שינויים
/* אידיאלים בחוג הפולינומים בשני משתנים */
'''שאלה'''. "בהרצאה האחרונה הזכרת את החוג <math> \mathbb{C}[X,Y]</math> שבו יש פולינומים עם שני משתנים כאשר המקדמים שייכים לשדה המספרים המרוכבים. האם תוכל לומר לי בבקשה כיצד נראים איברי חוג המנה של החוג הזה מעל האידיאל <x^2+y^2-1>?
'''תשובה'''. פורמלית זו שאלה די קלה. <math>\ \mathbb{C}[X,Y] = \mathbb[X][Y]</math>, כלומר, חוג הפולינומים במשתנה Y, שהמקדמים שלהם בעצמם פולינומים במשתנה X. חוג המנה הוא ביחס לאידיאל הנוצר על-ידי <math>\ Y^2+(X^2-1)</math>, כלומר, בחוג המנה מתקיים השוויון <math>\ Y^2 = 1-X^2</math>, ולכן אפשר להמיר כל חזקה זוגית של Y בפולינום ב-X, וכל חזקה אי-זוגית בכפולה של Y בפולינום כזה. לכן אפשר לכתוב כל איבר בחוג המנה (באופן יחיד) בצורה <math>\ f+gY</math> כאשר f,g פולינומים ב-X, והכפל הוא באופן המובן מאליו, עם החוק הנוסף <math>\ Y^2 = 1-X^2</math>.
אבל השאלה הנכונה היא לא "איך נראים האיברים", אלא מהו החוג. האם החוג הזה הוא תחום שלמות? שדה? נראה שהוא תחום שלמות אבל אינו שדה.
