והאם ניצטרך לצטט משפטים במיבחן ?
* יש באתר מבחנים משנים קודמות. (יש קישור מהדף הראשי).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:44, 18 ביוני 2013 (IDT)
== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==
תודה
: (לא מתרגל / מרצה) תשובות:
: 1. הגבול הנ"ל שקול לגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x^n</math> עבור <math>x\in\left [ -1,1 \right ]</math>, זוהי העלאה בחזקה של איזשהו מספר קבוע בין 1- ל־1. חשוב בעצמך מהו הגבול עבור מקרים שונים ל־cos(x).
: 2. לדעתי, עליך להתמקד בפונקציה <math>g(x)</math> ולחשוב מה יהיה התנאי עליה כדי שהטענה תהיה נכונה / לא נכונה.
: 3. 1 - כן, כל מחובר הוא מספר, אך המספר הזה תלוי ב־x. זה לא בדיוק מספר, עבור x מסוים זה טור מספרים, ועל זה מבוססת כל התיאוריה. <BR>
: 2 - שוב, עבור x ספציפי הוא מתכנס למספר (אם מתכנס), אך בראייה כוללת זוהי פונקציה. <BR>
: 3 - התכנסות נקודתית = לכל x הטור מתכנס לאיזשהו מספר, אך לא בהכרח במ"ש. קרי, בהגדרה של התכנסות נקודתית אמרנו שלכל x בקטע ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, אך במ"ש אומר שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> ולכל x בקטע מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, זה ההבדל. <BR>
: 4 - נסה להוכיח התכנסות נקודתית ואז במ"ש, יהיה יותר פשוט.
: מקווה שמובן, --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:20, 17 ביוני 2013 (IDT)
* התשובות של גיא נכונות. אם צריך הסברים נוספים תגיד ואני אנסה לעזור עוד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 18 ביוני 2013 (IDT)
== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==
תודה
== שאלה 3 סעיף 3 תרגיל נוכחי של מדעי המחשב ==
הטור x/(1+x^2)^n מתכנס נקודתית/במ"ש/מתבדר בקטע בין 0 לאינסוף?
נתנו רמז : טור הנדסי.
למה הטור הזה הוא טור הנדסי? איך אני מתקדםפ?
: (לא מתרגל / מרצה) הטור הזה במצבו אינו הנדסי, אך אם תבצע בו שינוי קל הוא יהפוך לכזה, ובכך תקבל את הפונקציה הגבולית ביתר קלות ואת תחום ההתכנסות. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 17 ביוני 2013 (IDT)
* שוב גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:45, 18 ביוני 2013 (IDT)
== הוכחות מההרצאות במבחן ==
אפשר לפרסם רשימת הוכחות שצריך לזכור למבחן?
* אני אברר ואפרסם--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:56, 26 ביוני 2013 (IDT)
*
1. פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית שם.
2. פונקציה מונוטונית בקטע סגור אינטגרבילית שם
3. פונקציה אינט'. אמ"ם לכל אפסילון יש חלוקה כך שהפרש הסכום העליון והסכום התחתון קטן מאפסילון.
4. ע"י עידון הסכום העליון יורד
5. המבחן האינטגרלי להתכנסות טורי מספרים.
6. מבחן דיריכלה להתכנסות אינטגרלים לא אמיתים מסוג ראשון
7. מבחן ה"אם" של וירשטרס.
8. אם סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש בקטע סגור אז האינטגרלים שואפים לאינטגרל של הפונקציה הגבולית.
9 גבול במ"ש של רציפות רציפה.
10. המשפט היסודי על קיום וחישוב רדיוס ההתכנסות.
11. אם רדיוס ההתכנסות גדול מאפס אז הטור טור טיילור של הפונקציה הגבולית. -----
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:43, 27 ביוני 2013 (IDT)
== שתי שאלות לגבי המבחן ==
א. כשד"ר הורוביץ הביא את המשפטים למבחן במשפט 3 הנוסח היה "f חסומה ב<math>\Leftarrow [a,b]</math> f אינטגברלית <math>\Leftrightarrow</math> לכל אפסילון קיימת חלוקה כך ש<math>S\bar(f,p)-S\underline(f,p)<\epsilon</math>". כשהוכחנו את המשפט בהרצאה לא דרשנו שf חסומה. הכוונה הייתה להניח כנתון שf חסומה ואז להוכיח את המשפט?
ב. בנוסף להרצאת החזרה יתקיים גם תרגול חזרה?
* (לא מתרגל) א. כן
* ב. רוני ביתן עושה תרגול חזרה ב 3.7 - אני מניח שהוא לא יתנגד שיגיעו אליו גם מקבוצות אחרות.
בנוסף אפשר כמובן להעלות הנה כל שאלה שיש לכם - אני אדגום את הmath-wiki בתדירות גבוהה בשבוע הבא.
אפשר גם לבוא אלי באוניברסיטה כדי לשאול שאלות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:46, 27 ביוני 2013 (IDT)
באיזה שעה תרגול החזרה יתקיים?
== השתנות חסומה ==
תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?
== השתנות חסומה ==
תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?
* אני אשתדל לגרד כמה שאלות מאיפשהוא - אני לא מבטיח שאני אספיק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 ביוני 2013 (IDT)
== הוכחות למבחן ==
אפשר בבקשה לפרסם את 11 ההוכחות למבחן? תודה...
* יש לי שתי הצעות בשבילך.
1) יש בדף הראשי קישור לסיכומי הרצאות משנה שעברה - אני בטוח שיש שם הוכחות לכל המשפטים שצריך.
2) אתם יכולים להעלות בעצמכם הוכחות למשפטים (ש11 סטודנטים ייקחו כל אחד משפט, יכתבו את ההוכחה שלו ויעלו הנה).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 26 ביוני 2013 (IDT)
== שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן ==
משפט 3 שאנו צריכים לדעת להוכחה למבחן הוא:<br />
f חסומה ב-[a,b] אינטגרבילית ב-[a,b] אמ"מ לכל ε>0:
<br />
<br />
<math>
\overline{S}(f,T) - \underline{S}(f,T) \le \varepsilon
</math>
<br />
האם הכוונה היא לתנאי רימן לאינטגרביליות (תנאי הכרחי ומספיק) או למשפט אחר? תודה
* נראה לי שהכוונה היא להוכיח שתנאי דרבו לאינטגרביליות שקול למה שכתבת אבל אני אברר כדי להיות בטוח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:49, 26 ביוני 2013 (IDT)
<br />
* האם מדובר במשפט מספר 5 כאן: [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:%D7%90%D7%95%D7%A8_%D7%A9%D7%97%D7%A3/133_-_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94/22.2.11] ואם כן, האם מותר להתבסס על משפט מספר 4 על מנת להוכיח את הכיוון הראשון?
* כן זה משפט 5. לא נראה לי שאפשר להסתמך על משפט 4 שם. זה חלק ממה שצריך להראות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:48, 27 ביוני 2013 (IDT)
== תרגיל 5 ==
להרבה חסר הציון בתרגיל 5.
טוב לדעת.
העלתי את קובץ הציונים הסופי - אני חושב שעכשיו זה בסדר. תגידו אם לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:29, 1 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה לגבי המבחן ==
האם המבחן של ד"ר גדעון עמיר הוא אותו המבחן של דר הורוביץ ?
צריך ללמוד את אותן ההוכחות?
זאת התשובה של ד"ר עמיר
I gave the list of 11 propositions in class. Basically its the same list, but I may have explained it differently.
Of course they should know things according to what I said in class.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:29, 30 ביוני 2013 (IDT)
== משפט 10 ברשימת משפטים להוכחה ==
"קיום וחישוב של רדיוס ההתכנסות של טור חזקות" - אני מניח ש"קיום" הכוונה שקיים R כך שלכל <math>|x|<R</math> הטור מתכנס ולכל <math>|x|>R</math> הטור מתבדר, אבל למה הכוונה "חישוב"?
