2010 (IST)

אה וואי איך לא חשבתי על זה!? תודה.

הפרכת שאלה 3, תרגיל 5

בשאלה שמעלי הפרכתם את שאלה 3 בתרגיל 5. מה שגוי בהוכחה:

לכל אפסילון גדול מאפס קיים $n_0$ כך שלכל $n>n_0$, $|a_{n+1}-a_n|<\varepsilon$. לכן:

$|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...+a_{n+1}-a_n|\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<(m-n)\varepsilon$

ומכאן נובע שלכל אפסילון גדול מאפס קיים $n_0$ כך שלכל $m>n>n_0$, $|a_m-a_n|<(m-n)\varepsilon$ ולכן $|a_m-a_n|<\varepsilon$

? תודה

תשובה

כמו בדיון הארוך למעלה, השלב האחרון אינו נכון כי $m-n$ אינו חסום. איך אפשר להעלים אותו כפי שעשית?

עבור אפסילון מסויים צריך למצוא n0 קבוע שממנו והלאה ההפרש בין כל זוג איברים קטן מאפסילון. בהוכחה שלך, עבור כל זוג איברים אתה מחליף את אפסילון, זו לא ההגדרה של קושי. --ארז שיינר 13:04, 21 בנובמבר 2010 (IST)