:אחרת, כל המונומים שלו היו מתחלקים בראשוני כלשהו p, ומכאן הפרוק - הפולינום שווה לְ־p כפול מה שנשאר. הפרוק אמתי כי p ראשוני ולכן לא הפיך, ומצד שני מניחים שדרגת הפולינום גדולה מאפס, ולכן p והפולינום אינם חברים.
::אבל לא מדובר על פירוק מעל שדה השברים? "מה שנשאר" שייך לשדה השברים. (כמו למשל שיש משפט שf|g מעל R אם ורק אם התכולות מתחלקות וגם f^|g^ אבל מעל שדה השברים.)
:::"מה שנשאר" הוא פולינום. מעל שדה השברים הסקלרים (ובפרט p) הופכים להפיכים. מכל מקום, אנחנו השתמשנו בעובדה זו על מנת להראות שכל אי פריק מעל [R[x הוא ראשוני שם. איך מתגנב לכאן שדה השברים? יודעים שחוג הפולינומים מעל שדה הוא UFD, ויודעים שאם פולינום הוא פרימיטיבי ואי פריק מעל חוג, הוא אי פריק מעל שדה השברים (זהו אחד מהנסחים של הלמה של גאוס שבאים לפני המשפט שבו אנחנו דנים). כעת, חוג הפולינומים מעל שדה השברים הוא UFD ולכן האי פריקות מתרגמת שם לראשוניות, שאותה, בתורה, נתן לתרגם שוב לראשוניות מעל [R[x (וכאן שוב משתמשים בפרימיטיביות של הפולינום).