שינויים
/* איך מוכיחים \mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m}\cong \mathbb{Z}_{gcd(n,m)) \times \mathbb{Z}_{lcm(n,m)} */
: כי תת-החבורה הנוצרת היא, בהגדרה, '''תת-החבורה''' הקטנה ביותר המכילה את הקבוצה. הסבר חלופי: מדובר באוסף '''כל''' המכפלות; אם מכפילים שתי מכפלות זו בזו, מתקבלת כמובן מכפלה חדשה (אולי ארוכה יותר). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 20:35, 23 בינואר 2011 (IST)
=== מאפיין של שדה===
* כאשר נתון שדה עם סדר p בחזקת n,אז המאפיין הוא p.האם יוצא מז שכאשר מסתכלים על החבורה החיבורית של השדה,הסדר של כל איבר בשדה הוא p?
:: האקספוננט של החבורה החיבורית של שדה שווה למאפיין של השדה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 00:13, 24 בינואר 2011 (IST)
=== "מתכון" לאוטומורפיזם ===
הגדרנו לכל <math>g\in G</math> את הפונקציה <math>\gamma_{g}:G\rightarrow G</math> המוגדרת ע"י <math>\gamma_{g}(x)=gxg^{-1}</math> וטענו כי זה אוטומורפיזם. כמו כן, הגדרנו <math>\Gamma :G\rightarrow Aut(G)</math> לפי <math>\Gamma(g)=\gamma_{g}</math> וטענו כי <math>Inn(G)\doteq Im(\Gamma)\triangleleft Aut(G)</math>. האם נכון לומר כי הפונקציות <math>\gamma_{g}</math> אמנם מגדירות אוטומורפיזמים אך לא בהכרח את כל האוטומורפיזמים ולכן לא בהכרח מתקיים <math>Im(\Gamma)=Aut(G)</math>? כלומר, האופן בו הגדרנו את <math>\gamma_{g}</math> בסה"כ מגדיר לנו אוטומורפיזם אבל זו אינה שיטה לקבל את כל האוטומורפיזמים האפשריים.
אני מבין כי עבור חבורה אבלית זה לא חייב לתת את כל האוטומורפיזמים האפשריים כי לכל <math>g\in G</math> מתקיים <math>\gamma_{g} = Id</math> בעוד שאם לחבורה כזו יש יותר מיוצר אחד אז אפשר להעביר כל יוצר לכל יוצר אחר ואז לקבל אוטומורפיזם שונה - כלומר, לא רק את <math>Id</math>, אבל מה לגבי חבורות לא אבליות?
:: אתה צודק: לא בהכרח שחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים תהיה חבורת כל האוטומורפיזמים. בנוסף, אתה יודע שבחבורה לא אבלית, <math>G > Z(G)</math>, ולכן חבורת המנה <math>G/Z(G)</math> איננה טריוויאלית. אבל חבורה זו איזומורפית לחבורת האוטומור' הפנימיים, ולכן בחבורה לא אבלית תמיד יש אוטומורפיזמים פנימיים. אם אינני טועה, השאלה אם עבור חבורה לא אבלית <math>G</math> מתקיים <math>Inn(G) = Aut(G)</math> כבר תלויה בחבורה עצמה. למשל, <math>Inn(S_6) = S_6</math> (למה? מהו המרכז של <math>S_6</math>?) אבל <math>Aut(S_6)</math> יותר גדולה מחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (זו טענה שקצת יותר קשה להוכיח). מיכאל.
:: אכן, בדרך כלל יש אוטומורפיזמים לא פנימיים. לגבי "חבורות אבליות עם יותר מיוצר אחד", הדברים שכתבת אינם מדוייקים. לחבורה ציקלית מסדר n יש <math>\ \phi(n)</math> אוטומורפיזמים, אבל המקרה הכללי יותר מורכב. אי אפשר סתם-כך לשלוח "כל יוצר ליוצר אחר". [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:10, 24 בינואר 2011 (IST)
=== איך מוכיחים <math>\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m}\cong \mathbb{Z}_{gcd(n,m)} \times \mathbb{Z}_{lcm(n,m)}</math> ===
* איך מוכיחים: Zn*Zm איזומורפי ל- Z(n,m)*Zlcm(n,m)?
: זו שאלה לא קלה בכלל. נסמן <math>\ d = (n,m)</math>, ונכתוב <math>\ d = \alpha n + \beta m</math>. מתברר ש- <math>\ (i,j) \mapsto (i-j,\frac{\beta m i + \alpha n j}{d})</math> הוא איזומורפיזם <math>\ \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_{d} \times \mathbb{Z}_{\frac{nm}{d}}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:35, 24 בינואר 2011 (IST)
*הצלחתי להוכיח מוגדרת היטב וחח"ע אבל לא הצלחתי להוכיח על... אפשר כיוון להוכחה?
*: החבורות בשני האגפים הן מאותו סדר, כך שאם ההעתקה חד-חד-ערכית היא גם על. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:06, 22 בפברואר 2011 (IST)
=== שאלה על מרכזים של תמורות===
* באחת ההרצאות בכיתה, ניתנה הדוגמא כי <math>C_{S_4}\left ( (12)(34)\right ) = <(13)(24),(1324)></math>.
:הייתי מעוניין לדעת האם יש דרך לדעת את התשובה מבלי לרשום מפורשות את כל איברי S4 ולבדוק, או לחלופין כיצד הגענו לתשובה הזו. תודה.
יש כמה דרכים לחשב את המרכז של תמורה בחבורת הסימטריות. הדרך הקלה ביותר בדרך כלל היא להשתמש בחישוב על הצמדה, שלפיו כדי ש-x יתחלף עם (12)(34), צריך להתקיים השוויון <math>\ (12)(34) = (x(1) x(2)) (x(3) x(4))</math>. מכיוון שבשני האגפים מופיעים מחזורים זרים והפירוק למחזורים זרים הוא יחיד, ה"פתרון" למשוואה הזו הוא או <math>\ (12)=(x(1)x(2)), (34)=(x(3),x(4))</math> או להיפך; ובכל מקרה יש ארבעה פתרונות ל-x. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:04, 22 בפברואר 2011 (IST)
=== ציון בקורס ===
האם צריך ציון עובר במבחן ובתרגול בנפרד, או שאם ביחד זה עובר אז זה מספיק (למרות שבמבחן הציון פחות מ-60)?
: הציון הקובע הוא הממוצע המשוקלל. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:04, 22 בפברואר 2011 (IST)
== תרגיל 1 ==
