שינויים
/* הגדרות ומשפטים לבחינה */ פסקה חדשה
אני מסכם את ההרצאות של ד"ר הורוביץ ואת תרגוליו של מיכאל טויטו. את ההרצאות ניתן למצוא [http://www.studenteen.org/modern_analysis.pdf כאן], ואת סיכומי התרגולים ניתן למצוא [http://www.studenteen.org/modern_analysis_exercises.pdf כאן].
בהצלחה!
<br>
תרגול החזרה של היום: [http://www.studenteen.org/last_recitation.pdf כאן]. לצערי מכיל מספר טעויות ודברים חסרים, אך אין לי הזמן לתקן זאת. אתם מוזמנים גם להשתמש בדף פתרונות המבחנים שכבר הועלה כאן.
== תרגיל 1 שאלה 4 ==
שלום. היכן ניתן לראות תרגילים לדוגמה עם פתרונות , מעבר למה שמתרגלים בכיתה ,לנושאים שנלמדו?
:שלום. אני בטוח שבספרים על תורת המידה או אנליזה ממשית יש שאלות פתורות (צריכים להיות כמה כאלו בספריה). --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:08, 3 בנובמבר 2012 (IST)
שלום האם ניתן לומר שסיגמה מ 1 ועד אינסוף של קבוע כפול קבוצה המוכלת ב R ,הוא הקבוע כפול הסיגמה של הקבוצה?
: משהו לא מסתדר כאן. אין כוונה לסכום טורים של קבוצות. אם תוכלי לרשום זאת בכתיב מתמטי זה יעזור לי. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
האם מכאן נובע שקבוע כפול המידה של הקבוצה שווה למידה של הקבוע כפול הקבוצה?
: גם כאן אשמח לראות משוואות. אבל נראה לי שזאת שאלה שאסור לי לענות עליה. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
הסגור של הקטע הפתוח (a,b) הוא הקטע הסגור [a,b] האם הסגור של קבוצת הרציונליים בקטע (3,4] הוא הקטע הסגור [3,4]?
: נכון. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
==שאלה בנוגע למידה==
אם פונקציה חיובית <math>\mu</math> שמתאפסת על הקבוצה הריקה ומקיימת שלכל סדרה מתכנסת <math>(A_n)_{n=1}^{\infty}</math> מקיימת:
<math>\mu(\lim_{n \rightarrow \infty} A_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n)</math>
האם <math>\mu</math> כזו היא מידה? (ז"א האם היא <math>\sigma</math>-חיבורית?).
: איך את/ה מגדיר/ה התכנסות של סדרת '''קבוצות'''? --[[משתמש:Michael|Michael]] 15:03, 18 בנובמבר 2012 (IST)
:: מגדירים גבול עליון כקבוצת כל האיברים שנמצאים באינסוף סדרות וגבול תחתון כקבוצת כל האיברים
:: שנמצאים החל מאינדקס מסוים בכל הסדרות, ז"א:
:: <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m</math>
:: <math>\liminf_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m</math>
:: סדרה מתכנסת אם הגבול העליון שווה לתחתון (וערכם גם תהיה קבוצת הגבול). כרגיל גבול של סדרת קבוצות עולה הוא האיחוד ושל יורדת החיתוך. ז"א שאם <math>\mu</math> סגורה לגבולות אז היא גם סגורה לאיחודים וחיתוכים בני-מנייה. אבל האם יש לזה קשר לחיבוריות?
::: ראשית אציין שלא כל מידה זוכה לקיים תכונה זו: למשל מידת לבג <math>m</math> על <math>(\mathbb{R},\mathcal{L})</math>, עם סדרת הקבוצות <math>A_n=(n,\infty) \rightarrow \empty</math>. אני יכול להוכיח שאם <math>\mu</math> היא חיבורית '''סופית''', כלומר <math>\mu \left( \bigcup_{n=1}^N A_n \right)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n)</math> עבור קבוצות זרות בזוגות, ומקיימת את הדרישה שלך אזי היא תהיה גם <math>\sigma</math>-חיבורית:
:::<math>\mu \left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right)=\mu \left( \lim_{N \to \infty} \bigcup_{n=1}^N E_n \right)=\lim_{N \to \infty} \mu \left( \bigcup_{n=1}^N E_n \right)</math>
:::ועכשיו על פי חיבורית זה שווה ל <math>\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \mu\left(E_n\right)</math> - וזוהי בדיוק ההגדרה של הטור האינסופי <math>\sum_{n=1}^\infty \mu \left( E_n \right)</math>
::: אני חושב שבלי חיבוריות סופית אין תוצאה, אבל ליתר בטחון כדאי לשאול את ד"ר הורוביץ. --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:55, 21 בנובמבר 2012 (IST)
::: כן. למשל, פונקציה <math>\mu \equiv c</math> קבועה מקיימת את הנ"ל ואינה מידה, וכן אפשר להגדיר פונקציה שתהיה קבועה על אוספי קבוצות זרות וגם לדאוג שתקיים את השמירה על הגבול ולא תהיה מידה.
