בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
== אינטגרציה "רגילה" מיידית==אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>לדוגמא: <math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left (| x \right |)+cC</math>.
=== השלמה לריבוע ===[[מדיה:אינטגרלים.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה==אינטגרציה בחלקים==לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>arctan</math>.אנו מקבלים:
<math>\int f'g==== דוגמה ====f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
===דוגמא===<math>\int\frac{1}{ln(x^2+x+1\frac{1}{4}})dx</math>
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנהלפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)</math> . נקבל:
לכן נקבל <math>\int\frac{1}{f(x^2+)=x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{,\left g'(x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2x} \right )+c</math>.
== לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים ==, נקבל:
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR><math>\int{f'g}\ln(x)dx=fgx\ln(x)-\intx\cdot\frac{fg'1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int ln\ x \ dx</math>.[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=ln\ x</math>.אינטגרציה בהצבה==לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
לכן נקבל <math>\int f(g(x)=x</math>, <math>)\cdot g'(x)dx=\frac{1}{F(g(x}))+C</math>(ניתן לוודא על-ידי גזירה).
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:===דוגמא===<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
נבצע הצבה<math>u=\int ln\ sin^2(x )\ dx</math> ולכן <math>du=x\cdot ln2\ sin(x-)\int cos(x\cdot \frac{1}{x}\ )dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ sin(2x)dx=x\cdot ln\ x-x+c</math>.
=== הרחבה ===מקבלים:
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math> , לכן אין צורך בערך מוחלט).
== אינטגרציה בהצבה ==
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR><math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
=== דוגמה פונקציה רציונאלית==על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.*נבצע פירוק לשברים חלקיים.*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
נחפש ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את <math>\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>האלגוריתם המלא.
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow uהצבות אוניברסאליות=sin^2 x</math>='''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה. מקבלים:
<math>\int \frac{sin\leftהצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (2x \right עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
=== הרחבה ===*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
[[שיטת ==ההצבה|הרחבה]]הטריגונומטרית האוניברסלית==בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .
נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)= ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית =\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב נקבל בנוסף <math>u\cos(x)=tan2\cos^2\left (\frac{x}{2}\right )-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.
נזכור כי <math>1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>.לכן:
נקבל בנוסף <math>cos\ sin(x)=2\cdot sqrt{1-\cos^2\left ( \frac{x)}{2} \right )-1=2\cdot\fracsqrt{1}{1+u^2}-1=\left(\frac{2-1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-u2u^2+u^4}{1+u2u^2+u^4}}=</math>.
לכן <math>sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.ובדרך אחרת:
<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}= דוגמה ===\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx</math>ולכן מתקיים
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u\sin(x)=tan\left tan(\frac{x}{2})\right cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>. נקבל:
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx== הרחבה ===\frac{2}{1+u^2}du</math> .
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]לסיכום, <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>
== פירוק לשברים חלקיים =דוגמא===<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה 1 ובמכנה שלה פולינום, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרדנעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייהנציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .נקבל:
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמה]]<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>
<math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}= הצבות אוילר =-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
=== אוילר 1 - הפולינום פריק ===[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
נניח כי הפולינום ==הצבות אוילר==הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>ax^2+bx+cx</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )}</math>.
הצבת ===אוילר: נציב 1 - הפולינום פריק===נניח כי הפולינום <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> פריק (אפשר גם את השורש השנימעל הממשיים, כמובן). נביע את נסמן <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=a(x-\alpha)(x-\beta)</math>.
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}==== דוגמה ====u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
====דוגמא====<math>\int\frac{1dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
מקבליםנעזר בהצבת אוילר:נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6== אוילר u^2 (x- פולינום יותר כללי ==1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .
ישנן שתי אפשרויות:
# בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>.
# בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>.
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את לכן <math>dx</math> ואת <math>=\sqrtfrac{ax2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2+bx+c}du</math>.
==== דוגמה ====
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math> ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>(x^2-7x+61)=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\left(\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )u^2-1}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 1\right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u5u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7-1}</math>.
מקבלים:
<math>\int\frac{1dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+-6}{2u+7u^2-1} \ cdot\frac{5u}\cdot {u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-2\int\frac {2du}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{xu^2-7x+6}-x \right |+c</math>כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
=== הרחבה אוילר 2 - פולינום יותר כללי===ישנן שתי אפשרויות:# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
[[מדיה:09Infi2Universalנביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .pdf|הרחבה]]
== פונקציה רציונאלית ==דוגמא====<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>f\left (x\right )=\fracsqrt{p(x)^2-7x+6}{q(=x)}+u</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן חמישה:
=== מצב ראשון: <math>deg\ p=deg\ q-1</math> ===
במצב כזה, נעלה בריבוע ונקבל <math>deg\ q'x^2-7x+6=deg\ px^2+2xu+u^2</math>, לכן קיים קבוע כלומר <math>c</math> שעבורו <math>hx=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>deg\ h<edg\ qfrac{6-1u^2}{2u+7}</math>. נקבל:
<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\ \frac{h+q'}{c}\ }{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+ln|q|</math>. עוברים למצב הבא.
=== מצב שני: לכן <math>degdx=\ p<degfrac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\ q-1frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ===,
מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הזה]].
=== מצב שלישי: וכן <math>deg\ psqrt{x^2-7x+6}=x+u=\ge degfrac{6-u^2}{2u+7}+u=\ qfrac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> ===.
מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.מקבלים:
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du= -\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math> [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה ===]]
==סיכום=='''[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאליתמדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|הרחבהדף מסכם]]'''
