שיחה:89-214 סמסטר א' תשעא

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

יש אפשרות לפרסם את דף השאלות שחולק בהתאמה לדף הפתרונות שפורסם?

שאלה 4 במבחן לדוגמא .

אנחנו כמה אנשים שלא הצלחנו לפתור את השאלה . נשמח לקבל עזרה!

ומה השאלה? עוזי ו. 21:11, 23 בפברואר 2011 (IST)


H,C,B ת"ח של חבורה G חבורות B,C נורמליות ב G , B מוכלת ב H

1. מצא העתקה חח"ע מ (H חיתוך C) מעל (B חיתוך C ) אל H מעל B

2. מצא העתקה על מ H/B אל HC/BC

3. האם התמונה של א זהה לגרעין של ב .


ממש תודה

הפתרון הוא לעשות רק מה שמוכרחים. בסעיף הראשון רוצים להגדיר העתקה מ-\ (H\cap C)/(B\cap C) אל \ H/B. כל איבר במקור הוא קוסט \ x(B\cap C), כאשר \ x\in H \cap C. יש לשלוח את הקוסט הזה אל קוסט של B, עם נציג מ-H. אבל רגע, \ x\in H לפי ההנחה, אז למה שלא נשלח \ x(B \cap C) \mapsto xB? זה מוגדר היטב כי הנציג שייך למקום הנכון, והגרעין של הקוסטים במקור (\ B\cap C) מוכל בגרעין של הקוסטים בתמונה (\ B); כלומר, החלפת הנציג לא תשנה את התוצאה. יותר מזה, הפונקציה היא חד-חד-ערכית כי אם \ xB=B אז \ x\in H\cap B ולכן הקוסט המקורי טריוויאלי.
הסעיף השני דומה. צריך להגדיר העתקה \ H/B\rightarrow HC/BC. שוב, נשלח \ xB \mapsto xBC. זה מוגדר היטב מאותן סיבות, ועל כי אפשר לכסות כל קוסט \ hcBC=hBC על-ידי \ hB.
התמונה של ההעתקה הראשונה היא \ \{xB : x\in H\cap C\} = ((H \cap C) B)/B, והגרעין של השניה הוא \ \{xB : x\in H, xBC=BC\} = (H \cap CB)/B. השניים שווים כי \ H \cap B\cdot C = (H \cap B) \cdot C; זו המודולריות של סריג תת-החבורות.
אפשר לראות את כל זה די בקלות אם מציירים את הסריג, ומפעילים את משפט האיזומורפיזם השני כדי להגיד ש-\ (H\cap C)/(B\cap C) \cong (H\cap C)B /B \leq H/B ו- \ HC/BC \cong H/(H\cap CB) \twoheadleftarrow H/B. עוזי ו. 00:05, 24 בפברואר 2011 (IST)

תודה רבה !