:קושי-הדמר
* וגם צריך להציג את הטענה: לכל r>0 וr<R מתקיים כי הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[x0-r,x0+r]</math>
== איך מחשבים את האינטגרל הזה? ==
אינטגרל של (5x+3)/(2x-1)
מה הרעיון פה? איך עושים את זה?
תודה מראש.
: (לא מרצה/מתרגל) לאחר חילוק פולינומים נקבל: zzz 2.5+5.5/(2x-1) zzz, והאינטגרל: zzz 2.5x+2.75*ln(2x-1) zzz
== חומר למבחן ==
צריך לדעת אינטגרציה נומרית למבחן?
* זה בחומר. אני הייתי מנחש שזה לא יהיה (אבל לא ראיתי את המבחן, אל תבנו על זה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:32, 1 ביולי 2013 (IDT)
* (לא מתרגל) אם הכוונה לד"ר הורוביץ, הוא אמר בהרצאה האחרונה שזה לא יהיה.
המבחן לא זהה לשתי הקבוצות?
* יכולה להיות שאלה שונה עבור מרצים שונים (ואולי אפילו יותר מאחת).
== איך מחשבים את האינטגרל הזה הבא: ==
1 חלקי
x^2+4x+13
?
תודה על העזרה
*[[http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%20x%20%7D%5E%7B%202%20%7D+4x+13%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%20x%20%7D%5E%7B%202%20%7D+4x+4+9%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%28x+2%29%5E%7B%202%20%7D+9%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%209%20%7D%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%28%5Cfrac%20%7B%20x+2%20%7D%7B%203%20%7D%20%29%5E%7B%202%20%7D+1%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5C%5C%20%3D%5C%7B%20%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20x+2%20%7D%7B%203%20%7D%20%3Dt%5Cquad%20%3B%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%203%20%7D%20dx%3Ddt%3B%5Cquad%20dx%3D3dt%5Cquad%20%5C%7D%20%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%209%20%7D%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%20t%20%7D%5E%7B%202%20%7D+1%20%7D%20%7D%203dt%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%209%20%7D%20%5Ccdot%203arctan%28t%29%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%203%20%7D%20arctan%28%5Cfrac%20%7B%20x+2%20%7D%7B%203%20%7D%20%29]]
== שאלה בקשר לחישוב אינטגרל ==
איך מחשבים אינטגרל של
zz 1/(4x^2+4x+1) zz
ובאופן כללי, לאו דווקא בשאלה הספציפית הזאת, מה השיטה לחשב אינטגרלים מהסוג הזה?
* [[http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%204x%20%7D%5E%7B%202%20%7D+4x+1%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%282x+1%29%5E%7B%202%20%7D%20%7D%20dx%20%7D%20%3D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%282x+1%29%20%7D%20+C]]
במקרה הכללי, זה תלוי - אם אפשר לעשות דו איבר זה הכי נוח. אבל לפעמים אי אפשר, ואז צריך להשלים לריבוע (ראה/י תרגיל אחד מעל), או להשתמש בפירוק לשברים חלקיים. על כל אלו אפשר לקרוא במערכי תרגול.
== איך מחשבים את האינטגרל הבא: ==
zz 1/sqrt(x^2+x+1) zz
מעדיף לראות את כל המעברים עם הסבר, ולא רק תשובה סופית...בשביל זה יש וולפראם אלפא..
תודה מראש למי שעוזר..
* משתמשים בהצבת אוילר (זה מוסבר בתרגול 3).
מציבים <math>\sqrt{x^2+x+1}=x+t</math>
מכאן מתקבל <math>x^2+x+1=x^2+2xt+t^2</math>
כלומר <math>x=\frac{t^2-1}{1-2t}</math>
ולכן <math>\mathrm{d}x=\frac{2t(1-2t)+2(t^2-1)}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t=\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t</math>
מציבים את כל זה באינטגרל
<math>
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\mathrm{d}x=
\int \frac{1}{\frac{t^2-1}{1-2t}+t}\cdot\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t=
</math>
<math>
\int \frac{1}{\frac{-t^2+t-1}{1-2t}}\cdot\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t=
\int \frac{2}{1-2t}\mathrm{d}t=
-\ln(1-2t)+C=
-\ln(1-2(\sqrt{x^2+x+1}-x))+C
</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:53, 1 ביולי 2013 (IDT)
== אתם לוקחים את 8 התרגילים הטובים? ==
אפשר היה להגיש רק 8?
* כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:44, 2 ביולי 2013 (IDT)
== שעורי חזרה ==
מתי יתקיימו שעורי החזרה?
* עם ד"ר הורוביץ יש שיעור חזרה ביום שישי בשעה 9 וחצי.
והתרגול עם רוני ביתן?
* לא חושב שיש כזה.
== המבחן ==
כמה זמן יערך המבחן (בלי הארכת זמן)?
נראה לי ששלוש שעות 6 שאלות
== מבחנים משנים קודמות ==
אפשר בבקשה לעלות קישור למבחנים משנים קודמות (אני לא מוצא למשל את המבחן של תשע"ב סמסטר ב' מועד ב')
http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/
== שיעור חזרה ==
מתי (באיזה שעה) ואיפה שיעור החזרה עם ד״ר הורוביץ ?
== משפט 11 ==
האם כחלק מהוכחת המשפט צריך לדעת להוכיח שמותר לגזור טור חזקות איבר איבר ושרדיוס ההתכנסות נשמר?
* נראה לי שכן. כלומר צריך לדעת להוכיח את סעיף 2 ממשפט 3 [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11|כאן]] ואת משפט 4 [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11|כאן]]--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:21, 5 ביולי 2013 (IDT)
* היום בשיעור החזרה עם ד"ר הורוביץ' הוא אמר שההוכחות צריכות להיות בדיוק כמו שהראנו אותן. במשפט 11 מספיק לאמר את זה ואפשר לא להוכיח (אפילו שאלו אותו מפורשות והוא אמר).
* טוב, כמובן שד"ר הורוביץ הוא זה שקובע.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:06, 6 ביולי 2013 (IDT)
== מבחן 2009 מועד ב' ==
בשאלה 1 בפתרון http://www.math-wiki.com/images/e/ea/09Infi2ExTest2Sol.pdf לא הבנתי איך הם יודעים שבכל תת קטע הפונקציה המורכבת מקבלת מינימום ומקסימום
(לא מרצה/מתרגל)היא גזירה ולכן רציפה לפי ווירשטראוס מקבלת מינימום ומקסימום.
היא לא בטוח גזירה כי f רק אינטגרבילית ולא בטוח שהיא גזירה או אפילו רציפה ולכן גם לא בטוח שההרכבה רציפה
* אם תשים לב תראה שמה שטוענים זה של <math>g'</math> יש מקסימום וזה ידוע כי לפי הנתון היא רציפה. לא נטען שם שלהרכבה יש מקסימום.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:46, 7 ביולי 2013 (IDT)
כשהם בנו את הסכום העליון והסכום התחתון של הפונקציה המורכבת הם הסתמכו על כך שבכל תת קטע יש מקסימום ומינימום(ולא sup ו inf ) שמתקבלים בנקודות xiM ו xim לא ?
== פתרון לשאלה 4 ממועד א' ==
אפשר לפרסם פתרון לשאלה 4 מהמועד א' (הוכח/הפרך)?
הפרכה:
בקטע [0,1],נגדיר לכל n טבעי <math> f_n(x) =\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}</math>. הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=0</math> שרציפה.
כמו כן, ההתכנסות היא במידה שווה (לפי מבחן ה lim sup, <math>\sup |f_n(x)-f(x)|=\sup |\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}-0| = \sup|\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}|=\frac{1}{n}</math> ששואף לאפס)
אך לא קיים מספר טבעי n שעבורו <math>f_n(x)</math> תהיה רציפה (כי לכל n, <math>f_n(x)</math>לא רציפה ב 0).
