שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיטות אינטגרציה

נוספו 3,931 בתים, 13:52, 15 במרץ 2019
another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
== אינטגרציה "רגילה" מיידית==אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>לדוגמא: <math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left (| x \right |)+cC</math>.
=== השלמה לריבוע ===[[מדיה:אינטגרלים.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה==אינטגרציה בחלקים==לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>arctan</math>.אנו מקבלים:
<math>\int f'g==== דוגמה ====f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
===דוגמא===<math>\int\frac{1}{ln(x^2+x+1\frac{1}{4}})dx</math>
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנהלפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)</math> . נקבל:
לכן נקבל <math>\int\frac{1}{f(x^2+)=x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{,\left g'(x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2x} \right )+c</math>.
== לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים ==, נקבל:
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR><math>\int{f'g}\ln(x)dx=fgx\ln(x)-\intx\cdot\frac{fg'1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int ln\ x \ dx</math>.[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=ln\ x</math>.אינטגרציה בהצבה==לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
לכן נקבל <math>\int f(g(x)=x</math>, <math>)\cdot g'(x)dx=\frac{1}{F(g(x}))+C</math>(ניתן לוודא על-ידי גזירה).
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:===דוגמא===<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
נבצע הצבה<math>u=\int ln\ sin^2(x )\ dx</math> ולכן <math>du=x\cdot ln2\ sin(x-)\int cos(x\cdot \frac{1}{x}\ )dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ sin(2x)dx=x\cdot ln\ x-x+c</math>.
=== הרחבה ===מקבלים:
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math> , לכן אין צורך בערך מוחלט).
== אינטגרציה בהצבה ==
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR><math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
=== דוגמה פונקציה רציונאלית==על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.*נבצע פירוק לשברים חלקיים.*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
נחפש ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את <math>\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>האלגוריתם המלא.
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow uהצבות אוניברסאליות=sin^2 x</math>='''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה. מקבלים:
<math>\int \frac{sin\leftהצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (2x \right עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
=== הרחבה ===*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
[[שיטת ==ההצבה|הרחבה]]הטריגונומטרית האוניברסלית==בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .
נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)= ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית =\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב נקבל בנוסף <math>u\cos(x)=tan2\cos^2\left (\frac{x}{2}\right )-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.
נזכור כי 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}, ונקבל cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}.לכן:
נקבל בנוסף cos<math>\ sin(x)=2\dcot sqrt{1-\cos^2\left ( \frac{x)}{2} \right )-1=2\cdot\fracsqrt{1}{1+u^2}-1=\left(\frac{2-1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-u2u^2+u^4}{1+u2u^2+u^4}.}=</math>
לכן sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.ובדרך אחרת:
<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}= דוגמה ===\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx</math>ולכן מתקיים
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u\sin(x)=tan\left tan(\frac{x}{2})\right cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>. נקבל:
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> . לסיכום, <math>u= הרחבה \tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> ===דוגמא===<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math> נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל: <math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math> <math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math> 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 
==הצבות אוילר==
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
 
===אוילר 1 - הפולינום פריק===
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .
 
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
 
====דוגמא====
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
 
 
נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .
 
 
לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .
 
 
לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .
 
 
בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
 
מקבלים:
 
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
 
===אוילר 2 - פולינום יותר כללי===
ישנן שתי אפשרויות:
# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .
# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
 
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
 
====דוגמא====
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
 
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math> .
 
 
נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math> , כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math> .
 
 
לכן <math>dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ,
 
 
וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> .
 
מקבלים:
 
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>
 
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 
==סיכום==
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''
Evyatar531
עריכה אחד
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מיוחד:השוואה_ניידת/33127...80438