== תרגיל 4 שאלה 2א ==
גם שם אני רשאי להניח שהשיטות לחישוב אינטגרלים מאינפי עובדות? תודה.
: אין חובה לדרוש זאת, אבל אילו שיטות אתה צריך? --[[משתמש:Michael|Michael]] 19:49, 22 בנובמבר 2012 (IST)
::למשל המשפט היסודי (בעקרון אני לקחתי פונקציה שהיא חלקה למקוטעין, אך רציפה, ומורכבת מפונקציה קבועה וישר, ואז אני צריך לחשב את האינטגרל לחלק של הישר).
::טוב, אני כבר מבין שהסתבכתי (ושאין צורך בדרישה כזו, אם לוקחים פונק' רציפה למקוטעין כמו שהצעת). אעדכן בפתרונות שלי. תודה שוב.
== תרגול ==
ביום ה 13/12 יש תרגול כרגיל? תודה.
:יהיה תרגול חזרה, כלומר נפתור תרגילים מייצגים על החומר שראינו עד כה. (לא נמשיך מעבר למשפט ההתכנסות הנשלטת של לבג). --[[משתמש:Michael|Michael]] 01:31, 11 בדצמבר 2012 (IST)
== תרגיל 6, שאלה 3, סעיף א ==
על איזו קבוצה צריך לחשב את האינטגרל של הסדרה האינטגרבילית? <math>\mathbb N</math> או כל קבוצה ב־<math>\mathcal P(\mathbb N)</math>? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 19:30, 19 בדצמבר 2012 (IST)
: <math>\mathbb{N}</math> --[[משתמש:Michael|Michael]] 21:37, 19 בדצמבר 2012 (IST)
:ובאותה שאלה, לא זכור לי שלמדנו באף קורס איך לחשב את <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\zeta(2)</math> (ו[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%91%D7%96%D7%9C לפי ויקיפדיה], לקח כמעט 100 שנה לפתור את זה). איך אמורים לחשב את האינטגרל? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 22:27, 19 בדצמבר 2012 (IST)
: אתה צודק, אפשר להשאיר את התשובה בצורה של טור, בלי לחשב את הסכום שלו. שים לב שמדובר בטור '''מתחלף'''. --[[משתמש:Michael|Michael]] 00:07, 20 בדצמבר 2012 (IST)
== קבוצת קנטור ==
האם ניתן לרשום את Ck כאיחוד של הקטעים הבאים?
<math>\left \{ \left [ \frac{2n}{3^k},\frac{2n+1}{3^k} \right ] \mid n\in \mathbb{N} \wedge \frac{2n}{3^k}\in C \right \}</math>
או שיש דרך יותר סימפטית לתאר את Ck כאיחוד קטעים סגורים?
:על פניו נראה שהנוסחה שלך עובדת. אבל שים לב שאתה מתאר את (שלבי) קבוצת קנטור ע"י קבוצת קנטור. חיפשתי קצת באינטרנט ובוויקפדיה יש [http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set נוסחה מעניינת], אבל הקטעים שם לא זרים. לא מצאתי נוסחה מפורשת לקצוות הקטעים של <math>C_k</math>. --[[משתמש:Michael|Michael]] 21:37, 25 בדצמבר 2012 (IST)
== לגבי תרגיל 8 שאלה 1 ==
למה???
: אני חושב שתרגיל חישובי אחד יעזור לתפוס את המושג של השתנות. חוץ מזה לא עשיתם את "שימושי מחשב" לחינם! --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:45, 28 בדצמבר 2012 (IST)
::אז מותר לכתוב בכל סעיף "פתרתי ב-Mathlab והתוצאה הסופית היא ..."? ואם לא, מה אם אנחנו מציגים את הקוד? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 21:29, 30 בדצמבר 2012 (IST)
::: מותר לכתוב "פתרתי במטלב וכו'...". ומבחינתי אתה יכול לעשות את זה גם עם מחשבון casio אם יש לך כח. --[[משתמש:Michael|Michael]] 11:59, 31 בדצמבר 2012 (IST)
== תרגיל 9, שאלה 3 ==
מיכאל, כתבת שיש לחשב את <math>\int\limits_0^b \int\limits_0^\infty e^{-xy} \sin(x) \mathrm dy \mathrm dx </math> בשתי דרכים שונות. הכוונה שצריך להגיע פעמיים לתוצאה מפורשת או להגיע פעם אחת ל־<math>\int\limits_0^b\frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> ופעם שנייה לתוצאה מפורשת? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 18:32, 4 בינואר 2013 (IST)
: שלום אור. חישוב האינטגרל בשתי דרכים שונות הוא רק שלב ביניים. אתה רשאי לפעול איך שתרצה, העיקר הוא שתוכל להגיע לגבול המבוקש. --[[משתמש:Michael|Michael]] 17:42, 5 בינואר 2013 (IST)
== תרגיל 10, שאלה 1 ==
האם צריך לבחור באותו ממ״ח להוכחה ש־<math>L^r\not\subseteq L^p</math> וש־<math>L^p\not\subseteq L^r</math>? כלומר, האם מספיק להוכיח ש־<math>L^p(X,\mathcal S,\mu)\not\subseteq L^r(X,\mathcal S,\mu)</math> וש־<math>L^r(Y,\mathcal T,\nu)\not\subseteq L^p(Y,\mathcal T,\nu)</math> כאשר <math>(X,\mathcal S,\mu)\ne(Y,\mathcal T,\nu)</math>? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 19:23, 16 בינואר 2013 (IST)
: מותר לקחת שני ממ"ח שונים. --[[משתמש:Michael|Michael]] 22:08, 16 בינואר 2013 (IST)
== תרגול חזרה ==
הי מיכאל, בתרגול חזרה אתה מתכנן לפתור שאלות מהבחינות שאתה העלת לכאן? או דברים אחרים? אני שואל כדי שאדע מתי לעשות את הבחינות שהעלת. תודה מראש.
