שינויים

== אינטגרציה "רגילה" ==הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמא,

הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR><math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left (| x \right |)+cC</math>. === דף אינטגרלים ===

=== השלמה לריבוע ===כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שניה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהעזר ב- <math>\arctan</math> .

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-====דוגמא====<math>\arctanint\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}</math>.

<math>\int\frac{1dx}{x^2+x+1\frac{15}{4}}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}=\arctan\left(x+\frac{1}{2}\right)+C</math>

ניעזר בהשלמה לריבוע ==אינטגרציה בחלקים==לפי נוסחת הגזירה של המכנה. נקבלמכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

<math>\intf'g=f\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=cdot g-\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=\arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+cfg'</math>(ניתן לוודא על ידי גזירה).

== אינטגרציה בחלקים =דוגמא===<math>\int\ln(x)dx</math>

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ)השיטה, אנו מקבלים: <BR>נסמן <math>\int{f'(x)=1\ ,\ g}(x)=fg-\int{fg'}ln(x)</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).

=== דוגמה === נחפש את <math>\int \ln\ x \ dx</math>. לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=\ln\ x</math>. לכן נקבל <math>f(x)=x</math>\ , <math>\ g'(x)=\frac{1}{x}</math>.

<math>\int \ln\ (x \ )dx=x\cdot \ln\ (x)-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot \ln\ (x)-\int 1\ ,dx=x\cdot \ln\ (x)-x+cC</math>.

== אינטגרציה בהצבה ==לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR><math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+cC</math> (ניתן לוודא על -ידי גזירה).

=== דוגמה דוגמא===<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .

נחפש את נבצע הצבה: <math>u=\int sin^2(x)\frac{\sinRightarrow\leftdu=2\sin(2x x)\right cos(x)}{a+dx=\sin^2 x}(2x)dx\</math> כאשר <math>a>0</math>.

נבצע הצבה: <math>du=2\cdot \sin\ x\cdot \cos\ x\ dx=\sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=\sin^2 x</math>. מקבלים:

<math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 (x)}dx=\int \frac{1du}{a+u}du=\ln\left ( a+u \right )+cC=\ln\big(a+\sin^2 (x)\big)+cC</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).

== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות נזכור כי <math>1+\tan^2(ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , אזי נציב ונקבל <math>u\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left (\frac{x}{2}\right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>.

נזכור כי נקבל בנוסף <math>1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+\tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>. נקבל בנוסף <math>\cos\ x=2\cdot \cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{12}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.

<math>\sin\ (x)=\sqrt{ 1-\cos^2 (x )}=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>

<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>

כמו כן, <math>x=2\cdot \arctan\ (u</math>, ולכן <math>)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.

לסיכום, <math>\boxed{u=\tan\left(\frac{x}{2};\right);\;\cos (x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\;\;\sin (x)=\frac{2u}{1+u^2};\;\; x=2\arctan (u);\;\; dx=\frac{2}{1+u^2}du}</math>.

=== דוגמה דוגמא===<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\inttan\left(\frac{1x}{2+2}\cdot \sin\ x}dxright)</math>. נקבל:

ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\tanfrac{1}{2}\left (int\frac{x1+u^2}{u^2+2u+1}\right )cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>. נקבל:

<math>=\int\frac{1du}{2(u+1)^2\cdot \sin\ x}dx=\int-\frac{1}{2u+2\cdot \frac{2u1}{1+u^2}}\cdot C=-\frac{21}{1+u^2}du=\inttan\left(\frac{1+u^2x}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2right)}{1+u^2}du=C</math>

== פירוק לשברים חלקיים ==כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שניה.

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים [[מדיה:שברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייה.pdf|הסבר ודוגמא]]

[[מדיה:שברים חלקיים==הצבות אוילר==הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .pdf|הסבר ודוגמה]]

== הצבות =אוילר 1 - הפולינום פריק===נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .

הצבות הצבת אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם : נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> ו-(אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.

=== אוילר 1 - הפולינום פריק =דוגמא====<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>

הצבת נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{axx^2-7x+bx+c6}=u\cdot\left (x-\alpha\right 1)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.

לכן <math>\int\frac{(x-1}{)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\sqrtfrac{xu^2-7x+6}{u^2-1}dx</math>.

בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)= אוילר -\frac{5u}{u^2 - פולינום יותר כללי =1}</math> מקבלים: <math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

# בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>.# בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>.

נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.

==== דוגמה דוגמא====<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=x+u</math>.

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math>.   לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du</math>,   וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math>.

<math>\int\frac{1dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-\ln\left (| 2u+7 \right |)+cC=-\ln\left(\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |\right)+cC</math>

== פונקציה רציונאלית ==קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן המצבים:

קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות ===מצב ראשון <math>f\left deg(x\right p)=\frac{pdeg(x)}{q(x)}-1</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן המצבים:===

=== מצב ראשון במצב כזה, <math>\deg(q')=\ deg(p)</math> , לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg(h)<\ deg(q)-1</math> ===. נקבל:

במצב כזה, <math>\deg\ q'=\deg\ p</math>, לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg\ h<\ \deg\ q-1</math>. נקבל: <math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\ \frac{h+q'}{c}\ }{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{1\ln(|q|)}{c}\cdot \ln|q|</math>. עוברים למצב הבא. === מצב שני <math>\deg\ p<\deg\ q-1</math> ===

=== מצב שלישי <math>\deg\ (p)\ge \deg\ (q)</math> === 

== סיכום ==