<math>\mathbb{Z}_{4}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}X \times \mathbb{Z}_{2}</math> .
<math>\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math>.
אם עושים עכשיו מכפלה קרטזית בין כל אחת משתיי החבורות שיתקבלו מהגורם הראשון, לבין כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים 10 חבורות.
מהמכפלה של <math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}</math> עם כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים את החבורות:
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math> \mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3} \cong \mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{18}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math> (*)
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math>
לחבורה (*) יש אקספוננט 18 ולאחרות אין? החבורה שמסומנת ב-(*) היא התשובה לשאלה?
:הפירוק של החבורה שהצגת הוא מדויק, ונותר רק לחשב את האקספוננט של כל פירוק שכזה. אקספוננט של חבורה הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של כל סדרי איבריה. במקרה שפרקת את החבורה להצגה קנונית, כפי שעשית כאן, הרי שהחישוב הוא קל: לכל גורם ראשוני p בוחרים את החזקה המקסימלית שלו שמופיעה בפירוק, ומכפילים הכל. במקרה שלנו מתקיים <math>18=2^13^2</math>, ולכן אנו מחפשים פירוק שבו החזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, ושל 3 תהיה 2. כדי שהחזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, עלינו לבחור את <math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math>, כי האפשרות השניה נותנת חזקה גבוהה יותר, <math>2^2</math>. בדומה, מבין חמש האפשרויות של חבורה אבלית מסדר 81 עלינו לבחור את זו שבה הסדר הגדול ביותר הוא 9, דהיינו '''אחת''' משתי האפשרויות <math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. בסך הכל מצאנו שתי תשובות אפשריות: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. חיים רוזנר 05:00, 26 בינואר 2014 (EST)
== צורה קנונית ==
אפשר אולי לתת דוגמה מסויימת..?
:צורה קנונית של חבורה אבלית סופית G היא הצגה של חבורה איזומופירת ל-G כמכפלה קרטזית של חבורות ציקליות מסדרים שהם חזקת ראשוני: <math>G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{n_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{n_2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_k^{n_k}}</math>, עבור <math>p_j</math> ראשוניים, לאו דווקא שונים זה מזה, ועבור <math>n_j</math> טבעיים. לפי משפט המיון לחבורות אבליות סופיות, קיימת הצגה אחת כזו, עד כדי החלפת סדר הגורמים במכפלה הקרטזית (<math>\times</math>). דוגמא אפשר לראות בשאלה הקודמת; שם גם ניתן לראות כיצד היא מסייעת בפתרון שאלות לגבי חבורות אבליות סופיות. חיים רוזנר 05:08, 26 בינואר 2014 (EST)
== שאלה ==
<math>g^{t}N=(gN)^t=N</math> ??
:באמת נראה לי שרצו לכתוב שם <math>(gN)^t=g^tN=N</math>. אם כך הוא הדבר, הרי שהמעבר הראשון מוצדק מתכונות של חבורת המנה, דהיינו מכך ש-N נורמלית. המעבר השני מוצדק מכך ש-<math>g^{t}\in N</math>, בלי קשר להיות t הזה מינימלי. חיים רוזנר 05:15, 26 בינואר 2014 (EST)
== מספר שאלות ==
האם נכון להגיד שלכל חבורה בעולם יש תת-חבורה ציקלית?
:כן. ראשית, החבורה הטריוויאלית {e} היא ציקלית. בנוסף, אם יש לי איבר g בחבורה, הרי שהוא יוצר איזושהי חבורה ציקלית, והיא ת"ח של G.
בנוסף, האם יש שיטה מהירה לחשב אקספוננט של חבורת אוילר? לדוגמה, מה הEXP של U30?
:לא מכיר שיטה כזו. השיטה שלי היא להשתמש במשפט המיון, וזה לא נראה לי האלגוריתם היעיל ביותר.
עוד שאלה, האם הEXP של U12 x U3 הוא פשוט הLCM של 12 ו3? האם הכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית של שתי חבורות? (תמיד עשינו את זה עבור Z).
:לא. <math>exp(U_{12}\times U_3)=lcm(exp(U_{12}),exp(U_3))</math>, והכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית: <math>exp(G\times H)=lcm(exp(G),exp(H))</math>. אנחנו השתמשנו עד כה רק בעבור חבורות ציקליות, ושם באמת זה הרבה יותר קל. חיים רוזנר 05:33, 26 בינואר 2014 (EST)
תודה.
== סדרי האיברים בSn ==
ראינו בתרגול שלחבורה הסימטרית S4 , הסדרים האפשריים של איברים בה הם רק 1,2,3, ו4.
