שיחה:89-113 תשעג סמסטר ב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

דף 1-תרגיל 3

בשיעורי הבית, בתרגיל 3, יש אזהרה די מלחיצה שאומרת "ניקוד חלקי בלבד יינתן לחישוב ארוך מהדרוש" ניסיתי להבין לאיזה שיטה ניסיתם לרמוז לנו להשתמש בהתחלה דרגתי את המטריצה וקיוויתי להגיע לשורת אפסים וכו', אבל ראיתי שאני מתבחבש וחשבתי שזו לא הדרך פתרתי את השאלה ע"י הוספת שתי העמודות הראשונות מימין למטריצה - ואז חישוב סכום האלכסונים הראשיים פחות סכום האלכסונים המשניים (שיטה שראינו בתרגול בסמסטר הקודם , ומותר לעשות אותה כי מדובר במטריצה 3x3). האם שיטה זו נחשבת לחישוב הארוך המיותר, שרמזתם לו?

אשמח להבהרה בנושא

>>תנסה ע"י חיסור רק לבטל איקסים בשתי שורות(או עמודות), להפוך את החישוב לבעל פחות משתנים.

עדי

תרגיל 2

בשאלה 4 האם מספיק לרשום את העתקה שמצאתי או שעליי להוכיח שהיא גם לינארית?

>> לא צריך להוכיח לינאריות, רק למצוא את ההעתקה, כולל דרך מלאה למציאתה. עדי

R2[x]

זו מרחב הפולינומים מהצורה ax^2+bx+c? בבסיס של המרחב הזה יש 3 וקטורים?

תודה וחג שמח

כן. עדי

בהמשך לשאלה הקודמת

אם אני רוצה להוכיח ש

1

1+x

1+x+x^2

מהווה בסיס ל-R2[x], מספיק לי להוכיח שזו קבוצה בת"ל? או שנאי צריך להוכיח גם שהיא פורשת?

תודה

היות ומדובר ב-3 וקטורים מספיק להוכיח בת"ל, ולתת נימוק למה זה מספיק. עדי

שאלה 2 בתרגיל 2

אני רוצה לבדוק ש-T לינארית כאשר C מ"ו מעל C. לשם כך אני צריך לבדוק שמתקיים: T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)

וגם

T(alfa*v)=alfaT(v)

יש לי 2 שאלות:

ההבדל בין מ"ו C מעל C לבין מ"ו C מעל R מתבטא בדרישה השנייה בלבד?

כלומר במקרה של "מעל C", alfa יהיה מרוכב ובמקרה של מעל R alfa יהיה ממשי?

כן, ההבדל הוא בסקלרים. הוקטורים, היות ומוגדרים מעל C בשני המיקרים, ישארו מרוכבים. (באופן כללי,הרלוונטיות של "מעל F" היא כבר בהגדרה של המרחב הוקטורי, עוד לפני ההעתקה) עדי

ושאלה שנייה: כשאני בודק אם T(alfa*v)=alfa*T(v) במקרה ששואלים אם T לינארית כאשר C מ"ו מעל C, מה ההבדל בין v לבין alfa? יש הבדל בין סקלר מרוכב לווקטור מרוכב?

במקרה זה אין הבדל, היות והמרחב הוקטורי הוא השדה עצמו, אך זהו מקרה פרטי. וקטור מרוכב גם יכול להגיע מ $C^n,\ C^{nxn},C_n[x]$ וכו', אז יש הבדל בין השניים. עדי

תודה.

שאלה 1 תרגיל 3

למה V-->F^m העתקה לינארית? (m המימד של V)?

תודה

אני לא מבינה על איזו ה"ל מדובר, אין ה"ל בשאלה זו. עדי

שאלה 1 תרגיל 3

אם אני יודע ש: $a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0 <=> a_1[v_1]_B+...+a_n[v_n]_B=0$,

B בסיס של מ"ו V, אז אני יכול לומר שזה שקול ללהגיד: $v_1,...,v_n$ בת"ל <=> $[v_1]_B,...,[v_n]_B$ בת"ל?

אם כן , למה? אם לא, מה חסר לי בשביל להסיק את השורה האחרונה?

תודה!

ראשית, הוספתי כמה תיקונים בניסוח המקורי לפי מה שנראה לי שהיתה כוונתך, מקווה שזה תקין.

שנית, אם אכן לזאת הכוונה בשאלה, התשובה היא: כמעט. חסר לך המעבר מ-$a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0$ להיותם של $v_1,...,v_n$ בת"ל, והוא: $a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0$ רק כאשר $a_i=0\ \forall i$.

כלומר, אם תוכיח ש-

$(a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0=>a_i=0\ \forall i)<=>( b_1[v_1]_B+...+b_n[v_n]_B=0=>b_i=0\ \forall i)$

אז תוכל להסיק $v_1,...,v_n$ בת"ל <=> $v_1]_B,...,[v_n]_B]$ בת"ל.

