שינויים
/* כמה שאלות...שאלות 4-6 מתייחסות לכל אחד מהטורים שמופיעים בתחילת הפוסט הזה. */
'''שאלה 5''': בשאלה שאלו האם האינטגרל מתבדר/מתכנס בהחלט/מתכנס בתנאי. אחרי שהראיתי שהאינטגרל מתכנס (במידה ומה שעשיתי נכון בכלל..) איך אני בודק האם הוא מתכנס בהחלט או מתכנס בתנאי?
== שאלה מתוך מבחן מועד א' 2012 ==
הפונקציה <math> 1/(e^{x}-1)</math>, וכך אני אוכל להשתמש במבחן ההשוואה. אבל איך עושים את הבחירה הזו? איך אני בוחר את אלפא בצורה כזו ששתיי הפונקציות הללו יתנהגו בצורה דומה???
*אתה לא חייב ששתי הפונקציות תתנהגנה בצורה דומה. מספיק לך למצוא פונקציה מתכנסת שהיא יותר גדולה מהפונקציה שיש כאן.
בגלל ש <math>e^x</math> עולה מאוד מהר. מן הסתם השוואה עם <math>\frac{1}{x^2}</math> תעבוד לך באינסוף. בסביבת <math>0</math> אין לי אינטואיציה טובה לתת לך. אתה יכול לנסות ולראות מה עובד (אני חושב ש <math>\frac{1}{x}</math> עובד)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:46, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה כללית ==
תודה לעוזרים.
'''מישהו יודע איך עושים את השאלה הזו????????????????????????????????????????????????????????????'''
* מספיק להסתכל על התנהגות של <math>\frac{1}{x^\alpha}</math> כדי למצוא תשובה.
אנחנו יודעים ש <math>\frac{1}{x}</math> מתבדר כשהאינטגרל הוא מ <math>1</math> עד אינסוף ו <math>\frac{1}{x^2}</math> מתכנס בתחום הזה.
אמנם <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> הוא לא הפרכה טובה לשאלה כי <math>\frac{1}{x^2}</math> גם הוא מתבדר בתחום <math>0</math> עד <math>\infty</math>.
אבל אם עושים תיקון קטן. למשל לוקחים <math>f(x)=\frac{1}{x+1}</math> אז הוא הפרכה טובה לשתי הטענות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:49, 16 ביולי 2013 (IDT)
== התנהגות של פונקציות בסביבת אפס ==
נניח אני מסתכל על '''סדרת הפונקציות''' <math>fn(x)=x^{n}</math> בקטע <math>\left [ 0,a \right ]</math> כאשר '''a<1'''
ובפעם השנייה, אני מסתכל על אותה סדרת פונקציות בדיוק, רק בקטע <math> '''\left [ 0,1 \right ]'''</math>.
במקרה השני, אם אני ממש מסתכל כיצד נראית סדרת הפונקציות הזו על ציר מספרים (ברביע הראשון), אני יכול לראות, שבהינתן מרחק אפסילון כלשהו
כלומר, ניתן לראות שעבור x-ים שונים בקטע, מתקיים שלכל x קיים N '''אחר''' שהחל ממנו מתקיים:
שאלה 2: האם מה שאמרתי עד עכשיו נכון?
תודה רבה לעוזרים
שאלה 2) כן. כל ההסבר נכון.
הטעות שלך היא בלוגיקה.
מה שאתה אומר פה זה כמו להגיד, לא הצלחתי להוכיח את הטענה ולכן היא לא נכונה.
אם אתה יודע שעבור כל <math>x</math> קיים <math>N</math> (אחר) כך שמתקיים <math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math> לכל <math>n>N</math>.
זה עדיין לא אומר שאין התכנסות במ"ש. רק שלא הצלחת להוכיח.
מקווה שזה ברור--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:58, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה ==
יש משפט שאומר: סדרת פונקציות רציפות fn(x) מתכנסת במידה שווה לפונקציה f <== f רציפה
מהמשפט הזה נובעת המסקנה: אם סדרת הפונקציות fn(x) מתכנסת נקודתית לf(x) , ו-fn(x) סדרת פונקציות רציפות, אך f לא רציפה, אז ההתכנסות אינה במידה שווה.
