שינויים

== אינטגרציה "רגילה" מיידית==אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>לדוגמא: <math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left (| x \right |)+cC</math>.

=== דף [[מדיה:אינטגרלים ===.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]

[[מדיה==אינטגרציה בחלקים==לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]

<math>\int f'g=== השלמה לריבוע ===f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-===דוגמא===<math>\arctanint\ln(x)dx</math>.

לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=== דוגמה ====\ln(x)</math> .

לכן נקבל <math>f(x)=x\int,\frac{1}{g'(x^2+x+1)=\frac{1}{4}x}dx</math>.

ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

<math>\int\frac{1}{ln(x^2+)dx=x+1\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{4}x}dx=x\int\frac{1}{\left ln(x+)-\frac{int 1}{2} \right )^2+1},dx=x\arctan\left ln(x+\frac{1}{2} \right )-x+cC</math>

=== דוגמה =אינטגרציה בהצבה==לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

נחפש את <math>\int \ln\ f(g(x ))\ cdot g'(x)dx=F(g(x))+C</math>(ניתן לוודא על-ידי גזירה).

לפי השיטה, נסמן ===דוגמא===<math>f'\left int\frac{\sin(x 2x)}{a+\right sin^2(x)=1}dx</math>, כאשר <math>g(x)=\ln\ xa>0</math>.

לכן נקבל נבצע הצבה<math>fu=\sin^2(x)=x\</math>, ולכן <math>g'du=2\sin(x)=\frac{1}{cos(x})dx=\sin(2x)dx\</math>.

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבלמקבלים:

<math>\int \lnfrac{\ x sin(2x)}{a+\ sin^2(x)}dx=x\cdot \ln\ x-\int x\cdot \frac{1du}{xa+u}=\ dxln(a+u)+C=x\cdot \ln\ x-big(a+\int 1\ dx=sin^2(x)\cdot \ln\ x-xbig)+cC</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).

[[אינטגרציה בחלקיםשיטת ההצבה|הרחבה]]

== אינטגרציה בהצבה פונקציה רציונאלית==על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.*נבצע פירוק לשברים חלקיים.*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR><math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על ידי גזירה)פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.

=== דוגמה =הצבות אוניברסאליות=='''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

נחפש את <math>\int \frac{\sin\leftהצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (2x \right )}{a+\sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

נבצע הצבה*[[מדיה: <math>du=2\cdot \sin\ x\cdot \cos\ x\ dx=\sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=\sin^2 x</math>09Infi2Universal. מקבלים:pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\int \frac{\sintan\left(2x \right )}frac{a+\sin^2 x}dx=\int \frac{12}{a+u}du=\ln\left ( a+u \right )+c=\ln(a+\sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).

נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}= הרחבה ===\frac{1}{1+u^2}</math> .

[[שיטת ההצבה|הרחבה]] == ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית == בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב נקבל בנוסף <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נזכור כי <math>1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+\tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>. נקבל בנוסף <math>\cos\ x=2\cdot \cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{12}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.

<math>\sin\ (x)=\sqrt{ 1-\cos^2 (x )}=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>

<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>

<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}= דוגמה ===\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>

ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u\sin(x)=\tan\left (\frac{x}{2})\right cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>. נקבל:

כמו כן, <math>\int\frac{1}{u^x=2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left arctan(u+1)\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+cRightarrow\ dx=-\frac{12}{1+\tan\left (\frac{x}{u^2}\right )}+cdu</math>.

לסיכום, <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)= הרחבה =\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u== פירוק לשברים חלקיים ==\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]

==הצבות אוילר= =הצבות אוילר 1 מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- הפולינום פריק ===<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .

===אוילר 1 - הפולינום פריק===נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )</math>.

הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.

==== דוגמה דוגמא====<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>

ניעזר נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math>

לכן <math>\int\frac{(x-1}{)(x\sqrt{x^2-7x+6}}dx)=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2(x-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים. === אוילר 2 - פולינום יותר כללי === ישנן שתי אפשרויות:# בהינתן <math>a>0</math>, נציב כלומר <math>\sqrt{axx-6=u^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot (x+u</math>.# בהינתן <math>c>0-1)</math>, נציב ומכאן <math>x=\sqrtfrac{axu^2+bx+c-6}=xu+\sqrt{cu^2-1}</math>.

לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=== דוגמה ====\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>(x^2-7x+61)=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\left(\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )u^2-1}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 1\right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u5u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7-1}</math>.

<math>\int\frac{1dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+-6}{2u+7u^2-1} \ cdot\frac{5u}\cdot {u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-2\int\frac {2du}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{xu^2-7x+6}-x \right |+c</math>כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

=== הרחבה אוילר 2 - פולינום יותר כללי===ישנן שתי אפשרויות:# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .

[[מדיה:09Infi2Universalנביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .pdf|הרחבה]]

== פונקציה רציונאלית ==דוגמא====<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>

קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>f\left (x\right )=\fracsqrt{p(x)^2-7x+6}{q(=x)}+u</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן חמישה:

במצב כזה, נעלה בריבוע ונקבל <math>\deg\ q'x^2-7x+6=\deg\ px^2+2xu+u^2</math>, לכן קיים קבוע כלומר <math>c</math> שעבורו <math>hx=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg\ h<\ \deg\ qfrac{6-1u^2}{2u+7}</math>. נקבל:

=== מצב שני לכן <math>dx=\degfrac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\ p<cdot\deg\ q-1frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ===,

=== מצב שלישי וכן <math>\degsqrt{x^2-7x+6}=x+u=\ pfrac{6-u^2}{2u+7}+u=\ge frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\deg\ qfrac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> ===.

<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du= הרחבה ==-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>