שינויים

== אינטגרציה "רגילה" מיידית==אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>לדוגמא: <math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left (| x \right |)+cC</math>.

=== דף [[מדיה:אינטגרלים ===.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]

[[מדיה==אינטגרציה בחלקים==לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]

<math>\int f'g=== השלמה לריבוע ===f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-===דוגמא===<math>\arctanint\ln(x)dx</math>.

לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=== דוגמה ====\ln(x)</math> .

<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math> ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. לכן נקבל: <math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left f(x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=\arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math> == אינטגרציה בחלקים == לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR><math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה). === דוגמה === נחפש את <math>\int \ln\ x \ dx</math>. לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=\ln\ x</math>. לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.

<math>\int \ln\ (x \ )dx=x\cdot \ln\ (x)-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot \ln\ (x)-\int 1\ ,dx=x\cdot \ln\ (x)-x+cC</math>.

== אינטגרציה בהצבה ==לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR><math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+cC</math> (ניתן לוודא על -ידי גזירה).

=== דוגמה דוגמא===<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .

נחפש את נבצע הצבה<math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+u=\sin^2 (x}dx)\</math> כאשר ולכן <math>a>0du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>.

נבצע הצבה: <math>du=2\cdot \sin\ x\cdot \cos\ x\ dx=\sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=\sin^2 x</math>. מקבלים:

<math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 (x)}dx=\int \frac{1du}{a+u}du=\ln\left ( a+u \right )+cC=\ln\big(a+\sin^2 (x)\big)+cC</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).

== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית פונקציה רציונאלית==על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.*נבצע פירוק לשברים חלקיים.*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

בהינתן ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.

נזכור כי <math>1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+\tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}הצבות אוניברסאליות=\frac{1}{1+u^2}</math>='''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

נקבל בנוסף <math>\cos\ x=2\cdot \cos^2\left הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

לכן*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>\sin\ xu=\sqrt{ 1-\cos^2 x }=\sqrt{1-tan\left (\frac{1-u^2x}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>.

נזכור כי <math>\sqrt{\frac{1+2u\tan^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right alpha)=\frac{1}{\left ( 1+ucos^2 (\right alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2}}=\sqrt{left(\frac{4u^2x}{\left ( 1+u^2 }\right )^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2\left ( 2u \right )^2frac{x}{\left ( 1+u^2 }\right )^2}}=\frac{2u1}{1+u^2}</math>.

כמו כן, נקבל בנוסף <math>\cos(x)=2\cdot cos^2\arctanleft(\ frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u</math>, ולכן <math>dx^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} du</math>.

<math>\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}= דוגמה ==\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>

<math>\intsqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\cdot sqrt{\sinfrac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\ xfrac{2u}{1+u^2}dx</math>

ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבלובדרך אחרת:

<math>\inttan(\frac{1x}{2+2})=\cdot frac{\sin(\ frac{x}dx={2})}{\intcos(\frac{1x}{2+})}=\frac{2\cdot \sin(\frac{2ux}{1+u^2}}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{1+u2 \cos^2(\frac{x}{2})}du=\int\frac{1+u^2\sin(x)}{2+2u\cos^2+4u}\cdot(\frac{2x}{1+u^2}du=)}</math>

<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})== הרחבה ===\frac{2u}{1+u^2}</math>

כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx= פירוק לשברים חלקיים ==\frac{2}{1+u^2}du</math> .

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלהלסיכום, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייה. <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u== הצבות אוילר ==\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x</math> ו-<math>)}=\sqrtfrac{ax1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+bxu^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+cu^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>.

<math>=== אוילר \int\frac{du}{(u+1 )^2}=- הפולינום פריק ==\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>

הצבת אוילר[[מדיה: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]

==הצבות אוילר== דוגמה ====הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .

===אוילר 1 - הפולינום פריק===נניח כי הפולינום <math>\int\frac{1}{ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\sqrt{alpha)(x^2-7x+6}}dx\beta)</math>.

ניעזר בהצבת הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{xax^2-7x+6bx+c}=u\cdot\left (x-1\right alpha)</math>(אפשר גם את השורש השני). לכן נביע את <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר באמצעות <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן ונוכל למצוא גם את <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du</math>. בנוסף, וגם את <math>\sqrt{xax^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1bx+c}</math>.

=== נעזר בהצבת אוילר : נציב <math>\sqrt{x^2 - פולינום יותר כללי ==7x+6}=u(x-1)</math> .

נביע את לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> באמצעות , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת ומכאן <math>x=\sqrtfrac{axu^2-6}{u^2+bx+c-1}</math>. 

לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=== דוגמה ====\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>(x^2-7x+61)=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\left(\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )u^2-1}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 1\right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u5u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7-1}</math>.

<math>\int\frac{1dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+-6}{2u+7u^2-1} \ cdot\frac{5u}\cdot {u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-2\int\frac {2du}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{xu^2-7x+6}-x \right |+c</math>כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

=== הרחבה אוילר 2 - פולינום יותר כללי===ישנן שתי אפשרויות:# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .

[[מדיה:09Infi2Universalנביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .pdf|הרחבה]]

== פונקציה רציונאלית ==דוגמא====<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>

קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>f\left (x\right )=\fracsqrt{p(x)^2-7x+6}{q(=x)}+u</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן המצבים:

במצב כזה, נעלה בריבוע ונקבל <math>\deg\ q'x^2-7x+6=\deg\ px^2+2xu+u^2</math>, לכן קיים קבוע כלומר <math>c</math> שעבורו <math>hx=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg\ h<\ \deg\ qfrac{6-1u^2}{2u+7}</math>. נקבל:

=== מצב שני לכן <math>dx=\degfrac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\ p<cdot\deg\ q-1frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ===,

=== מצב שלישי וכן <math>\degsqrt{x^2-7x+6}=x+u=\ pfrac{6-u^2}{2u+7}+u=\ge frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\deg\ qfrac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> ===.

<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du= הרחבה ==-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>