השאלה שלי היא מדוע בכלל צריך לציין שיש התכנסות נקודתית? למה המסקנה שנובעת, היא לא אותה מסקנה בדיוק, רק בלי התנאי ש-fn סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית לf(x).
עקרונית אתה צודק. אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות ו <math>f</math> פונקציה לא רציפה אתה יודע שהסדרה בטוח לא מתכנסת במ"ש ל <math>f</math>. אבל זה מעניין בעיקר אם אתה יודע שהסדרה כן מתכנסת נקודתית לפונקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:52, 15 ביולי 2013 (IDT)
תודה על התשובות
== אינטגרביליות היא תכונה חזקה מרציפות? ==
אפשר הסבר?
:אפשר הסבר למה התכוונת? "תכונה חזקה"?
תכונה שמתאמנת במכון כושר.
* לי נראה דווקא הפוך. היות וכל פונקציה רציפה על קטע כלשהוא היא אינטגרבילית עליו. זה אומר שרציפות חזקה מאינטגרביליות.
באופן כללי תכונה A חזקה מתכונה B אם כל מי שמקיים את A בהכרח מקיים את B.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:55, 16 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה על פתרון של שאלה בעזרת שימוש במבחן וויירשטראס ==
השאלה היא בעקרון די פשוטה...
אני צריך להוכיח שהטור <math>\sum_{1}^{\infty }sinx/n^2</math> מתכנס במ"ש.
היות ומתקיים: <math>sinx/n^2<1/n^2</math>
והיות ו-<math>\sum_{1}^{\infty }1/n^2</math> מתכנס, הרי שהטור שלנו מתכנס במ"ש.
מה הולך פה בעצם? יש כאן טור מספרים, (אחד חלקי n^2) וטור פונקציות (הטור שעליו נשאלנו)
המשפט הזה מאפשר לנו להסיק שאם חסמתי טור פונקציות, ע"י טור מספרים מתכנס, אז הטור פונקציות גם מתכנס?
אם כן, אז זה אומר שמבחן ההשוואה הראשון של טורים מספריים (מאינפי1) עובד גם כאשר חוסמים טור פונקציות, ע"י טור מספרים?
* כן, אתה יכול לחשוב על זה ככה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:51, 16 ביולי 2013 (IDT)
== מישהו יכול לעשות לי סדר בנושא של סדרה/טור הנדסי? ==
איך הולכת שם הנוסחה בדיוק? אני שם לב שיש לה כל מיני ווריאציות או משהו כזה...
נניח יש לי את הטור הבא:
<math> \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}</math>, הסכום שלו הוא <math> 1/(1-x)</math>?? אם כן, למה?
אם לעומת זאת יש לי את הטור:
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> הפעם אני מתחיל מ-n=1. מה סכום הטור?
אם יש את הטור הזה:
<math>\sum_{k=1}^{\infty }x^{(k-1)} </math>.
מה הסכום? ראיתי באחד מהמערכי תרגול שהסכום הוא: <math>(1-x^{n})/(1-x) </math>.
בקיצור, אני לא מבין מה הולך פה...'''איך עובדים עם הנוסחה הזו'''? '''מה הנוסחה בדיוק'''? '''למה כל פעם יוצא פה משהו אחר'''?
אם אפשר הסבר מפורט זה יהיה מעולה כי אני שם לב שאני לא יודע לעבוד עם זה.
תודה
http://bit.ly/1armrSS
'''אני יודע לפנות לויקיפדיה שצריך...במקרה הזה זה פשוט לא עוזר לי. אני לא מבין איך זה עונה על השאלות שלי, וגם אני לא מבין איך עובדים עם סכום סדרה/טור הנדסי'''
* תראה, הנוסחה הכי כללית היא כשיש לך מנה <math>q</math> ואיבר ראשון <math>a_1</math> אז הסכום של <math>n</math> איברים הוא
<math>a_1\frac{1-q^n}{1-q}</math>
ולכן סכום הטור האינסופי (כאשר <math>|q|<1</math>) הוא
<math>a_1\frac{1}{1-q}</math>
בפרט כדאי לזכור ש
<math> \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}</math>
לעומת זאת בטור
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> האיבר הראשון הוא <math>x</math> ולא <math>1</math> ולכן הסכום הוא
<math>\frac{x}{1-x}</math>
יש עוד דרכים לחשוב על זה, אבל באמת מספיק לזכור את הנוסחה לסכום סדרה הנדסית.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:57, 17 ביולי 2013 (IDT)
== כמה שאלות...שאלות 4-6 מתייחסות לכל אחד מהטורים שמופיעים בתחילת הפוסט הזה. ==
1.
