הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>
<math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left | x \right |+c</math>.
=== דף אינטגרלים ===
=== השלמה לריבוע ===
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>\arctan</math>.
==== דוגמה ====
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=\arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math>
== אינטגרציה בחלקים ==
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int \ln\ x \ dx</math>.
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=\ln\ x</math>.
לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
<math>\int \ln\ x \ dx=x\cdot \ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot \ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot \ln\ x-x+c</math>.
=== הרחבה ===
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot \sin\ x\cdot \cos\ x\ dx=\sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=\sin^2 x</math>. מקבלים:
<math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=\ln\left ( a+u \right )+c=\ln(a+\sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
=== הרחבה ===
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.
נזכור כי <math>1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+\tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>.
נקבל בנוסף <math>\cos\ x=2\cdot \cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.
לכן <math>\sin\ x=\sqrt{ 1-\cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
כמו כן, <math>x=2\cdot \arctan\ u</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.
=== דוגמה ===
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx</math>
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+\tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
=== הרחבה ===
קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות <math>f\left (x\right )=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן חמישה:
=== מצב ראשון <math>\deg\ p=\deg\ q-1</math> ===
במצב כזה, <math>\deg\ q'=\deg\ p</math>, לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg\ h<\ \ deg\ q-1</math>. נקבל:
<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\ \frac{h+q'}{c}\ }{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{1}{c}\cdot \ln|q|</math>. עוברים למצב הבא.
=== מצב שני <math>\deg\ p<\deg\ q-1</math> ===
מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הזה]].
=== מצב שלישי <math>\deg\ p\ge \deg\ q</math> ===
מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.