<br />
<br />
--תודה זה בדיוק מה שעשיתי.
== עזרה בחישוב אינטגרל! ==
אני רוצה לחשב את האינטגרל הבא:
sin^3(x)cos^(x)dx
יש לי שתיי שאלות:
1.
אם אני בוחר בהצבה:cosx=t
אז zz -sinx=dt zz
ואז איך אני ממשיך מפה?
cos^2(x)=t^2
אבל למה שווה sin^3(x)dx????
2.
מה לא נכון בפתרון הבא:
אם אני בוחר להציב sinx=t אזי cosxdx=dt ולאחר העלאה בריבוע נקבל cos^2(x)dx=dt
ויוצא שהאינטגרל שצריך לחשב הוא: t^3dt וזה שווה ל-t^4/4 ולאחר חזרה למשתנה x מקבלים:
sin^4(x)/4+C
מה לא נכון בפתרון הזה??
תודה מראש!
1. אל תציב <math>t=cos(x)</math>.
2. אם מציבים <math>t=sin(x)</math> אז <math>cos(x)dx=dt</math>. אם מעלים בריבוע מקבלים <math>cos^2(x)dx^2=dt^2</math>, ולא <math>cos^2(x)dx=dt</math> (למה בכלל אתה צריך להעלות בריבוע?)
sin^3(x)cos^2(x)dx
זה האינטגרל שצריך לחשב. שכחתי את הבריבוע מקודם
אז אם כך, תציב <math>t=cos(x)</math> ותקבל <math>dt=-sin(x)dx</math>. לפי הזהות <math>sin^2(x)=1-cos^2(x)</math> מקבלים שהאינטגרל הוא:
<math>\int sin^3(x)cos^2(x)dx = \int sin^2(x)cos^2(x)sin(x)dx = \int (1-t^2)t^2(-dt) = \int t^4-t^2dt = \frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+C = \frac{cos^5(x)}{5}-\frac{cos^3(x)}{3}+C</math>
== איך מחשבים את האינטגרל של zz cos^4(x)dx zz ==
ובאופן כללי, איך מומלץ לחשב אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות עם חזקות זוגיות/אי זוגיות...? כלל אצבע כלשהו..?
* כדאי להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות:
<math>\int \cos^2x\cos^2x=\int (\frac{1+\cos2x}{2})(\frac{1+\cos2x}{2})=</math>
<math>\int\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=\int\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\frac{1+\cos4x}{2})</math>
ומכאן קל לחשב.
באופן כללי לגבי אינטגרלים טריגונומטריים, אני מעתיק הנה איזה מייל הסבר שכתבתי למישהו:
בכל מה שנוגע לאינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות תמיד אפשר לעשות הצבה אוניברסלית, אבל כדאי שזה יהיה הדבר האחרון שמנסים אחרי שכל השאר נכשל.
זה תמיד עובד תיאורטית, אבל החישובים עלולים להיות כל כך ארוכים שלא תצא מזה.
ולכן השיטות היותר סטנדרטיות הן:
1) להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות כדי להפוך איכשהוא את האינטגרל לאינטגרל שקל לחשב.
2) לגרום לו להיות ביטוי רק עם sinx חוץ מ cosx ליד ה dx ואז אפשר להציב t=sinx
(או להפך, גורמים להכל להיות cosx חוץ מ sinx אחד ואז מציבים t=cosx)
במבחן של המתמטיקאים שאלה 2.ג הייתה ממש שאלה שעובדת לפי העיקרון הזה (עיקרון 2 כאן). אני ממליץ לך לנסות לפתור אותה (יש כבר פתרון באתר).
בכל מקרה יש במערכי תרגול
http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%99%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99_2_-_%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D%2B%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92
הסבר מלא על הצבות טריגונומטריות.
הסבר על הצבה אוניברסלית יש בתרגול 3
ובתרגול 2 - שיטת ההצבה -מספר 3. יש הסבר חשוב על טריק שאפשר לעשות. (זה דוגמא לטריק 2 שכתבתי למעלה)
מקווה שזה ברור.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:22, 10 ביולי 2013 (IDT)
== היה לי אינטגרל כלשהו שהשתמשתי בהצבה והגעתי בסוף לאינטגרל שנראה ממש פשוט אבל משום מה אני לא יודע איך לחשב אותו: ==
אינטגרל של
zz 1/(4-t^2) zz
איך מחשבים את האינטגרל הזה ובאופן כללי איך מחשבים אינטגרלים מהצורה של קבוע חלקי ביטוי עם משתנה כלשהו
* באופן ספציפי את האינטגרל הזה זה קל כי זאת פונקציה רציונאלית
<math>\frac{1}{4-t^2}=\frac{1}{(2-t)(2+t)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2-t}+\frac{1}{2+t})</math>
ומכאן ברור איך לחשב.
באופן כללי אין טכניקה כדי לחשב <math>\int \frac{1}{f(x)}</math>
למשל <math>\int\frac{1}{\ln x}</math> זה אינטגרל שהוא לא פונקציה "אלמנטרית"
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:26, 10 ביולי 2013 (IDT)
== שלום! שאלה באינטגרלים: מה האינטגרל של הפונקציה הזו ==
(x+2/(x^2+x+1
איך עושים את זה???
<math>\frac{x+2}{x^2+x+1} = \frac{1}{2}*\frac{2x+4}{x^2+x+1} = \frac{1}{2}*(\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{x^2+x+1}) = \frac{1}{2}*\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{2}*\frac{1}{(x+0.5)^2+\frac{3}{4}}</math>
מפה כבר קל להמשיך.
== שתיי שאלות בנוגע לחישוב אינטגרלים ==
1.
איך מחשבים את האינטגרל
zz 1/sqrt(a^2-x^2) zz נתון ש-a>0.
2.
איך מחשבים את האינטגרל
zz (1/5)^x zz
אם אפשר בבקשה את כל המעברים כי יש לי את התשובות אבל בלי מעברים מלאים.
תודה מראש לעוזרים!!!
1. <math>\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2(1-\frac{x^2}{a^2})}} = \frac{1}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}</math>.
וכידוע <math>\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = arcsin(x)+C</math>
2. <math>((\frac{1}{5})^x)'=(\frac{1}{5})^x*ln(\frac{1}{5})</math>...
== שאלה: אינטגרל בשיטת ההצבה והחלפת משתנים אלה דברים זהים??? אם לא, אפשר דוגמה להחלפת משתנים..מה זה בדיוק אומר ==
??
אותו דבר
== חישוב אינטגרל ==
איך עושים את האינטגרל הבא:
zz x/(x-1)(x^2+x+1) zz
תודה מראש לעונים
אתה מנסה בכלל לחשוב על איך לחשב את האינטגרלים האלה לפני שאתה שואל אותם פה?
כן, ואני לא יודע. אם הייתי יודע, לא הייתי שואל : /
ניסית לפרק אותו לשברים חלקיים?
זהו שלא..תודה
== הוכח הפרך: אם f בערך מוחלט אינטגרבילית רימן אז גם f אינטגרבילית ==
ביקשו להראות את זה ע"י קריטריון דארבו או בכל דרך אחרת.
מישהו יודע מה זה בדיוק קריטריון דארבו ומה הניסוח הפורמלי שלו?
