שינויים
another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
==אינטגרציה "רגילה"מיידית==הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירהאינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה. לדוגמא,
לדוגמא: <math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C</math>
==אינטגרציה בחלקים==
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
נבצע הצבה: <math>u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ </math> ולכן <math>du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>
מקבלים:
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
==פונקציה רציונאלית==
על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.
==הצבות אוניברסאליות==
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)
*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
ובדרך אחרת:
<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
ולכן מתקיים
<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
==סיכום==
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''
