1.אכן, '''כל תת קבוצה בת"ל S שהיא מקסימלית לגבי יחס ההכלה בין תתי הקבוצות הבת"ל של המודול M היא פורשת'''.
הסבר: נניח שהיא לא פורשת את x (אבר כלשהו מן המודול M) ונניח ש-S איחוד עם {x} ת"ל; אזי, ישנו צרוף לינארי לא טריוויאלי של אברי S ושל x המתאפס. אם המקדם של x בצרוף הזה מתאפס, קיבלנו צרוף לינארי לא טריוויאלי של אברי S המתאפס, בסתירה לכך ש-S בת"ל. לכן, המקדם של x (נאמר, a) בצרוף הלינארי הזה אינו מתאפס, ואז ax- הוא צרוף לינארי של אברי S. אבל a שונה מאפס, כאמור, ולכן נוכל לחלק בְּ-a- ולקבל את x כצרוף לינארי של אברי S, בסתירה לכך ש-S אינה פורשת את x.
לכן, או ש-S פורשת את x לכל x מן המודול M(ואז סיימנו) או ש-S בכל זאת אינה פורשת את x, אבל S איחוד עם {x} אינה ת"ל (ואז היא בת"ל); אבל S מוכלת ממש ב-S איחוד עם {x}, כי x אינו שייך ל-S, וזאת בסתירה למקסימליות של S לגבי יחס ההכלה בין תתי הקבוצות הבת"ל של המודול M.
2. אוסף תתי הקבוצות הבת"ל של M הוא קבוצה סדורה חלקית (לגבי יחס ההכלה). לכל שרשרת של תתי קבוצות בת"ל של M, האיחוד של כולן הוא גם תת קבוצה בת"ל של M (מפני שכל צרוף לינארי של אברים מן האיחוד הוא סופי, מטבעו, ולכן *יש* תת קבוצה השייכת לשרשרת שמכילה את כל אברי הצרוף הלינארי. בפרט, אם צרוף לינארי לא טריוויאלי מאברי איחוד השרשרת היה מתאפס, הוא היה סותר את האי-תלות הלינארית של אותה תת קבוצה השייכת לשרשרת ומכילה את כל אברי הצרוף) ומהווה חסם של כל אברי השרשרת.
לכן, לפי '''הלמה של צורן''', ישנו אבר מקסימלי. כלומר, ישנה תת קבוצה בת"ל של M שהיא מקסימלית לגבי יחס ההכלה. אבל לפי 1, היא פורשת, ולכן מהווה בסיס. מכאן, שהמודול M הוא '''מודול חופשי'''.
הערה II: בהינתן תת קבוצה בת"ל של M ניתן להתבונן באוסף תתי הקבוצות של M שהן בת"ל ומכילות את M. גם שם ההוכחה תופשת, ומכאן שכל תת קבוצה בת"ל של M מוכלת בבסיס. זוהי תוצאה חזקה יותר מכך שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, וניתן לקבל את האחרונה מהראשונה על ידי בחירת הקבוצה הריקה כתת קבוצה של המודול שהיא בת"ל (ולכן מוכלת בבסיס).
הערה III: כל מודול מעל חוג עם חילוק הוא חופשי. עם זאת(אולי) במפתיע, אין ערובה לכך שדרגתו גם שם הדרגה מוגדרת היטב, וזאת בניגוד (בדומה למקרה של חוגים קומוטטיביים (ובפרט בשדותשהוצג בהרצאה).
הערה IV: לגבי מודולים מעל חוג כללי, קבוצה בת"ל L שהיא מקסימלית לגבי ההכלה היא 'פורשת ראשיוּת', כלומר, לכל x מן המודול יש a מן החוג כך ש-L פורשת את ax (הוכחה כמו של 1, עד לפני השלב שבו מחלקים ב-a). בפרט, בחוגים עם חילוק ניתן לחלק באותו a ולקבל פרישה במובן הרגיל. הערה V: נשים לב שהסתמכנו על אקסיומת הבחירה (בתחפושת הלמה של צורן) בהוכחה שכל מודול מעל שדה הוא חופשי. האם יכולנו להוכיח זאת ללא שימוש באקסיומת הבחירה? בלאס הוכיח, בשנות השמונים, כי אם מניחים שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, אפשר להוכיח (בעזרת האקסיומות של צרמלו פרנקל, וכמובן לא ללא אקסיומת הבחירה) את אקסיומת הבחירה. כך, הופכת הטענה כי כל מודול מעל שדה הוא חופשי לניסוח שקול לאקסיומת הבחירה במסגרת האקסיומטית של ZF ובפרט לא ניתן להוכיח את הטענה כי כל מודול מעל שדה הוא חופשי בלי להניח את אקסיומת הבחירה (במסגרת האקסיומטית הזאת).
להוכחתו של בלאס: http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf
:סחף
==שאלה==
תרגיל 10 הוא האחרון, נכון?
:כן.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 14:32, 3 ביוני 2012 (IDT)
==טעות בתרגיל 9?==
בתרגיל 9 בשאלה 6 צריך להראות שR1 הוא קבוצת האיברים השונים מ0 בR. זה לא תמיד נכון, לדוגמה אם R חוג פשוט שאינו שדה.
:יועלה תיקון בימים הקרובים.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 14:32, 3 ביוני 2012 (IDT)
::'''אם''' מניחים כי החוג קומוטטיבי, הכל תקין. גם לא דברנו עד כה על חוגים אוקלידיים שאינם קומוטטיביים (ליתר דיוק, שאינם תחומי שלמות).
:::בחלק הראשון של השאלה לא כתוב שR קומוטטיבי ואין שם קשר לאוקלידיות.
::::אמת. טענתך נכונה ויש אי דיוק בתרגיל; בסה"כ הובאה כאן הצעה לתיקון. מכאן, המתרגלים יחליטו איך לתקן.
:::::תיקון הועלה.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 09:49, 4 ביוני 2012 (IDT)
==שאלה לגבי מינוח==
האם במודול ציקלי הכוונה למודול מהצורה Ra, או למעשה חוג מנה מהצורה R מעל aR? (בהרצאה ובתרגול התייחסנו/הגדרנו את זה קצת שונה, אם הבנתי נכון..)
:מודול ציקלי הוא מודול מהצורה <math>R a</math>.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:45, 8 ביוני 2012 (IDT)
==תרגיל 10==
תרגיל 10 שאלה 2: מה השאלה בדיוק? להוכיח? הוכח/הפרך?
:צריך להוכיח.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:48, 8 ביוני 2012 (IDT)
==שאלה==
בעמוד של אלגברה מופשטת 3 היה לנו שיר נושא לקורס (http://bit.ly/Ldp9zf). אולי גם כאן יהיה?