הפרכה:
f(x)=2D(x)-1 כשD(x) זו פונקציית דיריכלה. בערך מוחלט הפונקציה תמיד מחזירה 1 לכן בקטע סגור באורך a סכום רימן יהיה a לכן אינטגרבילית[לכל חלוקה עם פרמטר שואף ל0 ולכל בחירת נק'..) . לעומת זאת לפ' בלי ערך קיימים שני סכומי רימן שונים לגמרי, בכל קטע קטן שאפשר ניתן לבחור מס' רציונלי, ולכן סכום רימן יהיה 1, וגם ניתן לבחור מס' אי רציונלי ולכן עבור בחירת נק' אי רציונליות סכום רימן יהיה -1
קרטריון דרבו אני חושב טוען שפ' אינטגרבילית(בקטע סגור?) אם ורק אם היא חסומה וההפרש בין סכום דרבו העליון לתחתון שואף ל0
== אינטגרלים לא אמיתיים ==
אני רוצה לחשב את האינטגרל בין 2 לאינסוף של הפונקציה zz 1/(x^2+x-2) zz
יש לי כמה שאלות:
1. הסיבה שזה אינטגרל לא אמיתי היא בגלל שיש לו גבול אינסופי? (הגבול העליון במקרה זה)
2. כאשר אני מחפש נקודות בעייתיות (קרי: נקודות בהן הפונקציה לא חסומה/הקטע אינסופי):
א. אינסוף זו תמיד נקודה בעייתית?
ב. צריך לבדוק נקודות בהן המכנה מתאפס? אם כן למה?
ג. בדוגמה הספציפית הזו, איך אני יודע שפרט לאינסוף, אין עוד נקודות בעייתיות?
תודה מראש!
יש שני סוגים של אינטגרלים לא אמיתיים:
1)הגבול הוא אינסוף או מינסוף אינסוף
2) הפ' לא חסומה בנק' כלשהי בקטע(כשיש אסימפטוטה שמחלקת את הגבול לשניים)
1)כן
2)א. כן ב. צריך לבדוק נק' בהן הפ' לא חסומה, זה לא חייב להיות כשהמכנה לא מתאפס לדוגמא ln x בסביבה ימנית של אפס הולך למינוס אינסוף(אפילו שהיא אינטגרבילית ב0, ניתן למצוא פונ' קדומה ולראות שכשאיקס שואף ל0 הפ' הקדומה היא 0) ג. הנק' היחידות שבהן הפ' יכולה להיות לא חסומה הן כשהמכנה מתאפס, הנק' שבהן הפ' שואפת לאינסוף לא נמצאות בקטע לכן אין בעיה
== אינטגרל מהצורה dx/x^alfa , עם גבול עליון אינסוף וגבול תחתון a, כאשר a>0 מתכנס אם"ם alfa>1 . השאלה שלי היא למה דורשים ש-a>0?? ==
למה המשפט הזה הזה לא יהיה נכון עבור a<=0?
כי האינטגרל <math>\int_{-1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx</math> לא מתכנס.
כי האינטגרל בסביבה אפסילונית של 0 לא מתכנס[ניתן למצוא פ' קדומה ולהראות שכשאיקס שואף ל0 הגבול שואף לאינסוף/מינוס אינסוף(dx/x^alfa בין 0 למספר ממשי סופי(לא אינסוף) מתכנס אם ורק אם אלפא קטן מ1, ובין 0 לאינסוף הוא לא מתכנס עבור אף אלפא)
== מישהו יכול לעזור לי בבדיקת התכנסות/התבדרות של האינטגרל zz x^2/(x^4-x^2+1) zz ==
גבולות האינטגרל הם בין 0 לאינסוף
תודה לעונים
:בין 0 ל-1 הפונקציה רציפה. בין 1 לאינסוף תשווה גבולית עם <math>\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx</math>.
:ואתה יודע שיש לך כפתור של להוסיף דברים מתמטיים לטקסט שלך ולא צריך לכתוב zz, נכון?
1. למה לא להשוות גבולית עם אינטגרל של zz 1/x^2 zz בין 0 לאינסוף?
2. בקשר למה ששאלת בסוף..אני לא יודע איך לכתוב עם סימונים מתמטיים. איזה כפתור זה?
:לגבי 1, האינטגרל מתבדר בין 0 ל-1. (כי הרי <math>\int_0^1 \frac1{x^\alpha} dx</math> מתכנס <math>\alpha<1\Leftrightarrow</math>)
:לגבי 2, זה כפתור בשורה של הכפתורים שמבליטים את הטקסט או עושים אותו נטוי וכאלה. זה הסימן <math>\sqrt n</math>. יהיה לך כתוב < math > formula </ math> ואיפה שכתוב formula אתה מכניס את הדבר המתמטי בשפת Latex. הנה אתר שיעזור לך לכתוב מתמטיקה בשפה הזאת. [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php אתר שעוזר להמיר Latex למתמטיקה וההפך]. אתה תתרגל מאוד מהר לכתוב בשפה הזאת.
:בהצלחה!
למה האינטגרל שרשמת מתבדר בין 0 ל-1??? זה איזשהו משפט? אם כן, מה המשפט בדיוק?
ומה בדיוק הבעיה בזה שהוא מתבדר??
עדיין לא הבנתי. תוכל להסביר קצת ביותר פירוט?
:'''משפט:''' יהי <math>b \in \mathbb{R}</math> אזי <math>\int_0^b \frac1{x^\alpha} dx</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha < 1</math>. במקרה הזה, יש לנו את <math>\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx</math> זאת אומרת <math>\alpha=2</math> והרי זה גדול מ-1 ולכן האינטגרל בתחום מתבדר.
:כמו כן, <math>\int_0^\infty \frac{1}{x^2}dx = \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx +\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx</math> וידוע שאם יש אינטגרל שהוא סכום של אינטגרלים אחרים ואחד מהם מתבדר, כל האינטגרל מתבדר.
:לכן, לא הייתי משווה גבולית עם <math>\frac{1}{x^2}</math> בכל התחום <math>[0,\infty]</math> כיוון שהאינטגרל שלו מתבדר. מצד שני, האינטגרל שלו מתכנס בין 1 לאינסוף ולכן ע"י השוואה גבולית אפשר לראות שהאינטגרל המקורי מתכנס בין 1 לאינסוף. האינטגרל המקורי בין 0 ל-1 זה של פונקציה רציפה בקטע סגור ולכן חסומה ואינטגרבילית ולכן לא אכפת לנו מה קורה שם וצריך לבדוק רק בין 1 לאינסוף, אבל עפ"י מבחן ההשוואה הגבולי, אפשר לראות שהאינטגרל מתכנס. --[[משתמש:Ofekgillon10|Ofekgillon10]] 13:28, 13 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה מאד בסיסית ==
על סמך מה אני מסביר שהאינטגרל בין 1 ל-2 של הפונקציה 1 חלקי x-1, מתבדר?
על פי ההגדרה של אינטגרל לא אמיתי...
:או שאתה יכול פשוט להגיד שזה סך הכל הזזה של <math>\int_0^1 \frac1x dx</math> ולכן מתבדר
== אינטגרלים מוכללים ==
אני רוצה לבדוק לאילו ערכי אלפא ובטא מתכנס האינטגרל <math>\int_{0}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx</math>
נתון: <math>\beta > 0</math>
<math> \infty </math> זו כרגיל "נקודה" בעייתית.
הסיבה שגם 0 היא נקודה בעייתית נובעת מכך ש:
עבור <math>\alpha <0</math> מתקיים: <math>\lim_{x->0}x^\alpha = \infty </math>
ולכן הפונקציה לא חסומה כאשר <math>x\rightarrow 0</math> ?
זו הסיבה ש-0 נקודה בעייתית?
שאלה נוספת: כל זה נכון בתנאי ש- <math> \alpha <0</math> , אבל הרי אנחנו לא יודעים אם הוא גדול מאפס או לא.
אז מה בסוף ההסבר לכך ש-0 נקודה בעייתית?
אוקיי. כעת, נניח שבאמת יש 2 נקודות בעייתיות. אני ממשיך את הפתרון באופן הבא: נפריד לסכום של שניי אינטגרלים כאשר בכל אינטגרל יש נקודה בעייתית אחת:
נקבל:
<math>\int_{0}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx=\int_{0}^{1}x^\alpha/ (2+x^\beta )dx+\int_{1}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx </math>
אני רוצה עכשיו לבדוק התכנסות של האינטגרל:
<math>\int_{1}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx</math>
ה"נקודה" הבעייתית היא אינסוף.
