הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "{{הוראות דף שיחה}} =שאלות=")
 
(מערך שיעור 1: פסקה חדשה)
שורה 2: שורה 2:
  
 
=שאלות=
 
=שאלות=
 +
 +
== מערך שיעור 1 ==
 +
 +
השקעתי מלא, אז בבקשה תפתחו קישור כמו שהיה באינפי למערכי שיעור ותדביקו את זה שם (כולל קרדיט לנמרוד ^_^ )
 +
 +
 +
<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>
 +
 +
נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על f, ובסוף משרטטים את הגרף.
 +
 +
תכנית (אפשרית):
 +
 +
1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.
 +
 +
2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.
 +
 +
3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \,  or\,  (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.
 +
 +
4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.
 +
 +
5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.
 +
 +
6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:
 +
 +
{|class="wikitable"
 +
|<math>f(x)</math>
 +
|<math>x</math>
 +
|-
 +
|.
 +
|.
 +
|-
 +
|.
 +
|.
 +
|-
 +
|.
 +
|.
 +
|}
 +
 +
7) מסרטטים את הגרף.
 +
 +
 +
<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>
 +
 +
<u>הגדרה:</u> תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.
 +
 +
<u>משפט 1:</u> תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.
 +
 +
<u>הוכחה:</u> נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.
 +
 +
<u>סימון מקובל:</u> אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים:  <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .
 +
 +
{|class="wikitable"
 +
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>
 +
 +
<u>טענה נועזת:</u> <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.
 +
 +
<u>הוכחה:</u> <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)
 +
 +
כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,
 +
 +
משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
 +
|[[קובץ:Graf.png]]
 +
|}
 +
 +
<u>אינטגרל לא מסויים:</u> אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.
 +
 +
<u>טבלה של אינטגרלים בסיסיים:</u>
 +
 +
 +
{|class="wikitable"
 +
|<math>F(x)</math>
 +
|<math>f(x)</math>
 +
|-
 +
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
 +
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
 +
|-
 +
|<math>ln(x+a)</math>
 +
|<math>(x+a)^{-1}</math>
 +
|-
 +
|<math>\sin (x+a)</math>
 +
|<math>\cos (x+a)</math>
 +
|-
 +
|<math>-\cos (x+a)</math>
 +
|<math>\sin (x+a)</math>
 +
|-
 +
|<math>e^{x+a}</math>
 +
|<math>e^{x+a}</math>
 +
|-
 +
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
 +
|<math>a^x</math>
 +
|-
 +
|<math>\arcsin x</math>
 +
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 +
|-
 +
|<math>\arctan x</math>
 +
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
 +
|-
 +
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
 +
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
 +
|-
 +
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
 +
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
 +
|}

גרסה מ־18:41, 4 במרץ 2012

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

מערך שיעור 1

השקעתי מלא, אז בבקשה תפתחו קישור כמו שהיה באינפי למערכי שיעור ותדביקו את זה שם (כולל קרדיט לנמרוד ^_^ )


חקירת פונקציות:

נתונה פונקציה f(x). אוספים מידע על f, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של f(x) ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-f(x) כאשר x \to \pm \infty. (בפרט אם קיים \lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a, y=a אסימפטוטה אופקית) אם קיימים a,b קבועים כך ש-\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0 אז y=ax+b אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור a \in \real: \lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \,  or\,  (-\infty) אז הישר x=a אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את f'(x) ואיתה תחומי עליה/ירידה של f ונ' קריטיות.

5) מחשבים f''(x) ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של f.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

f(x) x
. .
. .
. .

7) מסרטטים את הגרף.


אינטגרלים:

הגדרה: תהי f(x) פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו I. אומרים שהפונקציה F(x) קדומה ל- f(x) ב-I אם F'(x)=f(x) לכל x \in I.

משפט 1: תהי f(x) מוגדרת בקטע I. נניח ש-G(x) וגם H(x) קדומות ל f ב-I כך שלכל x \in I: G(x)-H(x)=C.

הוכחה: נגדיר F(x)=G(x)-H(x), לפי הנתון F'(x)=f(x)-f(x)=0 עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' F(x) קבועה, ולכן קיימת C \in \real עבורה C=F(x)=G(x)-H(x).

סימון מקובל: אם F(x) קדומה ל-f(x) כותבים: \int f(x)=F(x)+C .

A(x)=\int f(t) dt עבור כל x \in [a,b]

טענה נועזת: A(x) גזירה ו-A'(x)=f(x).

הוכחה: A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x) כעת, השטח שמתחת לגרף הוא A(b) (נעיר ש-A(a)=0)

כעת, תהי F(x) פונקציה קדומה ל-f(x) בקטע [a,b]. כיוון שכבר הוכחנו ש-A(x) קדומה ל-f(x),

משפט 1 אומר ש- F(x)=A(x)+C. מכאן ש- =\int^b_a f(x) dxהשטחF(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=.

Graf.png

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - \int f(x)dx והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: F(x)+C.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:


F(x) f(x)
\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1} (x+a)^n \, \, (n \neq -1)
ln(x+a) (x+a)^{-1}
\sin (x+a) \cos (x+a)
-\cos (x+a) \sin (x+a)
e^{x+a} e^{x+a}
\frac{a^x}{\ln a} a^x
\arcsin x \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}
\arctan x \frac {1}{1+x^2}
\arcsin \frac{x}{a} \frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}
\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} \frac {1}{a^2+x^2}