אם G/H היא חבורה אז <math>H\triangleleft G</math>?
G/H היא תמיד קבוצה. כשרוצים לבדוק אם G/H היא חבורה צריך להחליט מה הפעולה שמגדירים מעליה.
בהנחה שמנסים להגדיר פעולה כמו שהגדרתם בהרצאה, אז כן - G/H היא חבורה אמ"ם H היא תת חבורה נורמלית של G.
מעט יותר בפירוט, אם הפעולה <math>(aH)*(bH)=abH</math> מוגדרת היטב אז <math>H\triangleleft G</math>.
אכן, לכל <math>g\in G</math> ולכל <math>h\in H</math>
<math>hH=eH</math>
<math>g^{-1}H=g^{-1}H</math>
לכן, אם הפעולה מוגדרת היטב אז:
<math>hg^{-1}H=eg^{-1}H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>ghg^{-1}H=H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>ghg^{-1}\in H</math>
לכן, H ת"ח נורמלית של G.
(לחילופין יכולנו להגדיר את הפעולה כמו שהגדרנו בתרגול - כשהמכפלה של שני קוסטים היא מכפלתם בתור קבוצות. עבור H ת"ח נורמלית, ראינו כי מתקבלת אותה פעולה. גם במקרה זה, הפעולה מוגדרת היטב אמ"ם H ת"ח נורמלית . אם H ת"ח נורמלית, ראינו כי הפעולה מוגדרת היטב.
בכיוון השני, נניח כי לכל <math>a,b\in G</math> <math>(aH)(bH)</math> הוא קוסט.
אזי, לכל <math>g\in G</math> קיים <math>c\in G</math> כך ש <math>gHg^{-1}H=cH</math>.
בפרט, <math>gHg^{-1}e\subseteq cH</math>.
אבל <math>e=geg^{-1}e\in gHg^{-1}e\subseteq cH</math> לכן <math>c^{-1}\in H</math> ו <math>c\in H</math>. לכן, <math>cH=H</math> ובסה"כ <math>gHg^{-1}\subseteq H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>H\triangleleft G</math>).
==הטלה==
מהי, ומה הקשר שלה להטלה שאנחנו מכירים מלינארית?