נתונים הטורים הבאים: טור א': <math> \sum_{n=1}^{\infty }n^{2}\frac{(1-x)^{n}}{(1+x)^{n}}</math>
טור ב': <math> \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+x)^{n}}{n^{(n+x)}} </math>
אני צריך למצוא את התחום התכנסות של כל אחד מהם.
1. באופן כללי, (לא מדבר ספציפית על השאלה הזו) אם כתוב שצריך למצוא את התחום התכנסות של הטור, אני יכול להסיק מכך שמדובר בטור חזקות?
2.אם התשובה לשאלה 1 שלילית, אז יתכן שמדובר '''סתם בטור פונקציות כלשהו''', ואני צריך למצוא את תחום ההתכנסות שלו?
3. אם התשובה לשאלה 2 חיובית, איך אני מוצא תחום התכנסות של '''סתם טור פונקציות'''? המבחנים "קושי הדמר" ו"דלאמבר" לא יהיו רלוונטים במקרה כזה?
4. בקשר לטורים הספציפיים האלה (שמופיעים למעלה). אלה '''טורי חזקות'''? אם כן, '''למה'''? ממה שאני יודע, טור חזקות הוא טור שצורתו היא:
<math> \sum_{n=1}^{\infty }anx^n</math> '''או''' <math>\sum_{n=1}^{\infty }an(x-alpha)^n</math>.
כאשר an סדרת המקדמים של הטור, ו'''אינה''' תלויה ב-x.
למה הטורים שבשאלה הם מאחת הצורות הללו? איך אני מביא אותם לאחת מהצורות הללו?
5. מי זה alpha בכל אחד מהטורים שבשאלה, ומי זה x בכל אחד מהטורים שבשאלה?
6. בכל אחד מהטורים שבשאלה, סביב איזו נקודה מפותח הטור?
7. אם שניי הטורים הללו אכן טורי חזקות, מציאת רדיוס התכנסות ניתנת ע"י מבחן קושי הדמר או מבחן דלאמבר, ומותר לי להפעיל אותם רק על
'''על סדרת המקדמים'''? כלומר אסור המבחנים הללו יפעלו על ביטוי שאינו תלוי ב-x?
8. מי זה an בכל אחד מהטורים?
תודה מראש על העזרה!
*
1) לא. אפשר עקרונית לבקש למצוא תחום התכנסות של כל טור פונקציות/סדרת פונקציות (כל ערכי ה <math>x</math> שבהם יש התכנסות)
2) אם זה לא טור חזקות, אז אין דרך פשוטה כל כך. צריך לנסות להבין בשביל איזה ערכים הוא מתכנס.
4) אתה צודק, אלה לא טורי חזקות. את הטור שבא' אפשר "לתקן" בקלות לטור חזקות.
מציבים <math>y=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז זה הופך להיות טור חזקות ב<math>y</math>. מוצאים את תחום ההתכנסות שלו ו"ממירים" את זה חזרה ל <math>x</math> (כלומר מוצאים את ערכי <math>x</math>. שעבורם <math>\frac{1-x}{1+x}</math> נמצא בטווח הזה).
גילוי נאות: את ב' אני לא רואה כרגע בשלוף איך פותרים. אני צריך לחשוב על זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 17 ביולי 2013 (IDT)
נראה לי שאני רואה איך אפשר לפתור את ב'. הטכניקות הסטנדרטיות לא כל כך עובדות וצריך פשוט להסתכל על הביטוי ולנסות להבין עבור איזה <math>x</math> טור המספרים שמתקבל מתכנס.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:14, 17 ביולי 2013 (IDT)