עכשיו יש לי 2 שאלות:
1. למה הפונקציה להשוואה היא מהצורה <math>1/x^\alpha </math> ?
2. למה בדיוק שווה <math>\alpha </math> ? ואיך מגיעים לתשובה? מה האינטואיציה בבחירה של אלפא?
תודה מראש!!!
:אנסה לתת לך דוגמה להתחלה ואתה תנסה להבין את ההמשך.
: נסתכל שנייה רק על <math>\int_1^\infty \frac{x^\alpha}{2+x^\beta} dx</math> פה "הנקודה" הבעייתית היא רק באינסוף (אתה תבדוק אח"כ מה קורה בסביבת 0 בנפרד). המטרה שלנו היא להגיע להשוות גבולית ככה שיצא לנו שהאינטגרל המקורי "חבר" של אינטגרל מהצורה <math>\frac1{x^\gamma}</math> (בכוונה השתמשתי בגמא כדי שלא תתבלבל עם האלפא והבטא שכבר קיימים). לדוגמה, פה נבדוק מה קורה עם <math>\gamma=\beta-\alpha</math>. נסתכל על <math>\lim_{x\to\infty} \frac{(\frac{x^\alpha}{2+x^\beta})}{(\frac1{x^{\beta-\alpha}})}</math>. אם <math>\beta>0</math> אז הגבול הוא 1. 1 זה מספר סופי ששונה מ-0 ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי האינטגרלים האלה חברים. זאת אומרת, <math>\int_1^\infty \frac{x^\alpha}{2+x^\beta}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\int_1^\infty \frac1{x^{\beta-\alpha}}dx</math> מתכנס. עפ"י משפט, זה קורה כאשר <math>\beta-\alpha>1</math>. תזכור שכל זה היה בהנחה ש- <math>\beta>0</math>. עכשיו תבדוק את שאר המצבים, ואז גם מה קורה בסביבת 0.--[[משתמש:Ofekgillon10|Ofekgillon10]] 15:15, 13 ביולי 2013 (IDT)
אוקיי..אז ככה, בעקרון ענית על השאלה באופן כללי ותודה על כך...אבל שים לב שלא ענית בכלל על השאלות ששאלתי. אחזור עליהן שוב:
1. למה הפונקציה להשוואה היא מהצורה <math>1/x^\alpha </math> ? למה דווקא זו הפונקציה שבוחרים להשוות אליה? למה זו ולא שום פונקציה אחרת?
2. למה בדיוק שווה <math>\alpha </math> ? ואיך מגיעים לתשובה? מה האינטואיציה בבחירה של אלפא? הבנתי שבחרת את אלפא להיות beta-alfa , אבל למה? איך הגעת לזה? מה האינטואיציה? מה גרם לך לבחור כך את אלפא?
:לגבי שאלה 1, התשובה היא שפשוט אנחנו יודעים איך האינטגרל של הפונקציה הזאת מתנהגת באינסוף ובסביבת 0 ולכן נרצה להשוות עם משהו מהצורה הזאת.
:לגבי שאלה 2, אני לא יודע מה אלפא. כל הקטע זה לגלות לאילו ערכי אלפא זה מתכנס / מתבדר. אז אני מנסה למצוא פונקציה עם אינטגרל "חבר" ואז באינסוף האינטגרל מתכנס אם ורק אם <math>\gamma>1</math> ובסביבת 0 מתכנס אם ורק אם <math>\gamma<1</math>. ככה יוצא לך תחומים שלמים שאלפא ובטא יכולים להיות בהם כל עוד מקיימים מספר של תנאים
== אינט' מוכלל ==
אני רוצה לבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הבא:
<math>\int_{0}^{1}x^\alpha /((cos(x)-1)\sqrt{1-x^4})</math>
יש כאן 2 נקודות בעיתיות. 1,0.
שאלה ראשונה:
במבחן ההשוואה אפשר להשתמש רק עבור פונקציות חיוביות. כאן יש במכנה (cosx-1). לכן הפונקציה שלילית.
השאלה שלי היא '''למה מותר''' לכפול את המכנה ב-1- ולקבל את הפונקציה:
<math>f(x)= x^\alpha /((1-cos(x))/\sqrt{1-x^4}) </math>
'''ואז לעבוד עם הפונקציה הזו? למה זה מותר? הרי אם אני כופל את המכנה ב-1-, שיניתי את הפונקציה'''.
במידה וזה מותר, מה שאני עושה עכשיו, זה מפצל את האינטגרל, לסכום של שניי אינטגרלים כאשר בכל אחד מהם נקודה בעייתית אחת, באופן הבא:
<math>\int_{0}^{1}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4})=\int_{0}^{0.5}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4})+\int_{0.5}^{1}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4}) </math>
כעת צריך לבדוק התכנסות/התבדרות של כל אינטגרל בנפרד: נתחיל באינטגרל שבין 0.5 ל-1.
הנקודה הבעייתית היא 1.
שאלה שנייה:
'''מה הסיבה שמשווים לאינטגרל מהצורה : <math>\int_{a}^{b}dx/(b-x)^\alpha </math> ?'''
שאלה שלישית:
'''מה יהיה במקום a,b,alfa? איך אני יודע מה יופיע במקומם? אני די בטוח שיש כאן איזשהי עבודה בטיוטה (שאינה מופיעה בהוכחה הפורמלית) שמסתמכת על אינטואיציה כלשהי. מישהו מוכן לגלות לי מה האינטואיציה? ואם אפשר לקבל הסבר מפורט על השלב הזה? כי זה שלב שאני לא ממש מבין לאן אני צריך לחתור ומה אני אמור לעשות?'''
שאלה רביעית:
אין אינטגרל אחר שאפשר להשוות אליו? למה דווקא לאינטגרל הזה?
שאלה חמישית:
'''לגבי האינטגרל בין 0 ל-0.5''':
0 היא הנקודה הבעייתית.
'''לאן אני ממשיך מפה???? מה אני צריך לעשות???''' גם כאן, אם אפשר הסבר מפורט, זה יעזור המון.
תודה מראש.
:תשובה ל-1: <math>\int_a^b f(x)dx = -\int_a^b -f(x) dx</math> ולכן אם אחד מתכנס בטוח גם השני. כפל במינוס לא משנה את התכנסות האינטגרל.
:תשובה ל-2: זה פונקציה שהאינטגרל שלה ידוע בדיוק מתי מתכנס ומתי מתבדר לפי המעריך של החזקה. בסביבת אינסוף האינטגרל יתכנס אם ורק אם המעריך גדול מ-1. אם אנחנו מדברים על סביבת אסימפטוטה אנכית, זה יתכנס אם ורק אם המעריך קטן מ-1.
:תשובה ל-3: האלפא יהיה אלפא ככה שתוכל להגיע לגבול יפה שאתה יודע לחשב. נגיד בשאלה הקודמת בחרתי <math>\beta-\alpha</math> כי ידעתי שהחילוק בפונקציה יעשה לנו <math>\frac{x^\beta}{2+x^\beta}</math> שהגבול באינסוף הוא ידוע וזה 1. ה- a,b יהיו גבולות האינטגרל הרגיל שאתה מנסה לחשב.
:תשובה ל-4: תאורטית, כל פונקציה תעבוד. הבעיה היא שזה אחד הדברים היחידים (לא עולים לי עוד כרגע אבל אולי יש עוד כמה מעטים) שאתה יודע בדיוק את ההתנהגות של זה.
== מה לא בסדר בהוכחה הזו? ==
אני רוצה לדעת האם
<math>\int_{1}^{\infty }e^{-ln^2x}dx </math>
מתכנס.
