בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
== אינטגרציה "רגילה" מיידית==אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>לדוגמא: <math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left (| x \right |)+cC</math>.
=== דף [[מדיה:אינטגרלים ===.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]
[[מדיה==אינטגרציה בחלקים==לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]
<math>\int f'g=== השלמה לריבוע ===f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-===דוגמא===<math>arctan\int\ln(x)dx</math>.
לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=== דוגמה ====\ln(x)</math> .
לכן נקבל <math>f(x)=x\int,\frac{1}{g'(x^2+x+1)=\frac{1}{4}x}dx</math>.
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
<math>\int\frac{1}{ln(x^2+)dx=x+1\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{4}x}dx=x\int\frac{1}{\left ln(x+)-\frac{int 1}{2} \right )^2+1},dx=arctanx\left ln(x+\frac{1}{2} \right )-x+cC</math>
== אינטגרציה בחלקים ==
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR><math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
=== דוגמה =אינטגרציה בהצבה==לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
נחפש את <math>\int ln\ f(g(x ))\ cdot g'(x)dx=F(g(x))+C</math>(ניתן לוודא על-ידי גזירה).
לפי השיטה, נסמן ===דוגמא===<math>f'\left int\frac{\sin(x 2x)}{a+\right sin^2(x)=1}dx</math>, כאשר <math>g(x)=ln\ xa>0</math>.
לכן נקבל נבצע הצבה<math>fu=\sin^2(x)=x\</math>, ולכן <math>g'du=2\sin(x)=\frac{1}{cos(x})dx=\sin(2x)dx\</math>.
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבלמקבלים:
<math>\int ln\ x frac{\ sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=x\cdot ln\ x-\int x\cdot \frac{1du}{xa+u}\ dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ dx(a+u)+C=x\cdot ln\ big(a+\sin^2(x-x)\big)+cC</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
=== הרחבה ===
[[אינטגרציה בחלקיםשיטת ההצבה|הרחבה]]
== אינטגרציה בהצבה פונקציה רציונאלית==על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.*נבצע פירוק לשברים חלקיים.*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR><math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על ידי גזירה)פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.
=== דוגמה =הצבות אוניברסאליות=='''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
נחפש את <math>\int \frac{sin\leftהצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (2x \right )}{a+sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)
נבצע הצבה*[[מדיה: <math>du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=sin^2 x</math>09Infi2Universal. מקבלים:pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\int \frac{sintan\left(2x \right )}frac{a+sin^2 x}dx=\int \frac{12}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}= הרחבה ===\frac{1}{1+u^2}</math> .
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]נקבל בנוסף <math>\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math> .
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==לכן:
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u\sin(x)=tan\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left (\frac{x1-u^2}{1+u^2}\right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>.
נזכור כי <math>1+tan^2\alpha=sqrt{\frac{1}{cos+2u^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>cos+u^2 \left 4-( \frac{x1-2u^2+u^4)}{(1+u^2} \right )^2}}=\sqrt{\frac{14u^2}{(1+tanu^2)^2}}=\left ( sqrt{\frac{x(2u)^2}{(1+u^2} \right )^2}}=\frac{12u}{1+u^2}</math>.
נקבל בנוסף <math>cos\ x=2\cdot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.ובדרך אחרת:
לכן <math>sin\ x=tan(\sqrtfrac{ 1-cos^2 x }{2})=\sqrtfrac{1-\left sin(\frac{1-u^2x}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\cos(\frac{1-2u^2+u^4x}{1+2u^2+u^4})}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left cdot \sin(1-2u^2+u^4 \right )frac{x}{\left ( 1+u^2 \right })^2}}=\sqrt{cdot \cos(\frac{4u^x}{2})}{2 \left ( 1+ucos^2 (\right )^frac{x}{2})}=\sqrt{\frac{\left sin( 2u \right x)^2}{\left ( 1+u^2 \right )cos^2}}=(\frac{2ux}{1+u^2})}</math>
כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ u</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.מתקיים
<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})== דוגמה ===\frac{2u}{1+u^2}</math>
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx</math>
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב כמו כן, <math>ux=tan2\left arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{x2}{1+u^2}\right )du</math>. נקבל:
לסיכום, <math>u=\inttan\left(\frac{1x}{2+2}\cdot sinright);\ \cos(x}dx)=\int\frac{1}{-u^2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}};\cdot \frac{2}{1+u^2}dusin(x)=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du;\ x=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left arctan(u+1\right )^2}du=-;\frac{1}{u+1}+cdx=-\frac{12}{1+tan\left (\frac{x}{u^2}\right )}+cdu</math>
=== הרחבה דוגמא===<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>
[[מדיה:09Infi2Universalנעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית.pdf|הרחבה]]נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du= פירוק לשברים חלקיים ==\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייה.<math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמה]]
== הצבות אוילר ==[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
==הצבות אוילר==הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
=== אוילר 1 - הפולינום פריק ===נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .
נניח כי הפולינום הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> פריק (מעל הממשיים, כמובןאפשר גם את השורש השני). נסמן נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )}</math>.
הצבת אוילר: נציב ====דוגמא====<math>\sqrtint\frac{ax^2+bx+cdx}=u\cdot\left ({x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{axx^2-7x+bx+c6}}</math>.
==== דוגמה ====
נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=u(x-1)</math>.
ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
מקבלים: לכן <math>\int\frac{(x-1}{)(x\sqrt{x^2-7x+6}}dx)=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2(x-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים. === אוילר 2 - פולינום יותר כללי === ישנן שתי אפשרויות:# בהינתן <math>a>0</math>, נציב כלומר <math>\sqrt{axx-6=u^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot (x+u</math>.# בהינתן <math>c>0-1)</math>, נציב ומכאן <math>x=\sqrtfrac{axu^2+bx+c-6}=xu+\sqrt{cu^2-1}</math>.
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=== דוגמה ====\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>(x^2-7x+61)=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\left(\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )u^2-1}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 1\right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u5u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7-1}</math>.
מקבלים:
<math>\int\frac{1dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+-6}{2u+7u^2-1} \ cdot\frac{5u}\cdot {u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-2\int\frac {2du}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{xu^2-7x+6}-x \right |+c</math>כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
=== הרחבה אוילר 2 - פולינום יותר כללי===ישנן שתי אפשרויות:# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
[[מדיה:09Infi2Universalנביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .pdf|הרחבה]]
== פונקציה רציונאלית ==דוגמא====<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>f\left (x\right )=\fracsqrt{p(x)^2-7x+6}{q(=x)}+u</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן חמישה:
=== מצב ראשון <math>deg\ p=deg\ q-1</math> ===
במצב כזה, נעלה בריבוע ונקבל <math>deg\ q'x^2-7x+6=deg\ px^2+2xu+u^2</math>, לכן קיים קבוע כלומר <math>c</math> שעבורו <math>hx=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>deg\ h<\ deg\ qfrac{6-1u^2}{2u+7}</math>. נקבל:
<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\ \frac{h+q'}{c}\ }{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{1}{c}\cdot ln|q|</math>. עוברים למצב הבא.
=== מצב שני לכן <math>degdx=\ p<degfrac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\ q-1frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ===,
מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הזה]].
=== מצב שלישי וכן <math>deg\ psqrt{x^2-7x+6}=x+u=\ge degfrac{6-u^2}{2u+7}+u=\ qfrac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> ===.
מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.מקבלים:
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du= הרחבה ==-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>
[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|הרחבה]]
== סיכום ==[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
==סיכום==
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''