הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏פונקציה רציונאלית)
שורה 1: שורה 1:
 
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
 
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
  
−
== אינטגרציה "רגילה" ==
+
==אינטגרציה "רגילה"==
 +
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמא,
  
−
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>
+
<math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C</math>
−
<math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left | x \right |+c</math>.
+
−
 
+
−
=== דף אינטגרלים ===
+
  
 +
===דף אינטגרלים===
 
[[מדיה:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]
 
[[מדיה:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]
  
−
=== השלמה לריבוע ===
+
===השלמה לריבוע===
 +
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שניה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהעזר ב- <math>\arctan</math> .
  
−
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>\arctan</math>.
+
====דוגמא====
 +
<math>\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}</math>
  
−
==== דוגמה ====
+
נעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
  
−
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math>
+
<math>\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}=\arctan\left(x+\frac{1}{2}\right)+C</math>
  
−
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
+
==אינטגרציה בחלקים==
 +
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
  
−
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=\arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math>
+
<math>\int f'g=f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
  
−
== אינטגרציה בחלקים ==
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\ln(x)dx</math>
  
−
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR>
+
לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)</math> .
−
<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
+
  
−
=== דוגמה ===
+
לכן נקבל <math>f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x}</math> .
−
 
+
−
נחפש את <math>\int \ln\ x \ dx</math>.
+
−
 
+
−
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=\ln\ x</math>.
+
−
 
+
−
לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.
+
  
 
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
 
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
  
−
<math>\int \ln\ x \ dx=x\cdot \ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot \ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot \ln\ x-x+c</math>.
+
<math>\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C</math>
  
−
=== הרחבה ===
 
  
 
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
 
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
  
−
== אינטגרציה בהצבה ==
+
==אינטגרציה בהצבה==
 +
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
  
−
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR>
+
<math>\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C</math> (ניתן לוודא על-ידי גזירה).
−
<math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
+
  
−
=== דוגמה ===
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
  
−
נחפש את <math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.
+
נבצע הצבה: <math>u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>
  
−
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot \sin\ x\cdot \cos\ x\ dx=\sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=\sin^2 x</math>. מקבלים:
+
מקבלים:
  
−
<math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=\ln\left ( a+u \right )+c=\ln(a+\sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
+
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math> , לכן אין צורך בערך מוחלט).
  
−
=== הרחבה ===
 
  
 
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
 
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
  
−
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==
+
==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==
 +
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .
  
−
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.
+
נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .
  
−
נזכור כי <math>1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+\tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>.
+
נקבל בנוסף <math>\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math> .
−
 
+
−
נקבל בנוסף <math>\cos\ x=2\cdot \cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.
+
  
 
לכן:
 
לכן:
  
−
<math>\sin\ x=\sqrt{ 1-\cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>
+
<math>\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>
  
−
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
+
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
  
−
כמו כן, <math>x=2\cdot \arctan\ u</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.
+
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .
  
−
לסיכום, <math>\boxed{u=\tan\frac{x}{2};\;\;\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2};\;\;\sin x=\frac{2u}{1+u^2};\;\; x=2\arctan u;\;\; dx=\frac{2}{1+u^2}du}</math>.
+
לסיכום,  
 +
<math>\boxed{u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du}</math>
  
−
=== דוגמה ===
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx</math>
+
נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:
  
−
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:
+
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=</math>
+
<math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+\tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
 
−
 
−
=== הרחבה ===
 
  
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
  
−
== פירוק לשברים חלקיים ==
+
==פירוק לשברים חלקיים==
 +
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שניה.
  
−
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייה.
+
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמא]]
  
−
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמה]]
+
==הצבות אוילר==
 +
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
  
−
== הצבות אוילר ==
+
===אוילר 1 - הפולינום פריק===
 +
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .
  
−
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
+
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
  
−
=== אוילר 1 - הפולינום פריק ===
+
====דוגמא====
 +
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
  
−
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )</math>.
 
  
−
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
+
נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .
  
−
==== דוגמה ====
 
  
−
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
+
לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .
  
−
ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1  \right )-2u\left (u^2-6  \right )}{\left (u^2-1  \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2  \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
 
  
−
מקבלים:
+
לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .
  
−
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
 
  
−
=== אוילר 2 - פולינום יותר כללי ===
+
בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
 +
 
 +
מקבלים:
 +
 
 +
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
  
 +
===אוילר 2 - פולינום יותר כללי===
 
ישנן שתי אפשרויות:
 
ישנן שתי אפשרויות:
−
# בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>.
+
# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .
−
# בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>.
+
# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
  
−
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
+
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
  
−
==== דוגמה ====
+
====דוגמא====
 +
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
+
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math> .
  