'''שאלה 1:''' האם אני צריך להסביר מדוע 1 אינה נקודה בעייתית? אם כן, למה צריך בכלל להסביר את זה? אם לא, למה לא?
ניסיתי להוכיח כך:
<math>e^(-ln^2x)=1/e^(ln^2x)<1/e^(lnx)=1/x</math>
היות והפונקציות חיוביות והיות ו
<math>\int_{1}^{\infty }dx/x</math> מתבדר
הרי שלפי מבחן ההשוואה, גם <math>\int_{1}^{\infty }e^(-ln^2x)</math>
מתבדר.
'''שאלה 2:'''
מה לא נכון כאן???
:תשובה ל-1: לא בעיה לבדוק ש- 1 לא נקודה בעייתית. הפונקציה פשוט לא רציפה שם.
:תשובה ל-2: מבחן ההשוואה פועל בדרך הזאת: אינטגרל של פונקציה ה'''גדולה''' מפונקציה שהאינטגרל שלה '''מתבדר''', מתבדר.
:אינטגרל של פונקציה ה'''קטנה''' מפונקציה שהאינטגרל שלה '''מתכנס''', מתכנס. אתה פה אמרת שאינטגרל של פונקציה שקטנה מפונקציה שהאינטגרל שלה מתבדר, מתבדר. משפט שהוא ממש לא נכון.
::הערה: כדי לשפר את הכתיב שלך ולדאוג שלא יקרה לך כל מיני מצבים שבהם המעריך גולש למטה וכאלה, עיין בזה: [[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]
== מתכנס או מתבדר? ==
<math>\int_{1}^{\infty }cos^2(x)dx/x</math>
cos^2(x)<=1 וחיובי.
לכן מתקיים: <math>cos^2(x)/x < 1/x </math> *
כמו כן, <math> \int_{1}^{\infty}dx/x </math> מתכנס <==> alpha>1.
לכן האינטגרל של הביטוי מצד ימין של אי שיוויון * מתבדר.
ו...? לא טוב..אי אפשר להסיק מזה כלום על האינטגרל בשאלה...
בקיצור, מה עושים?
:צודק. אכן לא אומר לנו כלום. אני מציע את הדבר הבא: <math>cos(2x)=2cos^2(x)-1</math> ולכן<math>cos^2(x)=\frac{cos(2x)+1}2</math> ולכן <math>\int_1^\infty \frac{cos^2(x)}{x}dx=\int_1^\infty \frac{cos(2x)+1}{2x}=\int_1^\infty \frac{cos(2x)}{2x}dx+\int_1^\infty \frac1{2x} dx</math>
:האינטגרל הכי ימני מתבדר ולכן כל סכום האינטגרל מתבדר.
== בדיקת התכנסות של האינטגרל הבא: ==
<math> \int_{0}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}</math>
יש 2 נקודות בעייתיות: אפס ואינסוף. אפס בעייתית כי:
<math>\lim_{x->0}((x+1)sinx)/x\sqrt{x}=\lim_{x->0}(x+1)/\sqrt{x}=1/0=\infty </math> , המעבר הראשון נובע מכך ש-
<math>\lim_{x->0}sinx/x=1</math>
בגלל שיש 2 נקודות בעייתיות, נפצל לשניי חלקים:
<math>\int_{0}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}=\int_{0}^{1}(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}+\int_{1}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}</math>
נטפל באינטגרל השמאלי:
נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב- <math> f(x)</math>.
בסביבת 0, (f(x מתנהגת כמו <math>g(x)=1/x^{0.5}</math> .
'''שאלה 1:''' האם האינטואיציה שלי בבחירת (g(x נכונה?
הגעתי לכך ש-<math>g(x)=1/x^{0.5}</math> באופן הבא:
הסתכלתי על f, ובסביבת אפס sinx/x-->1
כמו כן, בסביבת אפס x+1)-->1)
לכן f מתנהגת בסביבת אפס כמו <math>1/\sqrt{x}</math>.
לכן <math>g(x)=1/x^{0.5}</math>.
כעת אני משתמש במבחן ההשוואה גבולי: (חישבתי גבול בסביבת הנקודה הבעייתית - 0.
<math> \lim_{x->0}f(x)/g(x)=\lim_{x->0}((x+1)sinx)/x =1 </math>
קיבלנו גבול סופי ושונה מאפס.
<math>\int_{0}^{1}g(x)dx</math> מתכנס (1/2<1) ולכן גם <math>\int_{0}^{1}f(x)dx</math> מתכנס לפי מבחן ההשוואה.
'''שאלה 2''': האמת ש-sinx לא פונקציה חיובית בכלל...אני יכול בכלל להשתמש כאן במבחן ההשוואה? מה שעשיתי נכון?
'''עכשיו אמשיך לאינטגרל השני (בין 1 לאינסוף):'''
שוב, נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב-f(x) (למעשה זו אותה פונקציה כמו קודם).
נרשום אותה כך: <math>f(x)=g(x)h(x)</math>
כאשר: <math>g(x)=(x+1)/x\sqrt{x} </math> ו- <math>h(x)=sinx </math>
הפונקציה הקדומה של h(x) חסומה.
הסבר:
<math>\int_{1}^{t} h(x)= \int_{1}^{t}sinx=-cos(t)-cos1\leq 2</math>
לגבי <math> g(x)=(x+1)/x\sqrt{x}</math> . היא שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף, '''שאלה 3: והיא יורדת (לגבי יורדת אני לא בטוח. איך אני מראה את זה?)'''
אם מה שאמרתי נכון, אז לפי מבחן דיריכלה, האינטגרל השני מתכנס.
לכן האינטגרל כולו מתכנס, כסכום של שניי אינטגרלים מתכנסים.
'''שאלה 4''': האם ההוכחה הזו טובה?
'''שאלה 5''': בשאלה שאלו האם האינטגרל מתבדר/מתכנס בהחלט/מתכנס בתנאי. אחרי שהראיתי שהאינטגרל מתכנס (במידה ומה שעשיתי נכון בכלל..) איך אני בודק האם הוא מתכנס בהחלט או מתכנס בתנאי?
'''מישהו??????????????????????????????????? זו שאלה ממבחן...מישהו יודע לענות על השאלות ששאלתי?????????'''
*
1)כן.
2)כן כי בסביבה ימנית של 0 היא חיובית.
3)אתה יכול להראות שהנגזרת שלילית. למרות שזה די ברור שהיא יורדת אז מן הסתם מספיק להגיד בלי להוכיח.
4)כן.
5)בעצם נשאר לך לבדוק אם האינטגרל עם ערך מוחלט מתכנס. וזאת באמת שאלה אחרת לגמרי.
היה לכם דבר כזה בשיעורי בית. אתה יכול להשתמש בזה ש <math>\sin ^2(x) \leq |\sin x|</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:30, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה מתוך מבחן מועד א' 2012 ==
<math>\int_{0}^{\infty }dx/e^x-1=\int_{0}^{1}dx/e^x-1+\int_{1}^{\infty }dx/e^x-1</math>
הפרדתי לשניי אינטגרלים כי יש 2 נקודות בעייתיות.
על מנת לבדוק התכנסות של האינטגרל בין 0 ל-1 אני רוצה להשוות אותו לאינטגרל מהצורה: <math>\int_{0}^{a}dx/x^\alpha </math>
במקרה שלנו, a=1, לכן אנחנו משווים לאינטגרל מהצורה: <math>\int_{0}^{1}dx/x^\alpha </math>
אבל אני לא יודע מה המעריך...אני רוצה לבחור את <math>\alpha </math> באופן כזה, שהפונקציה <math> 1/x^\alpha </math>, תתנהג כמו
הפונקציה <math> 1/(e^{x}-1)</math>, וכך אני אוכל להשתמש במבחן ההשוואה. אבל איך עושים את הבחירה הזו? איך אני בוחר את אלפא בצורה כזו ששתיי הפונקציות הללו יתנהגו בצורה דומה???
