שינויים
/* אידיאלים בחוג הפולינומים בשני משתנים */
בחוגי פולינומים *מעל שדה* קל לטפל (כפי שעוד נלמד בהמשך), וגם במקרה שלנו כדאי להתחיל את התשובה בהכלה <math>\ \mathbb{C}[X][Y] \subset \mathbb{C}(X)[Y]</math>. היתרון הוא שעכשיו מדובר בפולינומים ב-Y, עם מקדמים מה*שדה* של הפונקציות הרציונליות ב-X. הפולינום שלנו אי-פריק מעל השדה הזה (אין לו שורשים שם: <math>\ \sqrt{1-X^2}</math> אינו פולינום), ולכן המנה <math>\ \mathbb{C}(X)[Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle</math> היא שדה. מכיוון שחוג המנה
<math>\ \mathbb{C}[X,Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle</math> מוכל בחוג הקודם, הוא תחום שלמות, ולכן האידיאל שלנו ראשוני. אבל המנה אינה שדה, משום שהאידיאל הזה אינו מקסימלי: הוא מוכל למשל באידיאל המקסימלי <math>\ \langle X, Y-1\rangle</math> או ב-<math>\ \langle X-1, Y\rangle</math> (ובאינסוף אידיאלים מקסימליים אחרים). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:24, 21 באפריל 2012 (IDT)
=== שאלה על חוגים בלי יחידה ===
נניח ש-R חוג קומוטטיבי. כידוע, אידיאל הוא תת-חבורה הסופגת כפל מבחוץ. כלומר, היא צריכה להיות סגורה לחיבור, לפעולת הנגדי, ולכפל מבחוץ. מכיוון שלחוג יש איבר יחידה, הסגירות לכפל מבחוץ גוררת את הנגדי: <math>\ -a = (-1)\cdot a</math>.
אני מחפש דוגמא נגדית לטענה דומה עבור חוגים בלי יחידה. כלומר, מבוקשים חוג בלי יחידה R ותת-קבוצה לא ריקה I, הסגורה לחיבור ולכפל מבחוץ, אבל אינה אידיאל (משום שיש בה איבר a שהנגדי לו אינו ב-I). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:59, 21 באפריל 2012 (IDT)