−
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math>.
+
 
 +
נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math> , כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math> .
 +
 
 +
 
 +
לכן <math>dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ,
 +
 
 +
 
 +
וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> .
  
 
מקבלים:
 
מקבלים:
  
−
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c</math>
+
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>
  
−
=== הרחבה ===
 
  
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
  
−
== פונקציה רציונאלית ==
+
==פונקציה רציונאלית==
 +
קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן המצבים:
  
−
קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות <math>f\left (x\right )=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן המצבים:
+
===מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>===
  
−
=== מצב ראשון <math>\deg\ p=\deg\ q-1</math> ===
+
במצב כזה, <math>\deg(q')=\deg(p)</math> , לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> . נקבל:
  
−
במצב כזה, <math>\deg\ q'=\deg\ p</math>, לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg\ h<\ \deg\ q-1</math>. נקבל:
+
<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\frac{h+q'}{c}}{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{\ln(|q|)}{c}\cdot</math> . עוברים למצב הבא.
−
 
+
−
<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\ \frac{h+q'}{c}\ }{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{1}{c}\cdot \ln|q|</math>. עוברים למצב הבא.
+
−
 
+
−
=== מצב שני <math>\deg\ p<\deg\ q-1</math> ===
+
  
 +
===מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>===
 
מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הזה]].
 
מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הזה]].
  
−
=== מצב שלישי <math>\deg\ p\ge \deg\ q</math> ===
+
===מצב שלישי <math>\deg(p)\ge\deg(q)</math>===
−
 
+
 
מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.
 
מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.
−
 
−
=== הרחבה ===
 
  
 
[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|הרחבה]]
 
[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|הרחבה]]
  
−
== סיכום ==
+
==סיכום==
−
 
+
 
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''
 
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''

גרסה מ־12:18, 3 בנובמבר 2016

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

אינטגרציה "רגילה"

הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמא,

\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C

דף אינטגרלים

ראה כאן

השלמה לריבוע

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שניה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהעזר ב- \arctan .

דוגמא

\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}

נעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:

\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}=\arctan\left(x+\frac{1}{2}\right)+C

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

\int f'g=f\cdot g-\int fg' (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמא

\int\ln(x)dx

לפי השיטה, נסמן f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x) .

לכן נקבל f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x} .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C


הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

דוגמא

\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx כאשר a>0 .

נבצע הצבה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\


מקבלים:

\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C (נזכור כי a+u>0 , לכן אין צורך בערך מוחלט).


הרחבה

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) .

נזכור כי 1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)} , ונקבל \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2} .

נקבל בנוסף \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} .

לכן:

\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=

\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}

כמו כן, x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du .

לסיכום, עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \boxed לא מוכרת): \boxed{u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du}


דוגמא

\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) . נקבל:

\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du

=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C


הרחבה

פירוק לשברים חלקיים

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שניה.

הסבר ודוגמא

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם x ו- \sqrt{ax^2+bx+c} .

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום ax^2+bx+c פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) .

הצבת אוילר: נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha) (אפשר גם את השורש השני). נביע את x באמצעות u , ונוכל למצוא גם את x וגם את \sqrt{ax^2+bx+c} .

דוגמא

\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}


נעזר בהצבת אוילר: נציב \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1) .


לכן (x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2 , כלומר x-6=u^2(x-1) , ומכאן x=\frac{u^2-6}{u^2-1} .


לכן dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du .


בנוסף, \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}

מקבלים:

\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6} כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

  1. בהינתן a>0 , נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u .
  2. בהינתן c>0 , נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c .

נביע את x באמצעות u , ונוכל למצוא את dx ואת \sqrt{ax^2+bx+c} .

דוגמא

\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב \sqrt{x^2-7x+6}=x+u .


נעלה בריבוע ונקבל x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2 , כלומר x=\frac{6-u^2}{2u+7} .


לכן dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du ,


וכן \sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7} .

מקבלים:

\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C


הרחבה

פונקציה רציונאלית

קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} (כאשר p(x),q(x) פולינומים). להלן המצבים:

מצב ראשון \deg(p)=\deg(q)-1

במצב כזה, \deg(q')=\deg(p) , לכן קיים קבוע c שעבורו h=cp-q' יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר \deg(h)<\deg(q)-1 . נקבל:

\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\frac{h+q'}{c}}{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{\ln(|q|)}{c}\cdot . עוברים למצב הבא.

מצב שני \deg(p)<\deg(q)-1

מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ הזה.

מצב שלישי \deg(p)\ge\deg(q)

מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.

הרחבה

סיכום

דף מסכם

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיטות_אינטגרציה&oldid=68099