:כעת, סדר החבורה הוא <math>10\cdot 10=100</math>. כדי שהיא תהיה ציקלית אנחנו צריכים למצוא איבר שיוצר את החבורה, דהיינו איבר שמקיים, לכל n קטן מ-100 <math>n\cdot (a,b)\neq(0,0)</math>. אבל לכל איבר בחבורה זו מתקיים <math>10\cdot(a,b)=(0,0)</math>, ולכן אין איבר יוצר שכזה. המסקנה היא שהחבורה '''איננה''' ציקלית. [[משתמש:חיים רוזנר|חיים רוזנר]] ([[שיחת משתמש:חיים רוזנר|שיחה]]) 04:26, 18 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה סדרי איברים בחבורת אוילר ==
נתונה החבורה <math>U_{20}= \left \{ 1,3,7,9,11,13,17,19 \right \} </math> שעוצמתה 8.
כיצד אני בודק האם קיים בה איבר מסדר 8? אפשר בבקשה להדגים את הבדיקה על איבר אחד או שניים מתוך הקבוצה הזו?
:יש שתי דרכים להראות שאיבר g בחבורה G איננו מסדר n. הדרך הראשונה היא להראות ש-<math>g^n\neq 1</math>, והדרך השניה היא למצוא <math>m<n</math> המקיים <math>g^m=1</math>. במקרה שלנו ברור שלכל איבר בחבורה מתקיים, לפי לגרנז', <math>g^8=1</math>, ולכן כנראה עלנו ללכת בדרך השניה. ניתן להראות כי כל איבר בחבורה מקיים, עבור <math>4<8</math>, <math>g^4=1</math>. לדוגמא, <math>3^4=81\equiv_{20}1</math>. לכן הסדר של האיבר <math>3</math> איננו <math>8</math>. בחלק מהמקרים אפשר להראות זאת גם עבור <math>g^2</math> או <math>g^6</math>, ובמקרה מסויים גם עבור <math>g^1</math>. [[משתמש:חיים רוזנר|חיים רוזנר]] ([[שיחת משתמש:חיים רוזנר|שיחה]]) 04:41, 18 בדצמבר 2013 (EST)
שאלה שנייה:
אם לא קיים בחבורה איבר מסדר 8, מדוע נובע מכך שהחבורה אינה ציקלית?
:ההגדרה של חבורה ציקלית היא חבורה שאיבר מאיבריה יוצר אותה לבדו. סדר של איבר הוא סדר החבורה הציקלית שהוא יוצר. אם g היה יוצר חבורה ציקלית מסדר 8 אז הסדר שלו כאיבר היה 8; לכן, מכך שהסדר שלו איננו 8 נובע שהוא איננו יוצר חבורה מסדר זה. [[משתמש:חיים רוזנר|חיים רוזנר]] ([[שיחת משתמש:חיים רוזנר|שיחה]]) 04:41, 18 בדצמבר 2013 (EST)