שינויים
/* איך מוכיחים \mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m}\cong \mathbb{Z}_{gcd(n,m)) \times \mathbb{Z}_{lcm(n,m)} */
* במשפט האיזומורפיזם הראשון אמרנו כי לכל הומומורפיזם <math>\ \phi : G \rightarrow H</math>, <math>\ G/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)</math>. האם גם הכיוון השני נכון? כלומר, האם זה נכון כי אם <math>G/N\cong K</math> אז קיים אפימורפיזם <math>\phi: G\rightarrow K</math> שהגרעין שלו הוא <math>N</math>? --[[משתמש:Shwarto|Shwarto]] 17:56, 5 בדצמבר 2010 (IST)
* לגבי '''תרגיל 7''', כתוב למעלה שהקבוצה של יום רביעי (קבוצה 5) צריכה להגיש את התרגיל עד ה-22/12 ואח"כ כתוב שעד 26/12 בשעה 12:00 לתא של מיכאל. מה נכון?
: ראשית, יש לדייק: השימוש באות P כדי לסמן מספר ראשוני עלול לבלבל. צריך להיות "כל חבורת-p אבלית איזומורפית למכפלה ישרה של חבורות-p ציקליות". "חבורת-p" (כאשר p הוא מספר ראשוני) היא חבורה שהסדר של כל איבר שלה הוא '''חזקה''' של p. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של p בעצמו. בפרט, חבורת-p ציקלית היא חבורה מהצורה <math>\ \mathbb{Z}_{p^m}</math> לאיזשהו m.
: אם כך, הטענה היא שכל חבורת-p אבלית איזומורפית למכפלה של חבורות-p ציקליות. מה לא ברור? [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 20 בינואר 2011 (IST)
:: למה יש צורך לציין כי מדובר בחבורת-p '''אבלית'''? האם לא כל חבורה שהיא מסדר חזקה של ראשוני היא איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{p}</math> ולכן אבלית?
::: כאשר משתמשים במושג "חבורת-p" הכוונה היא לחבורה שהסדר שלה הוא p^n, ולא כל חבורה מסדר זה היא אבלית (למשל, ראינו חבורות לא אבליות מסדר p^3: מטריצות משולשיות עליונות עם 1 באלכסון ושאר הכניסות ב- <math>\mathbb{Z}_{p}</math>). מיכאל.
::: יש לך בלבול כלשהו. ננסה לעשות סדר. מה שאנחנו יודעים זה שכל חבורה שהיא מסדר ראשוני היא ציקלית, ושכל חבורה ציקלית מסדר n איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{n}</math>, לכן יש חבורה יחידה מכל סדר p (ראשוני) והיא <math>\mathbb{Z}_{p}</math>. בנוגע לחזקות של ראשוניים (במקרה הכללי) אנחנו לא יודעים הרבה (כן הוכחנו כמה תוצאות, למשל שהמרכז הוא לא טריוואלי, אבל ממש לא אפיינו את כל החבורות האלה). את/ה שואל/ת "האם לא כל חבורה שהיא מסדר חזקה של ראשוני היא איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{p}</math> ולכן אבלית"? ודאי שלא! ראשית, איך חבורה שהיא מסדר חזקה של ראשוני יכולה להיות איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{p}</math>? למשל איך חבורה מסדר 9 יכולה להיות איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{3}</math>? באחת יש 9 איברים ובשניה 3 איברים! מעבר לזה, ראינו שיש 5 חבורות מסדר 8 (ו-8 זה 2 בחזקת 3 לכן 8 היא חבורת-p עם p=2), ששתיים מהן לא אבליות (<math>D_{4}</math> וחבורת הקווטרניונים). לסיכום במקרה הלא אבלי אנחנו לא יודעים הרבה. במקרה האבלי אנחנו יודעים הכל: לפי המשפט שציטטת בראשית דיון זה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:21, 22 בינואר 2011 (IST)
::::התכוונתי ''"כל חבורה שהיא מסדר חזקה של ראשוני היא איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{p^n}</math> ולכן אבלית"'', אבל אני מבין כעת שזו שטות גמורה בהנתן דוגמאות פשוטות כמו <math>D_{4}</math>. תודה.--[[מיוחד:תרומות/84.110.200.251|84.110.200.251]] 18:08, 23 בינואר 2011 (IST)
=== שאלה ===
U32 איזומורפי ל <3>*K.
האיבר 3 נבחר כי הוא מסדר האקספוננט,
איך בוחרים את התת חבורה הנוספת(את k)?
: ראשית, <math>\ K \neq k</math>.
