בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
==אינטגרציה "רגילה"מיידית==הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירהאינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה. לדוגמא,
לדוגמא: <math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C</math>
===דף אינטגרלים===[[מדיה:אינטגרלים.pdf|ראה כאןדף אינטגרליים מיידיים]] ===השלמה לריבוע===כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שניה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהעזר ב- <math>\arctan</math> . ====דוגמא====<math>\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}</math> נעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל: <math>\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}=\arctan\left(x+\frac{1}{2}\right)+C</math>
==אינטגרציה בחלקים==
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
נבצע הצבה: <math>u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ </math> ולכן <math>du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>
מקבלים:
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
==פונקציה רציונאלית==
על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.
==הצבות אוניברסאליות==
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)
*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
ובדרך אחרת:
<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
ולכן מתקיים
<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
==פירוק לשברים חלקיים==
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שניה.
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמא]]
==הצבות אוילר==
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
==פונקציה רציונאלית==
על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.
==סיכום==
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''