:שלום, התכנון הוא לפתור את כל השאלות (הרלוונטיות) מהמבחנים שבאתר. אם יישאר זמן אולי אחזור גם על התרגילים מהדף. --[[משתמש:Michael|Michael]] 19:46, 24 בינואר 2013 (IST)
== רציפות בהחלט של מידות ==
הגדרנו רציפות בהחלט של מידות? אם כן, תוכל להזכיר את ההגדרה? תודה.
: הגדרנו. מידה <math>\nu</math> נקראת רציפה בהחלט ביחס ל-<math>\mu</math> אם לכל <math>E</math> מדידה מתקיים <math>\mu(E)=0 \implies \nu(E)=0</math> --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:12, 27 בינואר 2013 (IST)
:: תודה רבה.
== הגדרות ומשפטים ==
אפשר להזכיר את ההגדרה של מידה סינגולרית ומידה כללית? ומהם המשפטים של אפיון קבוצות מדידות u x v ? תודה!
: ראה [http://www.studenteen.org/modern_analysis.pdf כאן] עמודים 19 ו92. לגבי אפיון קבוצות מדידות: אני חושב שזה משפט 9.7 בעמוד 68 - אך כדאי לשאול את המרצה --[[משתמש:Michael|Michael]] 17:07, 29 בינואר 2013 (IST)
== 0·∞ במידות מכפלה ==
בהנתן הממח״ים <math>(X,\mathcal S,\mu),\ (Y,\mathcal T,\nu)</math> כש־<math>E</math> מדידה <math>\mathcal S</math> ו־<math>F</math> מדידה <math>\mathcal T</math>, כיצד מוגדר הנפח של <math>E\times F</math> אם <math>\mu(E)=0\ \and\ \nu(F)=\infty</math>? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 21:12, 29 בינואר 2013 (IST)
:אמרנו בכיתה שבמקרה של אפס כפול אינסוף, נתייחס אליו כאפס.
:: גורדו צודק --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:13, 30 בינואר 2013 (IST)
== משפטי האפיון ==
ד״ר הורוביץ לא כתב אילו מהמשפטים נקראים משפטי האפיון, אז אני רוצה לוודא שאלה השמות הנכונים:
* '''משפט האפיון להשתנות חסומה:''' <math>f\in\text{BV}([a,b])</math> אם״ם יש <math>g,h</math> עולות בקטע כך ש־<math>f=g-h</math>.
* '''משפט האפיון לקבוצות מדידות <math>\omega=\mu\times\nu</math>:''' <math>E\subseteq X\times Y</math> מדידה אם״ם <math>\forall S\subseteq X\times Y:\ \omega^*(S)=\omega^*(S\cap E)+\omega^*(S\setminus E)</math>.
תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 14:32, 30 בינואר 2013 (IST)
:לגבי השתנות חסומה אתה צודק, לפי אפיון לקבוצות מדידות במרחב מכפלה, ראה משפט 9.7 בעמוד 68 ב[http://www.studenteen.org/modern_analysis.pdf סיכומיו של גיל] (מה שאני אומר מבוסס על דברי המרצה בשיעור החזרה).
:: שלום אור, גם כאן התשובה שקיבלת נכונה. שים לב שנתת את ההגדרה של קבוצה מדידה, ולא אפיון. --[[משתמש:Michael|Michael]] 21:06, 30 בינואר 2013 (IST)
== הגדרות ומשפטים לבחינה ==
מישהו יכול להזכיר את ההגדרות של:
1. פונקציות מידידות
2.מידת מכפלה
3.בסיס אורתונורמלי ואפיון בסיס אורתונורמלי?
תודה.