: החבורה שלנו היא חבורת-2 (כלומר, חבורה שסדרה חזקה של 2; במקרה זה 16). מכיוון שהאיבר 3 מסדר השווה לאקספוננט, אפשר להפעיל את המשפט על פירוק של חבורה אבלית G למכפלה ישרה שאחד הגורמים שלה הוא חבורה ציקלית H מסדר האקספוננט (תמצית ההוכחה: בוחרים איבר מסדר p בחבורת המנה G/H, ומחליפים אותו באיבר מסדר p בחבורה G שאינו נמצא ב-H; האיבר הזה יוצר תת-חבורה Q. אחר-כך בונים את הפירוק הישר באינדוקציה בחבורה G/Q, ומרימים הכל ל-G). לחלופין, מכיוון שהסדר של 3 הוא 8, מספיק לבחור איבר מסדר 2 שאינו בתת-החבורה <math>\ \langle 3 \rangle</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 21:01, 22 בינואר 2011 (IST)
=== אוטומורפיזמים ===
*כאשר יש אוטומורפיזם מחבורה לעצמה שהוא לא הזהות האם בעצם מבחינה רעיונית זה אומר שיש 2 איברים או יותר שמתנהגים אותו הדבר אז אפשר להחליף בינהם?
: חסרה מלת קישור לפני "יש" או "אז". ("אם יש ... אז?", "יש ... ואז"?). תרגיל: מצאו את כל החבורות שבהן יש שני אברים שהחלפתם זה בזה (בלי לשנות אף איבר אחר) היא אוטומורפיזם. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 21:03, 22 בינואר 2011 (IST)
::*סליחה על הבלבול התכוונתי עם ו...אז.
::: אז אני לא יודע למה הכוונה ב"אפשר להחליף ביניהם". אוטומורפיזם הוא סימטריה של החבורה - ואם הוא מעביר איבר אחד לאיבר אחר (ופועל באותו זמן על כל שאר החבורה, כמובן), זה אומר שאין דרך לזהות ביניהם באמצעות "שאלות חבורתיות"; זו לא חוכמה גדולה, כי האינווריאנט היחיד של '''איבר בודד''' הוא הסדר שלו. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 02:04, 23 בינואר 2011 (IST)
=== קבוצה יוצרת ===
* אם עושים מתת-קבוצה S של חבורה G '''לא-אבלית''' קבוצה יוצרת (כמו שלמדנו) אז למה זה יוצא תת-חבורה? (אם G אבלית אני מבין)
:: כל תת-קבוצה (בכל חבורה) יוצרת, בהגדרה, את תת-החבורה הקטנה ביותר המכילה אותה. תת-החבורה הזו כוללת (בדיוק) את כל המכפלות שאפשר להרכיב מן הקבוצה היוצרת (והפכיהם), בכל סדר ובכל אורך שהוא. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 02:06, 23 בינואר 2011 (IST)
תודה, אבל השאלה שלי היא למה יש סגירות לפעולה?
: כי תת-החבורה הנוצרת היא, בהגדרה, '''תת-החבורה''' הקטנה ביותר המכילה את הקבוצה. הסבר חלופי: מדובר באוסף '''כל''' המכפלות; אם מכפילים שתי מכפלות זו בזו, מתקבלת כמובן מכפלה חדשה (אולי ארוכה יותר). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 20:35, 23 בינואר 2011 (IST)
=== מאפיין של שדה===
* כאשר נתון שדה עם סדר p בחזקת n,אז המאפיין הוא p.האם יוצא מז שכאשר מסתכלים על החבורה החיבורית של השדה,הסדר של כל איבר בשדה הוא p?
:: האקספוננט של החבורה החיבורית של שדה שווה למאפיין של השדה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 00:13, 24 בינואר 2011 (IST)
=== "מתכון" לאוטומורפיזם ===
הגדרנו לכל <math>g\in G</math> את הפונקציה <math>\gamma_{g}:G\rightarrow G</math> המוגדרת ע"י <math>\gamma_{g}(x)=gxg^{-1}</math> וטענו כי זה אוטומורפיזם. כמו כן, הגדרנו <math>\Gamma :G\rightarrow Aut(G)</math> לפי <math>\Gamma(g)=\gamma_{g}</math> וטענו כי <math>Inn(G)\doteq Im(\Gamma)\triangleleft Aut(G)</math>. האם נכון לומר כי הפונקציות <math>\gamma_{g}</math> אמנם מגדירות אוטומורפיזמים אך לא בהכרח את כל האוטומורפיזמים ולכן לא בהכרח מתקיים <math>Im(\Gamma)=Aut(G)</math>? כלומר, האופן בו הגדרנו את <math>\gamma_{g}</math> בסה"כ מגדיר לנו אוטומורפיזם אבל זו אינה שיטה לקבל את כל האוטומורפיזמים האפשריים.
אני מבין כי עבור חבורה אבלית זה לא חייב לתת את כל האוטומורפיזמים האפשריים כי לכל <math>g\in G</math> מתקיים <math>\gamma_{g} = Id</math> בעוד שאם לחבורה כזו יש יותר מיוצר אחד אז אפשר להעביר כל יוצר לכל יוצר אחר ואז לקבל אוטומורפיזם שונה - כלומר, לא רק את <math>Id</math>, אבל מה לגבי חבורות לא אבליות?