לדוגמא עבור אחד הכיוונים: נניח שצירוף לינארי של $v_1,...,v_n$ מתאפס רק כאשר כל מקדם מתאפס. ניקח $a_1[v_1]_B+...+a_n[v_n]_B=0$ ונקווה לגלות ע"ס ההנחה שכל מקדם מתאפס. כנ"ל בכיוון ההפוך.

יתכן שהתכוונת בשורה הראשונה שצירוף לינארי לא טריו' מתאפס אמ"מ... ואז האחד ת"ל אמ"מ השני ת"ל ולכן האחד בת"ל אמ"מ השני בת"ל, אבל חשוב לציין שזה צירוף לא טריויאלי ושזה גורר תלות לינארית ולא אי תלות לינארית.

עדי

שאלה לגבי ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

למה כאשר מוצאים וקטורים עצמיים עבור ע"ע, יתקבל תמיד מרחב? כלומר למה יש אינסוף וקטורים עצמיים, עבור ערך עצמי מסוים?

תודה מראש.

מכיוון שעבור כל וקטור עצמי v עם ע"ע x וסקלר a:

$A(av)=a(Av)=a(xv)=x(av)$ ולכן גם av הוא ו"ע של אותו ע"ע.

באופן כללי עבור $v_1,...,v_k$ ו"ע שהתקבלו עבור ע"ע x וסקלרים $a_1,...,a_k$:

$A(a_1v_1+...+a_kv_k)=a_1Av_1+...+a_kAv_k=a_1xv_1+...+a_kxv_k=x(a_1v_1+...+a_kv_k)$

ולכן גם $(a_1v_1+...+a_kv_k)$ (הצירוף הלינארי שלהם) הוא ו"ע של אותו ע"ע.

עדי

ו"ע, ע"ע

אם מצאתי ע"ע כלשהו ואז מצאתי את המרחב העצמי המתאים לו וקבלתי שהמרחב הזה הוא מהצורה $s(-0.5,1,0)+t(0,0,1)$

כאשר t,s ממשיים.

האם אני יכול לומר שהמרחב העצמי הזה שקול למרחב העצמי מהצורה s(1,-2,0)+t(0,0,1) כלומר הכפלתי את הוקטור (0.5,1,0-) ב-2-.

האם מותר לי לעשות את זה? אם כן, למה? אני לא צריך להכפיל את שניי הוקטורים ב2-?..שוב, אם כן, למה..

תודה מראש

>>כל מה שנפרש ע"י וקטור בודד הוא מכפלה שלו בסקלר (כלומר "מתיחה וכיווץ" שלו), ולכן כל מה שנפרש ע"י v שקול לחלוטין למה שנפרש ע"י av עבור סקלר מהשדה מעליו מוגדר המרחב.

לכן, מרחב וקטורי הנפרש ע"י n וקטורים, נפרש גם ע"י כל מכפלה שלהם בסקלרים:

$\{v\in V\}=\{a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n:a_i\in F\ \forall i\}=\{\frac{a_1}{b_1}(b_1v_1)+\frac{a_2}{b_2}(b_2v_2)+...+\frac{a_n}{b_n}(b_nv_n):\frac{a_i}{b_i}\in F\ \forall i\}$

גם $\frac{a_i}{b_i}$ הם כל הסקלרים האפשריים ב-F מכיוון ש-F שדה: $F=\{x:x\in F\}=\{ax:x\in F\}_{a\in F}$.

כלומר המרחב אינו שקול, הוא ממש שווה.

בדוגמא שנתת הצירוף הלינארי $s(-0.5,1,0)+t(0,0,1)$, עבור כל סקלר s מהשדה, שווה ל- $-s/2(1,-2,0)+t(0,0,1)$ , עבור כל סקלר $-s/2$ מהשדה.

באשר לתפקידם כוקטורים עצמיים, ראה שאלה קודמת.

עדי

שאלה

להגיד שקבוצה היא לא פורשת מינימלית או להגיד שקבוצה היא תלויה לינארית זה טיעונים שקולים? או שבכלל אין קשר בין הטיעונים?

>>כן, אך מצריך נימוק הולם. בכל מקרה ע"מ להימנע מכפל משמעויות יש לומר "פורשת לא מינימלית", שיבינו שהיא"פורשת" אבל "לא מינימלית", ולא "לא פורשת".

עדי

אם U תת-מרחב של V ומתקיים dimU=dimV. האם ניתן להסיק מכך ש-U=V? אם כן, מדוע?

אם U תת-מרחב של V ומתקיים dimU=dimV. האם ניתן להסיק מכך ש-U=V? אם כן, מדוע?

(לא מתרגל): בסיס במרחב U הוא קבוצה בת"ל בV, וידוע כי מס' האיברים בבסיס של U שווה למימד של V. נקבל שזה בסיס לפי השלישי חינם.