*אתה לא חייב ששתי הפונקציות תתנהגנה בצורה דומה. מספיק לך למצוא פונקציה מתכנסת שהיא יותר גדולה מהפונקציה שיש כאן.
בגלל ש <math>e^x</math> עולה מאוד מהר. מן הסתם השוואה עם <math>\frac{1}{x^2}</math> תעבוד לך באינסוף. בסביבת <math>0</math> אין לי אינטואיציה טובה לתת לך. אתה יכול לנסות ולראות מה עובד (אני חושב ש <math>\frac{1}{x}</math> עובד)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:46, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה כללית ==
נניח שיש לי אינטגרל של פונקציה כלשהי (f(x
וגבולות האינטגרל הם a ו- b, אבל הפונקציה חסומה בסביבה של הגבולות הללו.
האם אני יכול להסיק מכך שמדובר באינטגרל מתכנס?
ושאלה נוספת:
נניח יש לי אינטגרל של פונקציה g(x) בין a ל-b כלשהם.
אני בודק האם לפונקציה יש גבול בסביבת הנקודה a ובסביבת הנקודה b.
נניח בדקתי, ויצא שיש גבול סופי.
למה זה אומר שהפונקציה g חסומה בסביבת הנקודות a ו-b?
כיצד מתקיימת כאן ההגדרה של חסימות? אני בעצם טוען ש'''קיום גבול''' בסביבת נקודה מסויימת גורר '''חסימות''' של הפונקציה בסביבת הנקודה הזו.
למה הגרירה הזו נכונה?
:לגבי השאלה הראשונה, ממש לא. ניקח פונקציה f שמוגדרת בקטע [1,1-] כך שבין 0 ל-1 (לא כולל 0) היא <math>\frac1x</math> ובין 1- ל-0 (כולל 0) היא זהותית 0.
'''אוקיי..אשנה קצת את השאלה...אותה שאלה בדיוק+הדרישה ש-f תיהיה רציפה'''
:לגבי השאלה האחרונה, זה אינפי 1. קיים גבול L ולכן לכל מרחק שתתן לי, בפרט 1 (סתם בחרתי מספר), קיימת סביבה של a כך שכל x בה יקיים ש- <math>f(x)</math> יהיה רחוק מ-L עד כדי 1. ולכן מתקיים שקיימת סביבה שלכל x בה <math>|f(x)-L|<1 \Rightarrow L-1<f(x)<L+1</math>. והנה מצאת סביבה שבה הפונקציה חסומה.
== שאלה ממבחן. ==
הוכח הפרך:
א. <math> \int_{0}^{\infty }f(x)dx</math> מתבדר ==> <math> \int_{0}^{\infty }f(x^{2})dx</math> מתבדר.
ב. <math>\int_{0}^{\infty }f(x)</math> מתבדר ==> <math>\int_{0}^{\infty }f^{2}(x)</math> מתבדר.
אם אפשר גם הסברים...באיזה כיוון בכלל צריך לחשוב כאן...אינטואיטיבית..מה הולך פה..אמורים לעשות את זה עם מבחני השוואה בכלל? הכל פה כללי...אין פונקציות ספציפיות..
תודה לעוזרים.
'''מישהו יודע איך עושים את השאלה הזו????????????????????????????????????????????????????????????'''
* מספיק להסתכל על התנהגות של <math>\frac{1}{x^\alpha}</math> כדי למצוא תשובה.
אנחנו יודעים ש <math>\frac{1}{x}</math> מתבדר כשהאינטגרל הוא מ <math>1</math> עד אינסוף ו <math>\frac{1}{x^2}</math> מתכנס בתחום הזה.
אמנם <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> הוא לא הפרכה טובה לשאלה כי <math>\frac{1}{x^2}</math> גם הוא מתבדר בתחום <math>0</math> עד <math>\infty</math>.
אבל אם עושים תיקון קטן. למשל לוקחים <math>f(x)=\frac{1}{x+1}</math> אז הוא הפרכה טובה לשתי הטענות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:49, 16 ביולי 2013 (IDT)
== התנהגות של פונקציות בסביבת אפס ==
למה x^2 מתנהג כמו 1 פחות cosx בסביבת אפס?
למה sinx מתנהג כמו x בסביבת אפס????
איך מוכיחים את הדברים האלה?
1. הוא לא. <math>x^2</math> "מתנהג" כמו <math>2(1-cos(x))</math>.
2. בעקרון ההוכחה היא גאומטרית, אבל אתה יכול לשקר לעצמך ולהשתמש בכלל לופיטל.
== התכנסות במידה שווה - שאלת הבנה ==
נניח אני מסתכל על '''סדרת הפונקציות''' <math>fn(x)=x^{n}</math> בקטע <math>\left [ 0,a \right ]</math> כאשר '''a<1'''
ובפעם השנייה, אני מסתכל על אותה סדרת פונקציות בדיוק, רק בקטע <math> \left [ 0,1 \right ]</math>
במקרה השני, אם אני ממש מסתכל כיצד נראית סדרת הפונקציות הזו על ציר מספרים (ברביע הראשון), אני יכול לראות, שבהינתן מרחק אפסילון כלשהו
על ציר ה-Y, מתקיים שעבור x1 כלשהו שאבחר בקטע בין 0 ל-1, קיים N1 שהחל ממנו מתקיים <math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math>.
שאלה 1: עבור כל x בקטע שקטן מ-x1, ניתן לבחור את '''[[אותו N1]]''' שמתאים ל-x1, כך שיתקיים:
<math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math> ?
לעומת זאת, אם אבחר '''באותו קטע''' נקודה x2 המקיימת '''x2>x1''', אז '''[[בהכרח]] קיים N2>N1''' שהחל ממנו מתקיים
<math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math>. כלומר, נצטרך "ללכת" רחוק יותר בסדרה, על מנת להבטיח מרחק קטן מאפסילון.
כלומר, ניתן לראות שעבור x-ים שונים בקטע, מתקיים שלכל x קיים N '''אחר''' שהחל ממנו מתקיים:
c. לכן '''אין כאן התכנסות במידה שווה כי ל-x-ים שונים, בהכרח קיימים N-ים שונים'''
שאלה 2: האם מה שאמרתי עד עכשיו נכון?
כעת, אני מסתכל על המקרה הראשון, שכאמור מדבר על אותה סדרת פונקציות, רק שהפעם בקטע <math>\left [ 0,a \right ]</math>, כאשר '''a<1'''
אני טוען ש'''[[כל מה שאמרתי עד עכשיו]]''' , תקף גם כאן.
ולכן גם במקרה זה, אין התכנסות במידה שווה.
מה בדיוק הטעות שלי?
תודה רבה לעוזרים
שאלה 2) כן. כל ההסבר נכון.
הטעות שלך היא בלוגיקה.
מה שאתה אומר פה זה כמו להגיד, לא הצלחתי להוכיח את הטענה ולכן היא לא נכונה.
אם אתה יודע שעבור כל <math>x</math> קיים <math>N</math> (אחר) כך שמתקיים <math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math> לכל <math>n>N</math>.
זה עדיין לא אומר שאין התכנסות במ"ש. רק שלא הצלחת להוכיח.
מקווה שזה ברור--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:58, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה ==
יש משפט שאומר: סדרת פונקציות רציפות fn(x) מתכנסת במידה שווה לפונקציה f <== f רציפה
מהמשפט הזה נובעת המסקנה: אם סדרת הפונקציות fn(x) מתכנסת נקודתית לf(x) , ו-fn(x) סדרת פונקציות רציפות, אך f לא רציפה, אז ההתכנסות אינה במידה שווה.
השאלה שלי היא מדוע בכלל צריך לציין שיש התכנסות נקודתית? למה המסקנה שנובעת, היא לא אותה מסקנה בדיוק, רק בלי התנאי ש-fn סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית לf(x).
