::::כך גם בכיוון ההפוך. אם נתון לי מודול מעל [F[x מודולו x^3, אני יודע כי הסקלר x פועל כהעתקה לינארית T מהמודול לעצמו הכבולה להגבלה: T^3=0.
::::דוגמה: נתון מרחב וקטורי מעל הממשיים. מתי הוא מרחב וקטורי מעל המרוכבים? מבחינת המבנה, המרוכבים אינם אלא חוג הפולינומים מעל הממשיים מודולו x^2+1, כלומר, מרחב וקטורי מעל הממשיים הופך למרחב וקטורי מעל המרוכבים אם ורק אם קיים אופרטור לינארי עליו המתחלף עם פעולת הכפל במספרים ממשיים, כך ש-T^2=-id. אופרטור זה הינו הפרשנות שלנו למספר i (כפי שהוא פועל על המרחב הווקטורי), שאותו 'גילינו' כשהרחבנו את השדה המקורי.
==כל מודול מעל שדה הוא מודול חופשי, או: ניסוח שקול לאקסיומת הבחירה==
כדי להראות שכל מודול מעל שדה הוא חופשי צריך להראות שיש לו בסיס, כלומר תת קבוצה פורשת ובת"ל.
1.אכן, '''כל תת קבוצה בת"ל S שהיא מקסימלית לגבי יחס ההכלה בין תתי הקבוצות הבת"ל של המודול M היא פורשת'''.
הסבר: נניח שהיא לא פורשת את x (אבר כלשהו מן המודול M) ונניח ש-S איחוד עם {x} ת"ל; אזי, ישנו צרוף לינארי לא טריוויאלי של אברי S ושל x המתאפס. אם המקדם של x בצרוף הזה מתאפס, קיבלנו צרוף לינארי לא טריוויאלי של אברי S המתאפס, בסתירה לכך ש-S בת"ל. לכן, המקדם של x (נאמר, a) בצרוף הלינארי הזה אינו מתאפס, ואז ax- הוא צרוף לינארי של אברי S. אבל a שונה מאפס, כאמור, ולכן נוכל לחלק בְּ-a- ולקבל את x כצרוף לינארי של אברי S, בסתירה לכך ש-S אינה פורשת את x.
לכן, או ש-S פורשת את x לכל x מן המודול M(ואז סיימנו) או ש-S בכל זאת אינה פורשת את x, אבל S איחוד עם {x} אינה ת"ל (ואז היא בת"ל); אבל S מוכלת ממש ב-S איחוד עם {x}, כי x אינו שייך ל-S, וזאת בסתירה למקסימליות של S לגבי יחס ההכלה בין תתי הקבוצות הבת"ל של המודול M.
2. אוסף תתי הקבוצות הבת"ל של M הוא קבוצה סדורה חלקית (לגבי יחס ההכלה). לכל שרשרת של תתי קבוצות בת"ל של M, האיחוד של כולן הוא גם תת קבוצה בת"ל של M (מפני שכל צרוף לינארי של אברים מן האיחוד הוא סופי, מטבעו, ולכן *יש* תת קבוצה השייכת לשרשרת שמכילה את כל אברי הצרוף הלינארי. בפרט, אם צרוף לינארי לא טריוויאלי מאברי איחוד השרשרת היה מתאפס, הוא היה סותר את האי-תלות הלינארית של אותה תת קבוצה השייכת לשרשרת ומכילה את כל אברי הצרוף) ומהווה חסם של כל אברי השרשרת.
לכן, לפי '''הלמה של צורן''', ישנו אבר מקסימלי. כלומר, ישנה תת קבוצה בת"ל של M שהיא מקסימלית לגבי יחס ההכלה. אבל לפי 1, היא פורשת, ולכן מהווה בסיס. מכאן, שהמודול M הוא '''מודול חופשי'''.
הערה I: בהינתן תת קבוצה פורשת של M ניתן להתבונן באוסף תתי הקבוצות של M שהן בת"ל ומוכלות ב-M. גם שם ההוכחה תופשת, ומכאן שכל תת קבוצה פורשת של M מכילה בסיס. זוהי תוצאה חזקה יותר מכך שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, וניתן לקבל את האחרונה מהראשונה על ידי בחירת M כתת קבוצה של עצמה שהיא פורשת (ולכן מכילה בסיס).
הערה II: בהינתן תת קבוצה בת"ל של M ניתן להתבונן באוסף תתי הקבוצות של M שהן בת"ל ומכילות את M. גם שם ההוכחה תופשת, ומכאן שכל תת קבוצה בת"ל של M מוכלת בבסיס. זוהי תוצאה חזקה יותר מכך שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, וניתן לקבל את האחרונה מהראשונה על ידי בחירת הקבוצה הריקה כתת קבוצה של המודול שהיא בת"ל (ולכן מוכלת בבסיס).
הערה III: כל מודול מעל חוג עם חילוק הוא חופשי. עם זאת, אין ערובה לכך שדרגתו מוגדרת היטב, וזאת בניגוד למקרה של חוגים קומוטטיביים (ובפרט בשדות).
הערה IV: נשים לב שהסתמכנו על אקסיומת הבחירה (בתחפושת הלמה של צורן) בהוכחה שכל מודול מעל שדה הוא חופשי. האם יכולנו להוכיח זאת ללא שימוש באקסיומת הבחירה? בלאס הוכיח, בשנות השמונים, כי אם מניחים שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, אפשר להוכיח (בעזרת האקסיומות של צרמלו פרנקל, וכמובן לא אקסיומת הבחירה) את אקסיומת הבחירה. כך, הופכת הטענה כי כל מודול מעל שדה הוא חופשי לניסוח שקול לאקסיומת הבחירה במסגרת האקסיומטית של ZF ובפרט לא ניתן להוכיח את הטענה כי כל מודול מעל שדה הוא חופשי בלי להניח את אקסיומת הבחירה (במסגרת האקסיומטית הזאת).
להוכחתו של בלאס: http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf