שינויים
שאלה (מצטער על הבורות): מה ההגדרה של חבורה חיבורית ותת חבורה חיבורית? תודה וחג שמח!!!
:כזכור, החוג הוא מבנה הכולל קבוצה ('תשתית') ושני סמלי פונקציה, 'חבור' ו'כפל', כך שלגבי פעולת החבור מדובר בחבורה אבלית [ולגבי הכפל מדובר במונואיד (אם בלי יחידה, אגודה) ה'מודבק' בעזרת פלוג על החבור]. חבורה זו נקראת 'החבורה החבורית' של אותו חוג. בהתאמה, תת-קבוצה של התשתית, או של 'קבוצת החוג' (יש בעיה לומר 'תת קבוצה של חוג' כי החוג איננו קבוצה) המהווה תת-חבורה לגבי החבור של החבורה החבורית של החוג, תקרא תת-חבורה חבורית.
=== אידיאלים בחוג הפולינומים בשני משתנים ===
'''שאלה'''. "בהרצאה האחרונה הזכרת את החוג <math> \mathbb{C}[X,Y]</math> שבו יש פולינומים עם שני משתנים כאשר המקדמים שייכים לשדה המספרים המרוכבים. האם תוכל לומר לי בבקשה כיצד נראים איברי חוג המנה של החוג הזה מעל האידיאל <x^2+y^2-1>?
'''תשובה'''. פורמלית זו שאלה די קלה. <math>\ \mathbb{C}[X,Y] = \mathbb[X][Y]</math>, כלומר, חוג הפולינומים במשתנה Y, שהמקדמים שלהם בעצמם פולינומים במשתנה X. חוג המנה הוא ביחס לאידיאל הנוצר על-ידי <math>\ Y^2+(X^2-1)</math>, כלומר, בחוג המנה <math>\ Y^2 = 1-X^2</math>, ולכן אפשר להמיר כל חזקה זוגית של Y בפולינום ב-X, וכל חזקה אי-זוגית בכפולה של Y בפולינום כזה. לכן אפשר לכתוב כל איבר בחוג המנה (באופן יחיד) בצורה <math>\ f+gY</math> כאשר f,g פולינומים ב-X, והכפל הוא באופן המובן מאליו, עם החוק הנוסף <math>\ Y^2 = 1-X^2</math>.
אבל השאלה הנכונה היא לא "איך נראים האיברים", אלא מהו החוג. האם החוג הזה הוא תחום שלמות? שדה? נראה שהוא תחום שלמות אבל אינו שדה.
בחוגי פולינומים *מעל שדה* קל לטפל (כפי שעוד נלמד בהמשך), וגם במקרה שלנו כדאי להתחיל את התשובה בהכלה <math>\ \mathbb{C}[X][Y] \subset \mathbb{C}(X)[Y]</math>. היתרון הוא שעכשיו מדובר בפולינומים ב-Y, עם מקדמים מה*שדה* של הפונקציות הרציונליות ב-X. הפולינום שלנו אי-פריק מעל השדה הזה (אין לו שורשים שם: <math>\ \sqrt{1-X^2}</math> אינו פולינום), ולכן המנה <math>\ \mathbb{C}(X)[Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle</math> היא שדה. מכיוון שחוג המנה
<math>\ \mathbb{C}[X,Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle</math> מוכל בחוג הקודם, האידיאל שלנו ראשוני. אבל המנה אינה שדה, משום שהאידיאל הזה אינו מקסימלי: הוא מוכל למשל באידיאל המקסימלי <math>\ \langle X, Y-1\rangle</math> או ב-<math>\ \langle X-1, Y\rangle</math> (ובאינסוף אידיאלים מקסימליים אחרים). 23:23, 21 באפריל 2012 (IDT)