עקרונית אתה צודק. אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות ו <math>f</math> פונקציה לא רציפה אתה יודע שהסדרה בטוח לא מתכנסת במ"ש ל <math>f</math>. אבל זה מעניין בעיקר אם אתה יודע שהסדרה כן מתכנסת נקודתית לפונקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:52, 15 ביולי 2013 (IDT)
תודה על התשובות
== אינטגרביליות היא תכונה חזקה מרציפות? ==
אפשר הסבר?
:אפשר הסבר למה התכוונת? "תכונה חזקה"?
תכונה שמתאמנת במכון כושר.
* לי נראה דווקא הפוך. היות וכל פונקציה רציפה על קטע כלשהוא היא אינטגרבילית עליו. זה אומר שרציפות חזקה מאינטגרביליות.
באופן כללי תכונה A חזקה מתכונה B אם כל מי שמקיים את A בהכרח מקיים את B.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:55, 16 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה על פתרון של שאלה בעזרת שימוש במבחן וויירשטראס ==
השאלה היא בעקרון די פשוטה...
אני צריך להוכיח שהטור <math>\sum_{1}^{\infty }sinx/n^2</math> מתכנס במ"ש.
היות ומתקיים: <math>sinx/n^2<1/n^2</math>
והיות ו-<math>\sum_{1}^{\infty }1/n^2</math> מתכנס, הרי שהטור שלנו מתכנס במ"ש.
מה הולך פה בעצם? יש כאן טור מספרים, (אחד חלקי n^2) וטור פונקציות (הטור שעליו נשאלנו)
המשפט הזה מאפשר לנו להסיק שאם חסמתי טור פונקציות, ע"י טור מספרים מתכנס, אז הטור פונקציות גם מתכנס?
אם כן, אז זה אומר שמבחן ההשוואה הראשון של טורים מספריים (מאינפי1) עובד גם כאשר חוסמים טור פונקציות, ע"י טור מספרים?
* כן, אתה יכול לחשוב על זה ככה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:51, 16 ביולי 2013 (IDT)
== מישהו יכול לעשות לי סדר בנושא של סדרה/טור הנדסי? ==
איך הולכת שם הנוסחה בדיוק? אני שם לב שיש לה כל מיני ווריאציות או משהו כזה...
נניח יש לי את הטור הבא:
<math> \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}</math>, הסכום שלו הוא <math> 1/(1-x)</math>?? אם כן, למה?
אם לעומת זאת יש לי את הטור:
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> הפעם אני מתחיל מ-n=1. מה סכום הטור?
אם יש את הטור הזה:
<math>\sum_{k=1}^{\infty }x^{(k-1)} </math>.
מה הסכום? ראיתי באחד מהמערכי תרגול שהסכום הוא: <math>(1-x^{n})/(1-x) </math>.
בקיצור, אני לא מבין מה הולך פה...'''איך עובדים עם הנוסחה הזו'''? '''מה הנוסחה בדיוק'''? '''למה כל פעם יוצא פה משהו אחר'''?
אם אפשר הסבר מפורט זה יהיה מעולה כי אני שם לב שאני לא יודע לעבוד עם זה.
תודה
http://bit.ly/1armrSS
'''אני יודע לפנות לויקיפדיה שצריך...במקרה הזה זה פשוט לא עוזר לי. אני לא מבין איך זה עונה על השאלות שלי, וגם אני לא מבין איך עובדים עם סכום סדרה/טור הנדסי'''
* תראה, הנוסחה הכי כללית היא כשיש לך מנה <math>q</math> ואיבר ראשון <math>a_1</math> אז הסכום של <math>n</math> איברים הוא
<math>a_1\frac{1-q^n}{1-q}</math>
ולכן סכום הטור האינסופי (כאשר <math>|q|<1</math>) הוא
<math>a_1\frac{1}{1-q}</math>
בפרט כדאי לזכור ש
<math> \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}</math>
לעומת זאת בטור
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> האיבר הראשון הוא <math>x</math> ולא <math>1</math> ולכן הסכום הוא
<math>\frac{x}{1-x}</math>
יש עוד דרכים לחשוב על זה, אבל באמת מספיק לזכור את הנוסחה לסכום סדרה הנדסית.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:57, 17 ביולי 2013 (IDT)
== כמה שאלות...שאלות 4-6 מתייחסות לכל אחד מהטורים שמופיעים בתחילת הפוסט הזה. ==
1.
נתונים הטורים הבאים: טור א': <math> \sum_{n=1}^{\infty }n^{2}\frac{(1-x)^{n}}{(1+x)^{n}}</math>
טור ב': <math> \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+x)^{n}}{n^{(n+x)}} </math>
אני צריך למצוא את התחום התכנסות של כל אחד מהם.
1. באופן כללי, (לא מדבר ספציפית על השאלה הזו) אם כתוב שצריך למצוא את התחום התכנסות של הטור, אני יכול להסיק מכך שמדובר בטור חזקות?
2.אם התשובה לשאלה 1 שלילית, אז יתכן שמדובר '''סתם בטור פונקציות כלשהו''', ואני צריך למצוא את תחום ההתכנסות שלו?
3. אם התשובה לשאלה 2 חיובית, איך אני מוצא תחום התכנסות של '''סתם טור פונקציות'''? המבחנים "קושי הדמר" ו"דלאמבר" לא יהיו רלוונטים במקרה כזה?
4. בקשר לטורים הספציפיים האלה (שמופיעים למעלה). אלה '''טורי חזקות'''? אם כן, '''למה'''? ממה שאני יודע, טור חזקות הוא טור שצורתו היא:
<math> \sum_{n=1}^{\infty }anx^n</math> '''או''' <math>\sum_{n=1}^{\infty }an(x-alpha)^n</math>.
כאשר an סדרת המקדמים של הטור, ו'''אינה''' תלויה ב-x.
למה הטורים שבשאלה הם מאחת הצורות הללו? איך אני מביא אותם לאחת מהצורות הללו?
5. מי זה alpha בכל אחד מהטורים שבשאלה, ומי זה x בכל אחד מהטורים שבשאלה?
6. בכל אחד מהטורים שבשאלה, סביב איזו נקודה מפותח הטור?
7. אם שניי הטורים הללו אכן טורי חזקות, מציאת רדיוס התכנסות ניתנת ע"י מבחן קושי הדמר או מבחן דלאמבר, ומותר לי להפעיל אותם רק על
'''על סדרת המקדמים'''? כלומר אסור המבחנים הללו יפעלו על ביטוי שאינו תלוי ב-x?
8. מי זה an בכל אחד מהטורים?
תודה מראש על העזרה!
*
1) לא. אפשר עקרונית לבקש למצוא תחום התכנסות של כל טור פונקציות/סדרת פונקציות (כל ערכי ה <math>x</math> שבהם יש התכנסות)
2) אם זה לא טור חזקות, אז אין דרך פשוטה כל כך. צריך לנסות להבין בשביל איזה ערכים הוא מתכנס.
4) אתה צודק, אלה לא טורי חזקות. את הטור שבא' אפשר "לתקן" בקלות לטור חזקות.
מציבים <math>y=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז זה הופך להיות טור חזקות ב<math>y</math>. מוצאים את תחום ההתכנסות שלו ו"ממירים" את זה חזרה ל <math>x</math> (כלומר מוצאים את ערכי <math>x</math>. שעבורם <math>\frac{1-x}{1+x}</math> נמצא בטווח הזה).
גילוי נאות: את ב' אני לא רואה כרגע בשלוף איך פותרים. אני צריך לחשוב על זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 17 ביולי 2013 (IDT)
נראה לי שאני רואה איך אפשר לפתור את ב'. הטכניקות הסטנדרטיות לא כל כך עובדות וצריך פשוט להסתכל על הביטוי ולנסות להבין עבור איזה <math>x</math> טור המספרים שמתקבל מתכנס.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:14, 17 ביולי 2013 (IDT)