שינויים
בתחילת הדרך של לימודי המתמטיקה, לעיתים קרובות ניגש התלמיד אל התרגיל ומביט בו. התרגיל מביט חזרה בתלמיד, ושניהם לא יודעים מה לעשות.
'''שימו לב''' המסקנה שהגענו אליה היא בדיוק שלילת הנתון.
==הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים==
על מנת להוכיח טענת '''לכל''', אנו לוקחים איבר כללי ללא תנאים ומראים כי הטענה נכונה לגביו. הוכחות כאלו מתחילות במילה 'יהי'.
על מנת להוכיח טענת '''קיים''', אנו מספקים דוגמא מסויימת, או מוכיחים שדוגמא כזו קיימת (מבלי לספק אותה במפורש).
שימו לב שעל מנת להפריך טענת '''לכל''' יש לספק דוגמא נגדית, ועל מנת להפריך טענת '''קיים''' יש להוכיח שכל האיברים הכלליים אינם מקיימים את הטענה.
'''הוכחת הכמת קיים''':
על מנת להוכיח קיום, מספיק למצוא דוגמא אחת. למשל, אם ניקח A=B נקבל את מה שרצינו.
'''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא בלבד הראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.
'''דוגמא'''
הוכיחו שלכל מספר ממשי חיובי x יש מספר ממשי חיובי קטן ממנו. בשפה לוגית יש להוכיח כי:
:<math>\forall x>0\exists y>0: y<x</math>
'''דוגמא'''
הוכיחו כי לכל ממשי חיובי x קיים מספר טבעי n כך ש <math>\frac{1}{n} < x</math>
'''הוכחת הכמת לכל''':
'''יהי''' מספר טבעי חיובי '''כלשהו''' x.
צריך למצוא מספר n כך ש <math>\frac{1}{n} < x</math>
לכן, מספיק למצוא מספר n כך ש <math>\frac{1}{x} < n</math>
כיוון שאין סוף למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.
'''דוגמא'''
תהי קבוצה B. הוכיחו כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש <math>A\cap B = B</math>
'''דוגמא'''
הצרינו את הגדרת גבול הסדרה:
לכל מרחק אפיסלון, קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון.
*הוכיחו כי גבול הסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> הוא אפס.
*הוכיחו כי אין גבול לסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
==הוכחת שיוויון בין קבוצות==