:: אתה צודק: לא בהכרח שחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים תהיה חבורת כל האוטומורפיזמים. בנוסף, אתה יודע שבחבורה לא אבלית, <math>G > Z(G)</math>, ולכן חבורת המנה <math>G/Z(G)</math> איננה טריוויאלית. אבל חבורה זו איזומורפית לחבורת האוטומור' הפנימיים, ולכן בחבורה לא אבלית תמיד יש אוטומורפיזמים פנימיים. אם אינני טועה, השאלה אם עבור חבורה לא אבלית <math>G</math> מתקיים <math>Inn(G) = Aut(G)</math> כבר תלויה בחבורה עצמה. למשל, <math>Inn(S_6) = S_6</math> (למה? מהו המרכז של <math>S_6</math>?) אבל <math>Aut(S_6)</math> יותר גדולה מחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (זו טענה שקצת יותר קשה להוכיח). מיכאל.
:: אכן, בדרך כלל יש אוטומורפיזמים לא פנימיים. לגבי "חבורות אבליות עם יותר מיוצר אחד", הדברים שכתבת אינם מדוייקים. לחבורה ציקלית מסדר n יש <math>\ \phi(n)</math> אוטומורפיזמים, אבל המקרה הכללי יותר מורכב. אי אפשר סתם-כך לשלוח "כל יוצר ליוצר אחר". [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:10, 24 בינואר 2011 (IST)
=== איך מוכיחים <math>\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m}\cong \mathbb{Z}_{gcd(n,m)} \times \mathbb{Z}_{lcm(n,m)}</math> ===
* איך מוכיחים: Zn*Zm איזומורפי ל- Z(n,m)*Zlcm(n,m)?
: זו שאלה לא קלה בכלל. נסמן <math>\ d = (n,m)</math>, ונכתוב <math>\ d = \alpha n + \beta m</math>. מתברר ש- <math>\ (i,j) \mapsto (i-j,\frac{\beta m i + \alpha n j}{d})</math> הוא איזומורפיזם <math>\ \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_{d} \times \mathbb{Z}_{\frac{nm}{d}}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:35, 24 בינואר 2011 (IST)
*הצלחתי להוכיח מוגדרת היטב וחח"ע אבל לא הצלחתי להוכיח על... אפשר כיוון להוכחה?
*: החבורות בשני האגפים הן מאותו סדר, כך שאם ההעתקה חד-חד-ערכית היא גם על. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:06, 22 בפברואר 2011 (IST)
=== שאלה על מרכזים של תמורות===
* באחת ההרצאות בכיתה, ניתנה הדוגמא כי <math>C_{S_4}\left ( (12)(34)\right ) = <(13)(24),(1324)></math>.
:הייתי מעוניין לדעת האם יש דרך לדעת את התשובה מבלי לרשום מפורשות את כל איברי S4 ולבדוק, או לחלופין כיצד הגענו לתשובה הזו. תודה.
יש כמה דרכים לחשב את המרכז של תמורה בחבורת הסימטריות. הדרך הקלה ביותר בדרך כלל היא להשתמש בחישוב על הצמדה, שלפיו כדי ש-x יתחלף עם (12)(34), צריך להתקיים השוויון <math>\ (12)(34) = (x(1) x(2)) (x(3) x(4))</math>. מכיוון שבשני האגפים מופיעים מחזורים זרים והפירוק למחזורים זרים הוא יחיד, ה"פתרון" למשוואה הזו הוא או <math>\ (12)=(x(1)x(2)), (34)=(x(3),x(4))</math> או להיפך; ובכל מקרה יש ארבעה פתרונות ל-x. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:04, 22 בפברואר 2011 (IST)
=== ציון בקורס ===
האם צריך ציון עובר במבחן ובתרגול בנפרד, או שאם ביחד זה עובר אז זה מספיק (למרות שבמבחן הציון פחות מ-60)?
: הציון הקובע הוא הממוצע המשוקלל. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:04, 22 בפברואר 2011 (IST)
== תרגיל 1 ==
שים לב - הרעיון העומד בבסיס התשובה הוא שהחבורה <math>Z_n</math> והחבורה <math><x : x^n=1></math> איזומורפיות (שלח את היוצר של <math>Z_n</math> (למשל 1) ל- <math>x</math>), אבל אינך יכול לומר ש-<math>x</math> הוא מספר בין 0 ל-<math>n-1</math> (מיכאל פרידמן).
== תרגיל 9 ==
* אפשר בבקשה להעלות פתרונות לתרגילים 9-10, ככה שנספיק לעבור עליהם לפני המבחן? תודה!
== פתרונות לחוברת התרגילים ==
שלום פרופ' וישנה
תוכל בבקשה לפרסם את קובץ הפתרונות של ספר התרגילים שכתבת בעבורינו. זה יעזור מאוד לקראת הבחינה...
תודה
: אין לי פתרונות כתובים שלא פרסמתי, ואני לא חושב שאספיק לפתור 1200 שאלות עד מחר. אני יכול לפתור שאלות שיצטטו כאן, במספר סביר. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 20:33, 23 בינואר 2011 (IST)
