שינויים
שדות סופיים
'''סיכום'''. מספר חיובי הוא מחלק משותף מקסימלי של a ו-b אם ורק אם הוא מחלק משותף גדול ביותר שלהם. את המחלק המשותף המשותף הזה, מסמנים <math>\ d = (a,b)</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 17:06, 1 בנובמבר 2011 (IST)
== בניית שדה מסדר q ==
* '''בעיה'''. נניח ש- <math>\ q = p^n</math> היא חזקה של ראשוני p. בנה שדה בן q אברים.
'''הערה 1'''. הפתרון התאורטי שהוצג בשעור פשוט להפליא: בחר שדה המפצל את הפולינום <math>\ x^q-x</math> מעל השדה <math>\ \mathbb{Z}_p</math>; אוסף השורשים של הפולינום בשדה זה הוא שדה מסדר q. עם זאת, בניית שדה מפצל באופן מפורש דורשת עבודה רבה, ורצוי להכיר גם בניות מפורשות יותר.
'''הערה 2'''. הראינו בכתה שאם f פולינום אי-פריק ממעלה n מעל <math>\ \mathbb{Z}_p</math>, אז "חוג המנה" <math>\ \mathbb{Z}_p[x]/\mathbb{Z}_p[x]f(x)</math>, הוא שדה מסדר q. האברים של חוג המנה הזה הם הקוסטים של כל הפולינומים ממעלה קטנה מ-n. כלומר, צירופים ליניאריים של <math>\ \bar{1}, \bar{x}, \bar{x}^2, \dots, \bar{x}^{n-1}</math>, כאשר <math>\ \bar{x}</math> הוא סימון מקוצר לקוסט <math>\ x+\mathbb{Z}_p[x]f(x)</math>. בין הקוסטים האלה יש פעולות של חיבור וכפל מודולו f, המבוצעות על-ידי חיבור וכפל הנציגים, ומעבר לשארית בחלוקה ל-f במקרה הצורך. זוהי, אם כך, בניה מפורשת להפליא: ברגע שנדע מהו הפולינום f, נוכל לכתוב את לוח החיבור והכפל של השדה מסדר q בקלות רבה.
'''הערה 3'''. אמרנו (ולא הוכחנו) שיש שדה יחיד מכל סדר אפשרי q. מכאן שאם f,g שניהם פולינומים אי-פריקים ממעלה n מעל השדה מסדר p, אז השדות <math>\ \mathbb{Z}_p[x]/\mathbb{Z}_p[x]f(x)</math> ו- <math>\ \mathbb{Z}_p[x]/\mathbb{Z}_p[x]g(x)</math> איזומורפיים (כלומר, יש התאמה חד-חד-ערכית ועל ביניהם, השומרת על החיבור והכפל). שימו לב שהעתקה זו *אינה* מעבירה את הקוסט של x אל הקוסט של x.
'''למה''' (שלא הוכחנו): מעל כל שדה סופי, קיים פולינום אי-פריק מכל מעלה.
הלמה אינה *מספקת* פולינום כזה, אבל היא מבטיחה שהוא קיים - וכך יוצאים למסע החיפושים בלב קל ובוטח.
'''פתרון'''. כדי למצוא שדה מסדר q, כל שעלינו לעשות בעקבות הערה 2 (והלמה) הוא למצוא פולינום אי-פריק ממעלה n מעל השדה מסדר p. אפשר למצוא פולינום כזה בדרכים שונות. למשל, וריאציה על "הנפה של ארטוסתנס" - לאחר שעורכים רשימה של כל הפולינומים ממעלה עד n, פוסלים בזה אחר זה את כל הכפולות של הפולינומים מן הרשימה. פולינום שלא נמחק, חזקה עליו שיהיה אי-פריק. הלמה מבטיחה שתהליך זה יושלם בהצלחה.
'''דוגמא'''. נמצא את כל הפולינומים האי-פריקים ממעלה 3 מעל השדה בגודל 2. יש רק שני פולינומים ממעלה 1, ארבעה ממעלה 2, ושמונה ממעלה 3. לאחר שמוחקים מרשימת שמונה הפולינומים ממעלה 3 את ארבע הכפולות של x ואת ארבע הכפולות של x+1, נותרים בדיוק שניים (מדוע): <math>\ x^3+x+1, x^3+x^2+1</math>. לכן <math>\ \mathbb{Z}_2[x]/\mathbb{Z}_2[x](x^3+x+1)</math> הוא שדה מסדר 8. (כדי לבדוק שהבנתם את השדה, חשבו למשל את כל החזקות של x).
