שינויים
האם זה נכון תמיד שלכל חבורה Sn, הסדרים האפשריים הם מ1 ועד n?
:לא. האיבר (1 2 3)(4 5) הוא איבר מסדר 6 ב-S5. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== הצגת תמורה כמכפלה של חלופים ==
בתרגול העברנו תמורה כמכפלה של מחזורים זרים למכפלה של חילופים באופן הבא:
(1 2 4) (3 5 6 7) = (1 2)(2 4)(3 5)(5 6)( 6 7)
עם זאת, בתרגיל 8, בשאלה 1, בפתרון שהצעתם, השתמשתם בטכניקה שונה בה לקחתם את האיבר הראשון במחזור כאיבר שמאפשר חילחול בחילופים.
ניסיתי גם שם את הטכניקה הראשונה שראינו בתרגול וקיבלתי 6 חילופים.
האם זה משנה באיזו טכניקה אני משתמש?
כי החילופים יוצאים שונים... אך מספר החילופים זהה.
:שתי הטכניקות טובות. בשתיהן אמור להתקבל אותו מספר חילופים, כי כל מחזור מאורך r מוצג כמכפלה של r-1 חילופים בשתי הטכניקות. בעיקרון, מספר החילופים איננו קריטי; אולם לא יכול להיות שהצגה אחת תהיה על ידי מספר חילופים זוגי והאחרת על ידי מספר חילופים אי-זוגי. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== גודל המרכז Z והמרכז C ==
האם נכון לומר שגודל המרכז <math>Z(G)</math> תמיד לפחות 1 (כי e מתחלף עם כל איברי G)?
:כן. אמרנו את זה בכיתה. גם אמרנו שזו חבורה (נורמלית ב-G), ולחבורה יש לפחות איבר אחד.
ולכן גם בכל חבורה יש לפחות מחלקת צמידות אחת (שמכילה את e בלבד)?
:כן.
והאם נכון לומר שגודל המרכז <math>C_G(a)</math> של איבר a הוא תמיד לפחות 2 (כי a מתחלף עם איבר היחידה ועם עצמו)?
:אם <math>a \neq e</math>, אז אכן מצאת כאן שני איברים שונים במְרַכֵּז של a. למעשה, ניתן להראות כי במרכז יש לפחות שני איברים גם עבור e, ובתנאי ש-G איננה החבורה הטריוויאלית. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
תודה.
== איזומורפיזם בין Sn לDn ==
ראינו בתרגול שיש איזומורפיזם בין S3 לD3.
האם תמיד קיים איזומורפיזם בין Sn לDn?
:לא. מספר האיברים שונה, לכל n גדול מ-3. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== איזומורפיזם בין מכפלות קרטזיות ==
האם Z2 X Z2 X Z2 X Z4 איזומורפית ל Z2 X Z4 X Z4?
שתיהן חבורות אבליות מסדר 32, לא ציקליות, ובעלות אקספוננט זהה (4).
האם הן איזומורפיות?
:לא. שתי הוכחות לכך:
:א. מספר האיברים מסדר 2 שונה בשתי החבורות האלו. (חשבו!)
:ב. לחבורה מימין יש ת"ח איזומורפית ל- Z2 X Z2 X Z2 X Z2, הלוא היא הת"ח Z2 X Z2 XZ2 X 2Z4. מנגד, לחבורה השמאלית אין ת"ח מסדר 16 ואקספוננט 2.
:באופן כללי, הצגה בצורה קנונית היא '''יחידה''', עד כדי סדר הגורמים במכפלה. הצגה קנונית היא הצגה של חבורה אבלית סופית כמכפלה של Zq-ים שונים, כאשר כל q הוא חזקה של ראשוני. תמיד, כאשר מגיעים לנצגה כזו, שתי חבורות עם הצגה שונה אינן איזומורפיות, ונתן להראות זאת כמו שהראיתי לעיל - למנות כמה איברים יש מכל סדר, ולעבור על הת"ח השונות, מתישהו תימצא ת"ח של חבורה אחת שאין לה ת"ח איזומורפית באחרת.חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== תמורות מתחלפות ==
האם התמורות t = (1 4) (2 5) (3 6) ו q = (1 2 3) (4 5 6) מתחלפות?
ביצעתי הרכבה משני הצדדים, וקיבלתי: (6 2 4 3 5 1)
ולכן הן מתחלפות.
האם אני צודק?
:אם חישבת את tq ואת qt, ומצאת את אותה התמורה - אז הן מתחלפות. אינני לוקח אחריות על טעויות חישוב. בהצלחה. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