האם זה נכון תמיד שלכל חבורה Sn, הסדרים האפשריים הם מ1 ועד n?
:לא. האיבר (1 2 3)(4 5) הוא איבר מסדר 6 ב-S5. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== הצגת תמורה כמכפלה של חלופים ==
בתרגול העברנו תמורה כמכפלה של מחזורים זרים למכפלה של חילופים באופן הבא:
(1 2 4) (3 5 6 7) = (1 2)(2 4)(3 5)(5 6)( 6 7)
עם זאת, בתרגיל 8, בשאלה 1, בפתרון שהצעתם, השתמשתם בטכניקה שונה בה לקחתם את האיבר הראשון במחזור כאיבר שמאפשר חילחול בחילופים.
ניסיתי גם שם את הטכניקה הראשונה שראינו בתרגול וקיבלתי 6 חילופים.
האם זה משנה באיזו טכניקה אני משתמש?
כי החילופים יוצאים שונים... אך מספר החילופים זהה.
:שתי הטכניקות טובות. בשתיהן אמור להתקבל אותו מספר חילופים, כי כל מחזור מאורך r מוצג כמכפלה של r-1 חילופים בשתי הטכניקות. בעיקרון, מספר החילופים איננו קריטי; אולם לא יכול להיות שהצגה אחת תהיה על ידי מספר חילופים זוגי והאחרת על ידי מספר חילופים אי-זוגי. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== גודל המרכז Z והמרכז C ==
האם נכון לומר שגודל המרכז <math>Z(G)</math> תמיד לפחות 1 (כי e מתחלף עם כל איברי G)?
:כן. אמרנו את זה בכיתה. גם אמרנו שזו חבורה (נורמלית ב-G), ולחבורה יש לפחות איבר אחד.
ולכן גם בכל חבורה יש לפחות מחלקת צמידות אחת (שמכילה את e בלבד)?
:כן.
והאם נכון לומר שגודל המרכז <math>C_G(a)</math> של איבר a הוא תמיד לפחות 2 (כי a מתחלף עם איבר היחידה ועם עצמו)?
:אם <math>a \neq e</math>, אז אכן מצאת כאן שני איברים שונים במְרַכֵּז של a. למעשה, ניתן להראות כי במרכז יש לפחות שני איברים גם עבור e, ובתנאי ש-G איננה החבורה הטריוויאלית. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
תודה.
== איזומורפיזם בין Sn לDn ==
ראינו בתרגול שיש איזומורפיזם בין S3 לD3.
האם תמיד קיים איזומורפיזם בין Sn לDn?
:לא. מספר האיברים שונה, לכל n גדול מ-3. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== איזומורפיזם בין מכפלות קרטזיות ==
האם Z2 X Z2 X Z2 X Z4 איזומורפית ל Z2 X Z4 X Z4?
שתיהן חבורות אבליות מסדר 32, לא ציקליות, ובעלות אקספוננט זהה (4).
האם הן איזומורפיות?
:לא. שתי הוכחות לכך:
:א. מספר האיברים מסדר 2 שונה בשתי החבורות האלו. (חשבו!)
:ב. לחבורה מימין יש ת"ח איזומורפית ל- Z2 X Z2 X Z2 X Z2, הלוא היא הת"ח Z2 X Z2 XZ2 X 2Z4. מנגד, לחבורה השמאלית אין ת"ח מסדר 16 ואקספוננט 2.
:באופן כללי, הצגה בצורה קנונית היא '''יחידה''', עד כדי סדר הגורמים במכפלה. הצגה קנונית היא הצגה של חבורה אבלית סופית כמכפלה של Zq-ים שונים, כאשר כל q הוא חזקה של ראשוני. תמיד, כאשר מגיעים לנצגה כזו, שתי חבורות עם הצגה שונה אינן איזומורפיות, ונתן להראות זאת כמו שהראיתי לעיל - למנות כמה איברים יש מכל סדר, ולעבור על הת"ח השונות, מתישהו תימצא ת"ח של חבורה אחת שאין לה ת"ח איזומורפית באחרת.חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== תמורות מתחלפות ==
האם התמורות t = (1 4) (2 5) (3 6) ו q = (1 2 3) (4 5 6) מתחלפות?
ביצעתי הרכבה משני הצדדים, וקיבלתי: (6 2 4 3 5 1)
ולכן הן מתחלפות.
האם אני צודק?
:אם חישבת את tq ואת qt, ומצאת את אותה התמורה - אז הן מתחלפות. אינני לוקח אחריות על טעויות חישוב. בהצלחה. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)