שינויים
/* כמה שאלות...שאלות 4-6 מתייחסות לכל אחד מהטורים שמופיעים בתחילת הפוסט הזה. */
אם לעומת זאת יש לי את הטור:
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> הפעם נאי אני מתחיל מ-n=1. מה סכום הטור?
אם יש את הטור הזה:
מה הסכום? ראיתי באחד מהמערכי תרגול שהסכום הוא: <math>(1-x^{n})/(1-x) </math>.
בקיצור, אני לא מבין מה הולך פה...'''איך עובדים עם הנוסחה הזו'''? '''מה הנוסחה בדיוק'''? '''למה כל פעם יוצא פה משהו אחר'''?
אם אפשר הסבר מפורט זה יהיה מעולה כי אני שם לב שאני לא יודע לעבוד עם זה.
תודה
http://bit.ly/1armrSS
'''אני יודע לפנות לויקיפדיה שצריך...במקרה הזה זה פשוט לא עוזר לי. אני לא מבין איך זה עונה על השאלות שלי, וגם אני לא מבין איך עובדים עם סכום סדרה/טור הנדסי'''
* תראה, הנוסחה הכי כללית היא כשיש לך מנה <math>q</math> ואיבר ראשון <math>a_1</math> אז הסכום של <math>n</math> איברים הוא
<math>a_1\frac{1-q^n}{1-q}</math>
ולכן סכום הטור האינסופי (כאשר <math>|q|<1</math>) הוא
<math>a_1\frac{1}{1-q}</math>
בפרט כדאי לזכור ש
<math> \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}</math>
לעומת זאת בטור
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> האיבר הראשון הוא <math>x</math> ולא <math>1</math> ולכן הסכום הוא
<math>\frac{x}{1-x}</math>
יש עוד דרכים לחשוב על זה, אבל באמת מספיק לזכור את הנוסחה לסכום סדרה הנדסית.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:57, 17 ביולי 2013 (IDT)
== כמה שאלות...שאלות 4-6 מתייחסות לכל אחד מהטורים שמופיעים בתחילת הפוסט הזה. ==
1.
נתונים הטורים הבאים: טור א': <math> \sum_{n=1}^{\infty }n^{2}\frac{(1-x)^{n}}{(1+x)^{n}}</math>
טור ב': <math> \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+x)^{n}}{n^{(n+x)}} </math>
אני צריך למצוא את התחום התכנסות של כל אחד מהם.
1. באופן כללי, (לא מדבר ספציפית על השאלה הזו) אם כתוב שצריך למצוא את התחום התכנסות של הטור, אני יכול להסיק מכך שמדובר בטור חזקות?
2.אם התשובה לשאלה 1 שלילית, אז יתכן שמדובר '''סתם בטור פונקציות כלשהו''', ואני צריך למצוא את תחום ההתכנסות שלו?
3. אם התשובה לשאלה 2 חיובית, איך אני מוצא תחום התכנסות של '''סתם טור פונקציות'''? המבחנים "קושי הדמר" ו"דלאמבר" לא יהיו רלוונטים במקרה כזה?
4. בקשר לטורים הספציפיים האלה (שמופיעים למעלה). אלה '''טורי חזקות'''? אם כן, '''למה'''? ממה שאני יודע, טור חזקות הוא טור שצורתו היא:
<math> \sum_{n=1}^{\infty }anx^n</math> '''או''' <math>\sum_{n=1}^{\infty }an(x-alpha)^n</math>.
כאשר an סדרת המקדמים של הטור, ו'''אינה''' תלויה ב-x.
למה הטורים שבשאלה הם מאחת הצורות הללו? איך אני מביא אותם לאחת מהצורות הללו?
5. מי זה alpha בכל אחד מהטורים שבשאלה, ומי זה x בכל אחד מהטורים שבשאלה?
6. בכל אחד מהטורים שבשאלה, סביב איזו נקודה מפותח הטור?
7. אם שניי הטורים הללו אכן טורי חזקות, מציאת רדיוס התכנסות ניתנת ע"י מבחן קושי הדמר או מבחן דלאמבר, ומותר לי להפעיל אותם רק על
'''על סדרת המקדמים'''? כלומר אסור המבחנים הללו יפעלו על ביטוי שאינו תלוי ב-x?
8. מי זה an בכל אחד מהטורים?
תודה מראש על העזרה!
*
1) לא. אפשר עקרונית לבקש למצוא תחום התכנסות של כל טור פונקציות/סדרת פונקציות (כל ערכי ה <math>x</math> שבהם יש התכנסות)
2) אם זה לא טור חזקות, אז אין דרך פשוטה כל כך. צריך לנסות להבין בשביל איזה ערכים הוא מתכנס.
4) אתה צודק, אלה לא טורי חזקות. את הטור שבא' אפשר "לתקן" בקלות לטור חזקות.
מציבים <math>y=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז זה הופך להיות טור חזקות ב<math>y</math>. מוצאים את תחום ההתכנסות שלו ו"ממירים" את זה חזרה ל <math>x</math> (כלומר מוצאים את ערכי <math>x</math>. שעבורם <math>\frac{1-x}{1+x}</math> נמצא בטווח הזה).
גילוי נאות: את ב' אני לא רואה כרגע בשלוף איך פותרים. אני צריך לחשוב על זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 17 ביולי 2013 (IDT)
נראה לי שאני רואה איך אפשר לפתור את ב'. הטכניקות הסטנדרטיות לא כל כך עובדות וצריך פשוט להסתכל על הביטוי ולנסות להבין עבור איזה <math>x</math> טור המספרים שמתקבל מתכנס.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:14, 17 ביולי 2013 (IDT)
